数学分析.docx

1、数学分析数学分析教 学 大 纲数学与应用数学专业(师范类)专业用一、说明部分（一）本课程的性质、目的和任务数学分析是数学系的一门重要基础课，是学习微分方程、复变函数、实变函数、微分几何、概率论、泛函分析等后继课的基础，是驾驭中学数学教材的必备知识。通过本课程的教学，使学生掌握数学分析的系统理论和极限方法、严谨的论证方法，初步具有分析和解决问题的能力，并对中学数学中的函数、方程、面积、体积、无理数等相关内容进行高层次的理解分析，提高处理教材的能力。（二）本课程的教学原则和方法本课程的教学宜于采用启发式教学原则、理论与实际相结合的原则。以讲授法为主，由浅入深，由易到难，循序渐进，要特别注意理论基础

2、的系统性与严密性，尽可能做到与中学数学实际相结合，应特别注意对概念及解题方法的分析。（三）本课程的教学内容及学时分配本课程全部教学内容22章，总计289学时。第一章 函数 7学时第二章 数列极限 12学时第三章 函数极限 16学时 第四章 函数的连续性 12学时 第五章 导数与微分 18学时 第六章 微分学基本定理与应用 14学时 第七章 实数的完备性 8学时 第八章 不定积分 14学时 第九章 定积分 20学时 第十章 定积分的应用 14学时 第十一章 反常积分 10学时 第十二章 数项级数 14学时 第十三章 函数列与函数项级数 12学时 第十四章 幂级数 10学时 第十五章 傅立叶级数

3、10学时 第十六章 多元函数的极限与连续 12学时 第十七章 多元函数微分学 14学时 第十八章 隐函数定理及其应用 14学时 第十九章 含参量积分 12学时 第二十章 曲线积分 12学时 第二十一章 重积分 22学时 第二十二章 曲面积分 12学时 （四）本课程大纲编写的执笔人执笔人 袁威威 黑河学院数学系函数论教研室审定。二、大纲正文第一章 函数（一）教学目的和要求使学生掌握实数的基本性质和确界原理，建立起实数集确界的清晰概念；深刻理解函数的概念，熟练运用实数的有序性、封闭性、阿基米德性、稠密性和连续性。掌握邻域的概念、实数集确界的定义、确界原理、复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等

4、函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系。 (二)本章重点实数集、函数、确界的概念及其有关性质。（三）本章难点确界的定义及应用。（四）本章的主要内容和学时分配第一节 实数 1学时 1实数及其性质2绝对值与不等式第二节 数集确界原理 2学时 1区间与邻域2有界集确界原理第三节 函数概念 1学时 1函数定义2函数的表示法3函数的四则运算4复合函数5反函数；6初等函数。第四节 具有某些特性的函数 2学时 1有界函数2单调函数3奇函数与偶函数4周期函数习题 1学时 第二章 数列极限（一）教学目的和要求学生掌握数列极限的准确

5、概念，熟悉收敛数列的性质，深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念。理解数列收敛性的判别法以及求收敛数列极限的常用方法，会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。并能运用 语言正确描述数列不以某定数为极限等相应陈述，理解并能证明收敛数列性质、极限的唯一性、单调性、保号性以及不等式性质；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理以及单调有界定理，并会利用这些定理求某些收敛数列的极限；理解柯西准则在极限理论中的重要意义，并逐步学会应用柯西准则判断某些数列的敛散性。（二）本章重点数列极限概念、性质及其计算。（三）本章难点数列极限的定义及其应用。（四）本章的主要内容和学时分配第一节 数列

6、极限概念 3学时 1数列极限的定义。2无穷小数列。第二节 收敛数列的性质 4学时 1数列极限的唯一性、有界性以及保号性。2数列极限的不等式性、绝对值性以及四则运算法则。第三节 数列极限存在的条件 3学时 1数列极限的迫敛性以及单调有界定理。2数列的子列原理和柯西收敛准则。习题 2学时 第三章 函数极限（一）教学目的和要求理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性；掌握两个重要极限；理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。熟练掌握函数极限（包括单侧极限）的概念，深刻理解函数极限的定义及其几何意义，能运用函数极限的定义证明与函数极限有关的某些命题。（二）本章重点函数极

7、限的概念、性质及其计算。（三）本章难点海涅定理与柯西准则的运用。（四）本章的主要内容和学时分配第一节 函数极限的概念 2学时 1x趋于无穷大时函数的极限。2x趋于某一定数时函数的极限。第二节 函数极限的性质 4学时1函数极限的唯一性、局部有界性以及局部保号性。2函数极限的不等式性、绝对值性以及四则运算性质。第三节 函数极限存在的条件 4学时 1迫敛性与海涅定理。2单调有界定理与柯西准则。第四节 两个重要极限 2学时 第五节 无穷小量与无穷大量阶的比较 2学时 1无穷小量2无穷小量阶的比较3无穷大量习题 2学时 第四章函 数的连续性（一）教学目的和要求理解函数连续性的概念和连续函数的概念，熟悉连

8、续函数的性质，理解函数在一点连续（包括单侧连续）的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述；理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，掌握连续函数的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算性质，并能加以证明；熟知复合函数的连续性和反函数的连续性。能够在各种问题的讨论中正确运用连续函数的这些重要性质；掌握闭区间上连续函数的重要性质，理解其几何意义，理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与这一区间上一致连续的本质区别。（二）本章重点连续函数的概念和闭区间上连续函数的性质。（三）本章难点一致连续性概念。（四）本章的主要内容和学时分配第一节 连续性概念 4学时

9、1函数在一点的连续性。 2间断点及其分类。 3区间上的连续函数。第二节 连续函数的性质 4学时 1连续函数的局部性质。 2闭区间上连续函数的基本性质。3反函数的连续性。4一致连续性。第三节 初等函数的连续性 2学时 1指数函数的连续性。2初等函数的连续性。习题 2学时 第五章 导数与微分（一）教学目的和要求学生准确掌握导数与微分的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分；弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式与微分公式，并熟练地进行初等函数的微分运算；能利用导数与微分的意义解决某些实际应用的计算问题。

10、能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题，会求曲线上一点处的切线方程。（二）本章重点导数与微分的概念及其计算。（三）本章难点求复合函数的导数 函数的凸性。（四）本章的主要内容和学时分配第一节 导数概念 2学时 1导数的定义；2导数的几何意义；3导函数。第二节求导法则 4学时 1导数为四则运算；2反函数的导数；3复合函数的导数；4基本求导法则与公式。第三节 参量方程所确立函数的导数 4学时 1微分概念；2微分的运算法则；3近似计算与误差估计。第四节 高阶导数与高阶微分 4学时1高阶导数；2高阶微分。第五节 微分 2学时 习题 2学时第六章 微分学基本定理与应用（一）教学目的和要求使学生

11、深刻理解并掌握中值定理的几何意义。掌握常用的一些Taylor公式及Taylor公式中的拉格朗日余项和皮亚诺余项。能灵活运用洛必达法则处理不定式极限。利用导数性质讨论函数性质的方法，会画函数草图。掌握用微分学知识解决应用问题的基本能力，如函数单调性的判定，不等式的证明，极限问题等。理解函数的单调性，凸性及极值的概念，会判定极值点，会求极值点、间断点以及拐点。（二）本章重点中值定理和Taylor公式，利用导数研究函数的单调性，凸性及极值。（三）本章难点用辅助函数解决问题的方法。（四）本章的主要内容和学时分配第一节 中值定理 2学时 1.费马定理2.中值定理第二节 柯西中值定理和不定式极限 2学时

12、1.0/0型不定式极限2./型不定式极限3.其他类型不定式极限第三节 泰勒公式 2学时1.泰勒定理2.带皮亚诺型余项的泰勒公式3.某些应用第四节 函数的极值与最值 2学时第五节 函数的凸性与拐点 2学时第六节 函数图象的讨论 2学时习题 2学时第七章 实数的完备性（一）教学目的和要求使学生掌握六个基本定理，能准确的加以表述，并深刻理解其实质意义；进一步加深对实数上上、下确界、数列的子列以及函数在一区间上一致连续等重要概念的理解，掌握区间套、聚点、开覆盖等重要概念，理解基本定理的相互等价性，并掌握依次推论的基本思路和方法。（二）本章重点实数完备性基本定理的证明与运用（三）本章难点实数完备性基本定

13、理的证明与运用（四）本章的主要内容和学时分配第一节 实数集完备性性的基本定理 4学时 1.区间套定理与柯西收敛准则。2.聚点定理与有限覆盖定理。第二节 闭区间上连续函数性质的证明 2学时 习题 2学时第八章 不定积分（一）教学目的和要求使学生明确认识和理解积分是微分的逆运算。深刻理解不定积分的概念，记住不定积分与原函数的关系；在掌握基本积分表的基础上熟练掌握不定积分的计算方法。熟练掌握换元积分法、部分积分法并能解决求积问题；掌握特殊类型的初等函数的积分，如有理函数的积分、三角函数有理式的积分及某些无理函数的积分。（二）本章重点不定积分的概念与计算（三）本章难点第二换元法（四）本章的主要内容和学

14、时分配第一节 不定积分的概念与基本积分公式 2学时1原函数与不定积分2基本积分表3不定积分的线性运算法则第二节 换元积分法与分部积分法 4学时 1换元积分法2分部积分法第三节 有理数和可化为有理数的积分 4学时1有理函数的积分2三角函数有理式的积分3某些无理函数的积分习题 4学时 第九章 定积分（一）教学目的和要求理解定积分的概念、定义、积分和的性质，熟悉可积条件；掌握定积分的性质和微积分学基本定理，并会运用换元法、分部积分法计算有关的定积分；深刻理解非正常积分的含义，掌握无穷限非正常积分和无界函数的非正常积分。理解、掌握微积分学基本定理，熟练地应用牛顿莱布尼兹公式；熟练地掌握换元积分法和分部

15、积分法，并能解决该问题；理解非正常积分的概念，掌握无穷限与无界函数非正常积分的计算方法。（二）本章重点定积分的定义、性质、微积分学基本定理（三）本章难点可积的条件、非正常积分敛散性的判别（四）本章的主要内容和学时分配第一节 定积分的概念 2学时 1问题提出2定积分的定义 第二节 牛顿-莱布尼兹公式 2学时 第三节 可积条件 4学时 1可积的必要条件2可积的充分条件3可积函数类第四节 定积分的性质 4学时第五节 微积分学基本定理定积分的计算 4学时1微积分学基本定理2换元积分法与分部积分法3. 泰勒公式的积分型余项习题 4学时第十章 定积分的应用（一）教学目的和要求理解并掌握由截面面积函数求空间

16、立体体积的计算方法；理解并掌握曲线弧长的计算方法、用微元法求旋转曲面面积的方法；掌握定积分在物理上的某些应用。掌握由连续曲线所围成的平面图形在直角坐标系、极坐标系下的面积计算方法；理解并掌握由截面面积函数求空间立体体积的计算公式的应用、曲线弧长的参数表达式和直角坐、极坐标的各种表达形式及其计算方法；理解并掌握利用微元法计算旋转曲面的面积；掌握定积分在物理学上的应用。（二）本章重点面积、弧长的计算以及微元法（三）本章难点微元法的理解和应用（四）本章的主要内容和学时分配第一节 平面图形的面积 2学时 第二节 由截面面积求立体体积 4学时 第三节 曲线的弧长与曲率 2学时1曲线的弧长2. 曲率第四节

17、 旋转曲面的面积 2学时 1微元法2旋转曲面的面积习题 4学时 第十一章 反常积分 （一）教学目的和要求了解和掌握反常积分概念、基本性质、收敛性的判别方法。（二）本章重点 反常积分概念、基本性质、收敛性的判别方法（三）本章难点 反常积分收敛性的判别方法。（四）本章的主要内容和学时分配第一节 反常积分的概念 2学时 第二节 无穷积分的性质与收敛判别 4学时第三节 瑕积分的性质与收敛判别 2学时习题 2学时第十二章 数项级数（一）教学目的和要求理解数项级数和数列极限的关系，会用“ -N”语言表述级数收敛或发散。能用Cauchy原理证明级数收敛与发散，熟练掌握级数的必要条件。熟练掌握正项级数敛散的比

18、较原则，Cauchy判别法，达朗贝尔判别法，Cauchy积分判别法，Leibniz判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法，判断级数的条件收敛。理解级数收敛、绝对收敛、条件收敛之间的关系，了解绝对收敛和条件收敛级数的主要性质，会对含有一个参数的级数确定其绝对收敛域和条件收敛域。（二）本章重点 Cauchy收敛原理（三）本章难点级数收敛、绝对收敛、条件收敛之间的关系（四）本章的主要内容和学时分配第一节 级数的收敛性 2学时 第二节 正项级数 4学时1正项级数的收敛性的一般判别法。2比式判别法和根式判别法。3积分判别法。第三节 一般项级数 4学时1交错级数2绝对收敛级数及其性质3阿贝耳判别

19、法和狄利克雷判别法习题 4学时第十三章 函数列与函数项级数（一）教学目的和要求能用数项级数收敛判别法讨论函数项级数的收敛性，研究函数项级数与函数列收敛域；理解一致收敛概念，能从定义出发证明函数列或函数项级数的一致收敛和非一致收敛；掌握Cauchy收敛原理，并能应用于判别一致收敛与非一致收敛；掌握各种判别法，研究函数列或函数项级数的一致收敛性；利用一致收敛性证明极限函数和函数的连续性、可微性与可积性。反过来，从和函数或极限函数的分析性质研究函数级或函数列的一致收敛性。（二）本章重点函数列一致收敛的概念、性质（三）本章难点一致收敛性的概念、判别及应用（四）本章的主要内容和学时分配第一节 一致收敛性

20、 4学时 1函数列及其一致收敛性2函数项级数及其一致收敛性3函数项级数的一致收敛性判别第二节 一致收敛函数列与函数项级数的性质 4学时习题 4学时 第十四章 幂级数（一）教学目的和要求理解幂级数的概念，熟练掌握幂级数的收敛半径或方法，确定收敛区间端点的敛散性；掌握幂级数在收敛区间内的内闭一致收敛性，幂级数和函数的分析性质；用等比数列求和公式，或通过利用幂级数逐项求导逐项求积的性质，可化为等比数列求和求出某些幂级数的和函数的初等形式。（二）本章重点幂级数的收敛区间、收敛半径和展开式（三）本章难点收敛区间端点处的敛散性的判别（四）本章的主要内容和学时分配第一节 幂级数 4学时 1幂级数的收敛区间2

21、幂级数的性质3幂级数的运算第二节 函数的幂级数展开 4学时1泰勒级数 2初等函数的幂级数展开式习题 2学时第十五章 傅立叶级数（一）教学目的和要求了解三角级数的正交性，并能在某些积分计算中加以应用；会计算可积函数的Fourier系数；掌握收敛定理的条件与结论，会用收敛定理将以2L为周期的函数展成Fourier级数；掌握奇、偶函数的Fourier级数展开的特点，会将定义在某区间上的函数按要求展成正弦级数或余弦级数；能利用Fourier展开求一些简单级数的和；了解黎曼勒贝格引理的内容及它的一些简单应用。（二）本章重点函数展成Fourier级数（三）本章难点 Fourier级数敛散性的判别（四）本章

22、的主要内容和学时分配第一节 Fourier级数 2学时 1.三角级数正交函数关系2.以2为周期的函数的Fourier级数3.收敛定理第二节 以2L为周期的函数的展开式 4学时1.以2L为周期的函数的Fourier级数2.偶函数与奇函数的Fourier级数第三节 收敛定理的证明 2学时习题 2学时 第十六章 多元函数的极限与连续（一）教学目的和要求掌握平面点集、邻域、中心邻域的表示法；会判别一般平面点集是开集还是闭集，有界还是无界，是否是区域、开区域、闭区域，会写出其边界；了解平面点集的矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理，理解它们与直线上有关定理相互关系，掌握有关的不太复杂的命题的证明的思想方法

23、；掌握平面点列收敛的-N定义及柯西收敛原理；深刻理解二元函数的概念及几何意义，并能推广到多元函数；会确定一般二元函数的定义域及连续范围；深刻理解二元函数极限-N定义，会依定义证明不太复杂的二重极限；掌握反映二元函数极限与平面点列极限之间关系的归结原则，会通过取特殊路径证明极限不存在；掌握累次极限概念，能通过具体反例 分析二次极限与累次极限的关系；深刻理解二元函数连续性及一致连续性的定义，会依定义讨论连续性及有关的简单命题，理解有界闭域上连续函数的性质。（二）本章重点二元函数极限-N定义（三）本章难点二元函数连续性及一致连续性的定义（四）本章的主要内容和学时分配第一节 平面点集与多元函数 4学时

24、 1.平面点集2.R上的完备性定理3.二元函数4.n 元函数第二节 二元函数的极限 2学时1.二元函数的极限2.累次极限第三节 二元函数的连续性 2学时1.二元函数的连续性概念2.有界闭域上连续函数的性质习题 4学时第十七章 多元函数微分学（一）教学目的和要求掌握求简单函数偏导数的基本技巧；掌握二元函数的偏导数存在性、可微性，以及偏导数连续性之间的关系；掌握二阶混合偏导数与求导顺序无关的条件；了解隐函数存在定理，掌握隐函数求导方法；理解并会应用Lagrange乘数法；理解并会使用最小二乘法。（二）本章重点二元函数的偏导数存在性、可微性（三）本章难点 Lagrange乘数法 （四）本章的主要内容

25、和学时分配第一节 可微性 4学时1可微性与全微分；2. 偏导数3. 可微性条件 4. 可微性几何意义及应用第二节 复合函数微分法 2学时 1.复合函数的求导法则2.复合函数的全微分第三节 方向导数与梯度 2学时第四节 泰勒公式与极值问题 4学时1. 高阶偏导数2中值定理和泰勒公式；4极值问题；习题 2学时第十八章 隐函数定理及其应用（一）教学目的和要求理解隐函数定理的有关概念，及隐函数存在的条件，进而会求隐函数的导数；了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件；掌握隐函数的微分法在几何方面的应用,会把实际问题抽象为条件极值并予以解决。（二）本章重点二元隐函数组存

26、在的条件（三）本章难点函数的微分法在几何方面的应用（四）本章的主要内容和学时分配第一节 隐函数 4学时 1.隐函数概念；2.隐函数存在性条件的分析3.隐函数定理4.隐函数求导举例第二节 隐函数组 4学时 1.隐函数组概念2.隐函数组定理3.反函数组与坐标变换第三节 几何应用 2学时1.平面曲线的切线与法线2.空间曲线的切线与法平面3.曲面的切平面与法线第四节 条件极值 2学时 习题 2学时第十九章 含参量积分（一）教学目的和要求深刻理解含能变量常见积分作为参量的函数，掌握它的连续性、可微性和可积性的条件，并能应用这些条件讨论一些含参量常见积分的有关性质；理解含参量广义积分及一致收敛概念，会从定

27、义或Cauchy收敛原理出发证明积分的一致收敛性或非一致收敛性；熟练掌握和利用M判别法、Dirichlet判别法、Abel判别法，判别一些常见积分的一致收敛性；掌握含参量广义积分的分析性质：连续性、可微性、可积性；掌握Euler函数的定义、性质、递推公式及它们之间的关系，并用于计算积分。（二）本章重点广义积分的Cauchy原理（三）本章难点 Euler函数的定义、性质、递推公式及它们之间的关系（四）本章的主要内容和学时分配第一节 含参量正常积分 4学时第二节 含参量反常积分 4学时 1.一致收敛性及其判别法2.含参量反常积分的性质第三节 欧拉积分 2学时1.函数2.B 函数3.函数与B 函数之

28、间的关系习题 2学时第二十章 曲线积分（一）教学目的和要求理解建立积分的几何模型及物理模型，从而加深对积分思想方法的理解；掌握积分的基本性质并能证明一些简单的命题。理解第一型第二型曲线积分的定义。（二）本章重点几何体上的积分定义及其几何、物理意义（三）本章难点积分的几何模型及物理模型的方法（四）本章的主要内容和学时分配第一节 第一型曲线积分 4学时1.第一型曲线积分的定义2.第一型曲线积分的计算第二节 第二型曲线积分 4学时1.第二型曲线积分的定义2.第二型曲线积分的计算习题 4学时第二十一章 重积分（一）教学目的和要求使学生熟练掌握将重积分化为累次积分的计算方法，并会交换积分顺序；熟练掌握二

29、重积分的极坐标变换，三重积分的柱坐标、球坐标、广义球坐标变换，掌握一些简单的一般变换，以达到简化重积分计算的目的；能正确地使用对称性；正确地处理被积函数中含有绝对值符号及一般分段函数的重积分计算；能用重积分计算平面图形的面积，空间立体的体积、物体的质量、重心、转动惯量等。（二）本章重点二重积分的极坐标变换。（三）本章难点重积分计算平面图形的面积，空间立体的体积等。（四）本章的主要内容和学时分配第一节 二重积分概念 4学时1.平面图形的面积2.二重积分的定义及其存在性3.二重积分的性质第二节 直角坐标系下二重积分的计算 4学时 第三节 格林公式曲线积分与路线的无关性 4学时 1.格林公式2.曲线积分与路线的无关性第四节 二重积分的变量变换 2学时 1.二重积分的变量变换公式2.用极坐标计算二重积分第五节 三重积分 4学时1.三重积分概念2.化三重积分为累次积分3.三重积分换元法第六节 重积分的应用 2学时1. 曲面的面积2. 重心3. 转动惯量4. 引力习题 2学时第二十二章 曲面积分（一）教学目的和要求掌握曲面面积及第一类曲面积分计算的关键是积分曲面面积元素的计算；理解两类曲面积分之间性质上的异同；会选择和建立积分曲面的适当的参数方程，正确地使用相应的计算公式，以计算两类曲面积分。在计算中能注意利用曲面方程化简被积函数及利用对称性简化运算