数学分析.docx

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数学分析

《数学分析》教学大纲

数学与应用数学专业（师范类）专业用

一、说明部分

（一）本课程的性质、目的和任务

数学分析是数学系的一门重要基础课，是学习微分方程、复变函数、实变函数、微分几何、概率论、泛函分析等后继课的基础，是驾驭中学数学教材的必备知识。

通过本课程的教学，使学生掌握数学分析的系统理论和极限方法、严谨的论证方法，初步具有分析和解决问题的能力，并对中学数学中的函数、方程、面积、体积、无理数等相关内容进行高层次的理解分析，提高处理教材的能力。

（二）本课程的教学原则和方法

本课程的教学宜于采用启发式教学原则、理论与实际相结合的原则。

以讲授法为主，由浅入深，由易到难，循序渐进，要特别注意理论基础的系统性与严密性，尽可能做到与中学数学实际相结合，应特别注意对概念及解题方法的分析。

（三）本课程的教学内容及学时分配

本课程全部教学内容22章，总计289学时。

第一章函数7学时

第二章数列极限12学时

第三章函数极限16学时

第四章函数的连续性12学时

第五章导数与微分18学时

第六章微分学基本定理与应用14学时

第七章实数的完备性8学时

第八章不定积分14学时

第九章定积分20学时

第十章定积分的应用14学时

第十一章反常积分10学时

第十二章数项级数14学时

第十三章函数列与函数项级数12学时

第十四章幂级数10学时

第十五章傅立叶级数10学时

第十六章多元函数的极限与连续12学时

第十七章多元函数微分学14学时

第十八章隐函数定理及其应用14学时

第十九章含参量积分12学时

第二十章曲线积分12学时

第二十一章重积分22学时

第二十二章曲面积分12学时

（四）本课程大纲编写的执笔人

执笔人袁威威黑河学院数学系函数论教研室审定。

二、大纲正文

第一章函数

（一）教学目的和要求

使学生掌握实数的基本性质和确界原理，建立起实数集确界的清晰概念；深刻理解函数的概念，熟练运用实数的有序性、封闭性、阿基米德性、稠密性和连续性。

掌握邻域的概念、实数集确界的定义、确界原理、复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。

会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系。

（二）本章重点

实数集、函数、确界的概念及其有关性质。

（三）本章难点

确界的定义及应用。

（四）本章的主要内容和学时分配

第一节实数1学时

1．实数及其性质

2．绝对值与不等式

第二节数集•确界原理2学时

1．区间与邻域

2．有界集•确界原理

第三节函数概念1学时

1．函数定义

2．函数的表示法

3．函数的四则运算

4．复合函数

5．反函数；

6．初等函数。

第四节具有某些特性的函数2学时

1．有界函数

2．单调函数

3．奇函数与偶函数

4．周期函数

习题1学时

第二章数列极限

（一）教学目的和要求

学生掌握数列极限的准确概念，熟悉收敛数列的性质，深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念。

理解数列收敛性的判别法以及求收敛数列极限的常用方法，会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。

并能运用语言正确描述数列不以某定数为极限等相应陈述，理解并能证明收敛数列性质、极限的唯一性、单调性、保号性以及不等式性质；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理以及单调有界定理，并会利用这些定理求某些收敛数列的极限；理解柯西准则在极限理论中的重要意义，并逐步学会应用柯西准则判断某些数列的敛散性。

（二）本章重点

数列极限概念、性质及其计算。

（三）本章难点

数列极限的定义及其应用。

（四）本章的主要内容和学时分配

第一节数列极限概念3学时

1．数列极限的定义。

2．无穷小数列。

第二节收敛数列的性质4学时

1．数列极限的唯一性、有界性以及保号性。

2．数列极限的不等式性、绝对值性以及四则运算法则。

第三节数列极限存在的条件3学时

1．数列极限的迫敛性以及单调有界定理。

2．数列的子列原理和柯西收敛准则。

习题2学时

第三章函数极限

（一）教学目的和要求

理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性；掌握两个重要极限；理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。

熟练掌握函数极限（包括单侧极限）的概念，深刻理解函数极限的定义及其几何意义，能运用函数极限的定义证明与函数极限有关的某些命题。

（二）本章重点

函数极限的概念、性质及其计算。

（三）本章难点

海涅定理与柯西准则的运用。

（四）本章的主要内容和学时分配

第一节函数极限的概念2学时

1．x趋于无穷大时函数的极限。

2．x趋于某一定数时函数的极限。

第二节函数极限的性质4学时

1．函数极限的唯一性、局部有界性以及局部保号性。

2．函数极限的不等式性、绝对值性以及四则运算性质。

第三节函数极限存在的条件4学时

1．迫敛性与海涅定理。

2．单调有界定理与柯西准则。

第四节两个重要极限2学时

第五节无穷小量与无穷大量·阶的比较2学时

1．无穷小量

2．无穷小量阶的比较

3．无穷大量

习题2学时

第四章函数的连续性

（一）教学目的和要求

理解函数连续性的概念和连续函数的概念，熟悉连续函数的性质，理解函数在一点连续（包括单侧连续）的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述；理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，掌握连续函数的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算性质，并能加以证明；熟知复合函数的连续性和反函数的连续性。

能够在各种问题的讨论中正确运用连续函数的这些重要性质；掌握闭区间上连续函数的重要性质，理解其几何意义，理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与这一区间上一致连续的本质区别。

（二）本章重点

连续函数的概念和闭区间上连续函数的性质。

（三）本章难点

一致连续性概念。

（四）本章的主要内容和学时分配

第一节连续性概念4学时

1．函数在一点的连续性。

2．间断点及其分类。

3．区间上的连续函数。

第二节连续函数的性质4学时

1．连续函数的局部性质。

2．闭区间上连续函数的基本性质。

3．反函数的连续性。

4．一致连续性。

第三节初等函数的连续性2学时

1．指数函数的连续性。

2．初等函数的连续性。

习题2学时

第五章导数与微分

（一）教学目的和要求

学生准确掌握导数与微分的概念。

明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分；弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式与微分公式，并熟练地进行初等函数的微分运算；能利用导数与微分的意义解决某些实际应用的计算问题。

能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题，会求曲线上一点处的切线方程。

（二）本章重点

导数与微分的概念及其计算。

（三）本章难点

求复合函数的导数函数的凸性。

（四）本章的主要内容和学时分配

第一节导数概念2学时

1．导数的定义；

2．导数的几何意义；

3．导函数。

第二节求导法则4学时

1．导数为四则运算；

2．反函数的导数；

3．复合函数的导数；

4．基本求导法则与公式。

第三节参量方程所确立函数的导数4学时

1．微分概念；

2．微分的运算法则；

3．近似计算与误差估计。

第四节高阶导数与高阶微分4学时

1．高阶导数；

2．高阶微分。

第五节微分2学时

习题2学时

第六章微分学基本定理与应用

（一）教学目的和要求

使学生深刻理解并掌握中值定理的几何意义。

掌握常用的一些Taylor公式及Taylor公式中的拉格朗日余项和皮亚诺余项。

能灵活运用洛必达法则处理不定式极限。

利用导数性质讨论函数性质的方法，会画函数草图。

掌握用微分学知识解决应用问题的基本能力，如函数单调性的判定，不等式的证明，极限问题等。

理解函数的单调性，凸性及极值的概念，会判定极值点，会求极值点、间断点以及拐点。

（二）本章重点

中值定理和Taylor公式，利用导数研究函数的单调性，凸性及极值。

（三）本章难点

用辅助函数解决问题的方法。

（四）本章的主要内容和学时分配

第一节中值定理2学时

1.费马定理

2.中值定理

第二节柯西中值定理和不定式极限2学时

1.0/0型不定式极限

2.∞/∞型不定式极限

3.其他类型不定式极限

第三节泰勒公式2学时

1.泰勒定理

2.带皮亚诺型余项的泰勒公式

3.某些应用

第四节函数的极值与最值2学时

第五节函数的凸性与拐点2学时

第六节函数图象的讨论2学时

习题2学时

第七章实数的完备性

（一）教学目的和要求

使学生掌握六个基本定理，能准确的加以表述，并深刻理解其实质意义；进一步加深对实数上上、下确界、数列的子列以及函数在一区间上一致连续等重要概念的理解，掌握区间套、聚点、开覆盖等重要概念，理解基本定理的相互等价性，并掌握依次推论的基本思路和方法。

（二）本章重点

实数完备性基本定理的证明与运用

（三）本章难点

实数完备性基本定理的证明与运用

（四）本章的主要内容和学时分配

第一节实数集完备性性的基本定理4学时

1.区间套定理与柯西收敛准则。

2.聚点定理与有限覆盖定理。

第二节闭区间上连续函数性质的证明2学时

习题2学时

第八章不定积分

（一）教学目的和要求

使学生明确认识和理解积分是微分的逆运算。

深刻理解不定积分的概念，记住不定积分与原函数的关系；在掌握基本积分表的基础上熟练掌握不定积分的计算方法。

熟练掌握换元积分法、部分积分法并能解决求积问题；掌握特殊类型的初等函数的积分，如有理函数的积分、三角函数有理式的积分及某些无理函数的积分。

（二）本章重点

不定积分的概念与计算

（三）本章难点

第二换元法

（四）本章的主要内容和学时分配

第一节不定积分的概念与基本积分公式2学时

1．原函数与不定积分

2．基本积分表

3．不定积分的线性运算法则

第二节换元积分法与分部积分法4学时

1．换元积分法

2．分部积分法

第三节有理数和可化为有理数的积分4学时

1．有理函数的积分

2．三角函数有理式的积分

3．某些无理函数的积分

习题4学时

第九章定积分

（一）教学目的和要求

理解定积分的概念、定义、积分和的性质，熟悉可积条件；掌握定积分的性质和微积分学基本定理，并会运用换元法、分部积分法计算有关的定积分；深刻理解非正常积分的含义，掌握无穷限非正常积分和无界函数的非正常积分。

理解、掌握微积分学基本定理，熟练地应用牛顿莱布尼兹公式；熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决该问题；理解非正常积分的概念，掌握无穷限与无界函数非正常积分的计算方法。

（二）本章重点

定积分的定义、性质、微积分学基本定理

（三）本章难点

可积的条件、非正常积分敛散性的判别

（四）本章的主要内容和学时分配

第一节定积分的概念2学时

1．问题提出

2．定积分的定义

第二节牛顿-莱布尼兹公式2学时

第三节可积条件4学时

1．可积的必要条件

2．可积的充分条件

3．可积函数类

第四节定积分的性质4学时

第五节微积分学基本定理•定积分的计算4学时

1．微积分学基本定理

2．换元积分法与分部积分法

3.泰勒公式的积分型余项

习题4学时

第十章定积分的应用

（一）教学目的和要求

理解并掌握由截面面积函数求空间立体体积的计算方法；理解并掌握曲线弧长的计算方法、用微元法求旋转曲面面积的方法；掌握定积分在物理上的某些应用。

掌握由连续曲线所围成的平面图形在直角坐标系、极坐标系下的面积计算方法；理解并掌握由截面面积函数求空间立体体积的计算公式的应用、曲线弧长的参数表达式和直角坐、极坐标的各种表达形式及其计算方法；理解并掌握利用微元法计算旋转曲面的面积；掌握定积分在物理学上的应用。

（二）本章重点

面积、弧长的计算以及微元法

（三）本章难点

微元法的理解和应用

（四）本章的主要内容和学时分配

第一节平面图形的面积2学时

第二节由截面面积求立体体积4学时

第三节曲线的弧长与曲率2学时

1．曲线的弧长

2.曲率※

第四节旋转曲面的面积2学时

1．微元法

2．旋转曲面的面积

习题4学时

第十一章反常积分

（一）教学目的和要求

了解和掌握反常积分概念、基本性质、收敛性的判别方法。

（二）本章重点

反常积分概念、基本性质、收敛性的判别方法

（三）本章难点

反常积分收敛性的判别方法。

（四）本章的主要内容和学时分配

第一节反常积分的概念2学时

第二节无穷积分的性质与收敛判别4学时

第三节瑕积分的性质与收敛判别2学时

习题2学时

第十二章数项级数

（一）教学目的和要求

理解数项级数和数列极限的关系，会用“

-N”语言表述级数收敛或发散。

能用Cauchy原理证明级数收敛与发散，熟练掌握级数的必要条件。

熟练掌握正项级数敛散的比较原则，Cauchy判别法，达朗贝尔判别法，Cauchy积分判别法，Leibniz判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法，判断级数的条件收敛。

理解级数收敛、绝对收敛、条件收敛之间的关系，了解绝对收敛和条件收敛级数的主要性质，会对含有一个参数的级数确定其绝对收敛域和条件收敛域。

（二）本章重点

Cauchy收敛原理

（三）本章难点

级数收敛、绝对收敛、条件收敛之间的关系

（四）本章的主要内容和学时分配

第一节级数的收敛性2学时

第二节正项级数4学时

1．正项级数的收敛性的一般判别法。

2．比式判别法和根式判别法。

3．积分判别法。

第三节一般项级数4学时

1．交错级数

2．绝对收敛级数及其性质

3．阿贝耳判别法和狄利克雷判别法

习题4学时

第十三章函数列与函数项级数

（一）教学目的和要求

能用数项级数收敛判别法讨论函数项级数的收敛性，研究函数项级数与函数列收敛域；理解一致收敛概念，能从定义出发证明函数列或函数项级数的一致收敛和非一致收敛；掌握Cauchy收敛原理，并能应用于判别一致收敛与非一致收敛；掌握各种判别法，研究函数列或函数项级数的一致收敛性；利用一致收敛性证明极限函数和函数的连续性、可微性与可积性。

反过来，从和函数或极限函数的分析性质研究函数级或函数列的一致收敛性。

（二）本章重点

函数列一致收敛的概念、性质

（三）本章难点

一致收敛性的概念、判别及应用

（四）本章的主要内容和学时分配

第一节一致收敛性4学时

1．函数列及其一致收敛性

2．函数项级数及其一致收敛性

3．函数项级数的一致收敛性判别

第二节一致收敛函数列与函数项级数的性质4学时

习题4学时

第十四章幂级数

（一）教学目的和要求

理解幂级数的概念，熟练掌握幂级数的收敛半径或方法，确定收敛区间端点的敛散性；掌握幂级数在收敛区间内的内闭一致收敛性，幂级数和函数的分析性质；用等比数列求和公式，或通过利用幂级数逐项求导逐项求积的性质，可化为等比数列求和求出某些幂级数的和函数的初等形式。

（二）本章重点

幂级数的收敛区间、收敛半径和展开式

（三）本章难点

收敛区间端点处的敛散性的判别

（四）本章的主要内容和学时分配

第一节幂级数4学时

1．幂级数的收敛区间

2．幂级数的性质

3．幂级数的运算

第二节函数的幂级数展开4学时

1．泰勒级数

2．初等函数的幂级数展开式

习题2学时

第十五章傅立叶级数

（一）教学目的和要求

了解三角级数的正交性，并能在某些积分计算中加以应用；会计算可积函数的Fourier系数；掌握收敛定理的条件与结论，会用收敛定理将以2L为周期的函数展成Fourier级数；掌握奇、偶函数的Fourier级数展开的特点，会将定义在某区间上的函数按要求展成正弦级数或余弦级数；能利用Fourier展开求一些简单级数的和；了解黎曼－勒贝格引理的内容及它的一些简单应用。

（二）本章重点

函数展成Fourier级数

（三）本章难点

Fourier级数敛散性的判别

（四）本章的主要内容和学时分配

第一节Fourier级数2学时

1.三角级数·正交函数关系

2.以2π为周期的函数的Fourier级数

3.收敛定理

第二节以2L为周期的函数的展开式4学时

1.以2L为周期的函数的Fourier级数

2.偶函数与奇函数的Fourier级数

第三节收敛定理的证明2学时

习题2学时

第十六章多元函数的极限与连续

（一）教学目的和要求

掌握平面点集、邻域、中心邻域的表示法；会判别一般平面点集是开集还是闭集，有界还是无界，是否是区域、开区域、闭区域，会写出其边界；了解平面点集的矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理，理解它们与直线上有关定理相互关系，掌握有关的不太复杂的命题的证明的思想方法；掌握平面点列收敛的ε-N定义及柯西收敛原理；深刻理解二元函数的概念及几何意义，并能推广到多元函数；会确定一般二元函数的定义域及连续范围；深刻理解二元函数极限ε-N定义，会依定义证明不太复杂的二重极限；掌握反映二元函数极限与平面点列极限之间关系的归结原则，会通过取特殊路径证明极限不存在；掌握累次极限概念，能通过具体反例分析二次极限与累次极限的关系；深刻理解二元函数连续性及一致连续性的定义，会依定义讨论连续性及有关的简单命题，理解有界闭域上连续函数的性质。

（二）本章重点

二元函数极限ε-N定义

（三）本章难点

二元函数连续性及一致连续性的定义

（四）本章的主要内容和学时分配

第一节平面点集与多元函数4学时

1.平面点集

2.R

上的完备性定理

3.二元函数

4.n元函数

第二节二元函数的极限2学时

1.二元函数的极限

2.累次极限

第三节二元函数的连续性2学时

1.二元函数的连续性概念

2.有界闭域上连续函数的性质

习题4学时

第十七章多元函数微分学

（一）教学目的和要求

掌握求简单函数偏导数的基本技巧；掌握二元函数的偏导数存在性、可微性，以及偏导数连续性之间的关系；掌握二阶混合偏导数与求导顺序无关的条件；了解隐函数存在定理，掌握隐函数求导方法；理解并会应用Lagrange乘数法；理解并会使用最小二乘法。

（二）本章重点

二元函数的偏导数存在性、可微性

（三）本章难点

Lagrange乘数法

（四）本章的主要内容和学时分配

第一节可微性4学时

1．可微性与全微分；

2.偏导数

3.可微性条件

4.可微性几何意义及应用

第二节复合函数微分法2学时

1.复合函数的求导法则

2.复合函数的全微分

第三节方向导数与梯度2学时

第四节泰勒公式与极值问题4学时

1.高阶偏导数

2．中值定理和泰勒公式；

4．极值问题；

习题2学时

第十八章隐函数定理及其应用

（一）教学目的和要求

理解隐函数定理的有关概念，及隐函数存在的条件，进而会求隐函数的导数；了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件；掌握隐函数的微分法在几何方面的应用,会把实际问题抽象为条件极值并予以解决。

（二）本章重点

二元隐函数组存在的条件

（三）本章难点

函数的微分法在几何方面的应用

（四）本章的主要内容和学时分配

第一节隐函数4学时1.隐函数概念；

2.隐函数存在性条件的分析

3.隐函数定理

4.隐函数求导举例

第二节隐函数组4学时

1.隐函数组概念

2.隐函数组定理

3.反函数组与坐标变换

第三节几何应用2学时

1.平面曲线的切线与法线

2.空间曲线的切线与法平面

3.曲面的切平面与法线

第四节条件极值2学时

习题2学时

第十九章含参量积分

（一）教学目的和要求

深刻理解含能变量常见积分作为参量的函数，掌握它的连续性、可微性和可积性的条件，并能应用这些条件讨论一些含参量常见积分的有关性质；理解含参量广义积分及一致收敛概念，会从定义或Cauchy收敛原理出发证明积分的一致收敛性或非一致收敛性；熟练掌握和利用M－判别法、Dirichlet判别法、Abel判别法，判别一些常见积分的一致收敛性；掌握含参量广义积分的分析性质：

连续性、可微性、可积性；掌握Euler函数的定义、性质、递推公式及它们之间的关系，并用于计算积分。

（二）本章重点

广义积分的Cauchy原理

（三）本章难点

Euler函数的定义、性质、递推公式及它们之间的关系

（四）本章的主要内容和学时分配

第一节含参量正常积分4学时

第二节含参量反常积分4学时

1.一致收敛性及其判别法

2.含参量反常积分的性质

第三节欧拉积分2学时

1.

函数

2.B函数

3.

函数与B函数之间的关系

习题2学时

第二十章曲线积分

（一）教学目的和要求

理解建立积分的几何模型及物理模型，从而加深对积分思想方法的理解；掌握积分的基本性质并能证明一些简单的命题。

理解第一型第二型曲线积分的定义。

（二）本章重点

几何体上的积分定义及其几何、物理意义

（三）本章难点

积分的几何模型及物理模型的方法

（四）本章的主要内容和学时分配

第一节第一型曲线积分4学时

1.第一型曲线积分的定义

2.第一型曲线积分的计算

第二节第二型曲线积分4学时

1.第二型曲线积分的定义

2.第二型曲线积分的计算

习题4学时

第二十一章重积分

（一）教学目的和要求

使学生熟练掌握将重积分化为累次积分的计算方法，并会交换积分顺序；熟练掌握二重积分的极坐标变换，三重积分的柱坐标、球坐标、广义球坐标变换，掌握一些简单的一般变换，以达到简化重积分计算的目的；能正确地使用对称性；正确地处理被积函数中含有绝对值符号及一般分段函数的重积分计算；能用重积分计算平面图形的面积，空间立体的体积、物体的质量、重心、转动惯量等。

（二）本章重点

二重积分的极坐标变换。

（三）本章难点

重积分计算平面图形的面积，空间立体的体积等。

（四）本章的主要内容和学时分配

第一节二重积分概念4学时

1.平面图形的面积

2.二重积分的定义及其存在性

3.二重积分的性质

第二节直角坐标系下二重积分的计算4学时第三节格林公式·曲线积分与路线的无关性4学时

1.格林公式

2.曲线积分与路线的无关性

第四节二重积分的变量变换2学时

1.二重积分的变量变换公式

2.用极坐标计算二重积分

第五节三重积分4学时

1.三重积分概念

2.化三重积分为累次积分

3.三重积分换元法

第六节重积分的应用2学时

1.曲面的面积

2.重心

3.转动惯量

4.引力

习题2学时

第二十二章曲面积分

（一）教学目的和要求

掌握曲面面积及第一类曲面积分计算的关键是积分曲面面积元素的计算；理解两类曲面积分之间性质上的异同；会选择和建立积分曲面的适当的参数方程，正确地使用相应的计算公式，以计算两类曲面积分。

在计算中能注意利用曲面方程化简被积函数及利用对称性简化运算