整式的乘除能力培优.docx

1、整式的乘除能力培优第12章 整式的乘除幂的运算专题一 与幂的计算有关的探究题1. 我们约定a&b=10a10b，如2&3=102103=105，那么4&8为（）A32 B1032 C1012 D12102. 已知10a=3，10b=5，10c=7，试把105写成底数是10的幂的形式_3. 小丽给小明出了一道计算题：若（-3）x（-3）2（-3）3=（-3）7，求x的值，小明的答案是-2，小亮的答案是2，你认为_的答案正确（请填“小丽”、“小明”或“小 亮”） 并说明理由.4我们规定：a*b=10a10b，例如3*4=103104=107（1）试求12*3和2*5的值；（2）想一想（a*b）*c

2、与a*（b*c）相等吗如果相等，请验证你的结论专题二 阅读理解题5. 为了求1+2+22+23+24+22013的值，可令S=1+2+22+23+24+22013，则2S=2+22+23+24+22013+22014，因此2S-S=（2+22+23+22013+22014）-（1+2+22+23+22013）=22014-1所以：S=22014-1即1+2+22+23+24+22013=22014-1请依照此法，求：1+4+42+43+44+42013的值6. 阅读下列解题过程，试比较2100与375的大小解：2100=（24）25=1625，375=（33）25=2725，而1627,210

3、0375.请根据上述解答过程解答：若a=2555，b=3444，c=4333，d=5222，试比较a、b、c、d的大小（写出过程）状元笔记：知识要点1. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即aman=am+n(m、n都是正整数）.am表示m个a相乘，an表示n个a相乘，aman表示m个a相乘再与n个a相乘，根据乘方的意义可得aman=am+n.2. 幂的乘方是指几个相同的幂相乘法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘即(am)n=amn（m，n都是正整数）.3. 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab)n=anb

4、n（n是正整数）4. 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减即aman= am-n（a0，m，n都是正整数，且mn)参考答案1. C 【解析】4&8=104108=1012故选C2. 10a+b+c 【解析】105=357，而3=10a，5=10b，7=10c，105=10a10b10c=10a+b+c.故应填10a+b+c3. 小亮 【解析】小亮的答案是正确的理由如下：（-3）x（-3）2（-3）3=（-3）x+2+3=（-3）7，x+2+3=7，解得x=2故填小亮4. 解：（1）12*3=1012103=1015，2*5=102105=107；（2）相等（a*b）*c=（10

5、a10b）*c=10c=+c，a*（b*c）=a*（10b10c）=10a+10b+c（a*b）*ca*（b*c）5. 解：为了求1+4+42+43+44+42013的值，可令S=1+4+42+43+44+42013，则4S=4+42+43+44+42014，所以4S-S=（4+42+43+44+42014）-（1+4+42+43+44+42013）=42014-1，所以3S=42014-1，所以S=（42014-1），即1+4+42+43+44+42013=（42014-1）6. 解：a=2555，b=3444，c=4333，d=5222，a=（25）111，b=（34）111，c=（43）

6、111，d=（52）111，a=32111，b=81111，c=64111，d=2511181643225，81111641113211125111，bcad 整式的乘法专题 阅读探究题1. 阅读下列解答过程，并回答问题在（x2+ax+b）与（2x2-3x-1）的积中，x3系数为-5，x2系数为-6，求a，b的值解：(x2+ax+b）（2x2-3x-1）=2x4-3x3+2ax3+3ax2-3bx =2x4-（3-2a）x3-（3a-2b）x2-3bx.根据对应项系数相等，有.回答：（1）上述解答过程是否正确_（2）若不正确，从第_步开始出现错误，其他步骤是否还有错误 _（3）写出正确的解答过

7、程2. （1）计算（x+1）（x+2）=_，（x-1）（x-2）=_，（x-1）（x+2）=_，（x+1）（x-2）=_（2）你发现（1）小题有何特征，会用公式表示出来吗？（3）已知a、b、m均为整数，且（x+a）（x+b）=x2+mx+12，则m的可能取值有多少个状元笔记【知识要点】1. 单项式与单顶式相乘法则：单项式与单项武相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式2. 单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加3. 多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一

8、个多项式的每一项，再把所得的积相加.【方法技巧】1. 先利用乘法交换律和乘法结合律，再利用同底数幂的乘法法则可完成单项式乘法对于法则不要死记硬背，要注意以下几点：(1)积的系数等于各单项式的系数的积，应先确定符号后计算绝对值(2)要注意只在一个单项式里含有的字母要连同它的指数写在积里，不能将这个因式丢掉(3)单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘也适用.参考答案1. 解：（1）不正确，（2）第步出现错误，第步还有错误；（3）（x2+ax+b）（2x2-3x-1）的展开式中含x3的项有：-3x3+2ax3=（2a-3）x3，含x2的项有：-x2+2bx2-3ax2=（-3a+2b-1）x2又x3

9、项的系数为-5，x2项的系数为-6，有 ，解得 2. 解：（1）（x+1）（x+2）=x2+3x+2，（x-1）（x-2）=x2-3x+2，（x-1）（x+2）=x2+x-2，（x+1）（x-2）=x2-x-2；（2）可以发现题（1）中，左右两边式子符合（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq结构（3）因为12可以分解以下6组数，ab=112，26，34，（-1）（-12），（-2）（-6），（-3）（-4），所以m=a+b应有6个值12.3 乘法公式专题一 与乘法公式有关的规律探究题1. 观察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1（x-1）（x2+x+1）=x3-1（x-1）（x3+

10、x2+x+1）=x4-1（x-1）（x4+x3+x2+x+1）=x5-1（1）你能否由此归纳出一般性规律：（x-1）（xn-1+xn-2+xn-3+x2+x+1）=_； （2）根据（1）求出：1+2+22+262+263的结果.2. 观察下面各式规律：12+（12）2+22=（12+1）2；22+（23）2+32=（23+1）2；32+（34）2+42=（34+1）2写出第n个的式子，并证明你的结论专题二 与平方差公式有关的图形问题3. 如下图，把正方形的方块，按不同的方式划分，计算其面积，便可得到不同的数学公式按图1所示划分，计算面积，便得到一个公式：（x+y）2=x2+2xy+y2若按图2

11、那样划分，大正方形则被划分成一个小正方形和两个梯形，通过计算图中的面积，请你完成下面的填空（1）图2中大正方形的面积为_；（2）图2中两个梯形的面积分别为_；（3）根据（1）和（2），你得到的一个数学公式为_5. 图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形（1）图2中的阴影部分的面积为_；（2）观察图2，三个代数式（m+n)2，（m-n)2，mn之间的等量关系是_若x+y=-6，xy=，则x-y=_(4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2.专题

12、三 平方差公式的逆运用5. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数”（1）28和2 012这两个数是“神秘数”吗为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗为什么？（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗为什么 状元笔记【知识要点】1. 平方差公式：(a+b)（a-b）=a2-b2用语言叙述为：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差3. 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2 -

13、2ab+b2.语言叙述为：两数和（或差）的平方，【方法技巧】平方差公式常用的几种变化形式：(1)位置变化：(b+a)(-b+a）=(a+b)(a-b）=a2 -b2；(2)符号变化：（-a-b）（a-b）=-（a+b）（a-b）=-(a2-b2)；(3)系数变化：(2a+3b)(2a-3b)=4a2-9b2；（4）指数变化：(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4（5）增项变化：（a-b-c)(a-b+c)=(a-b)2-c2,完全平方公式常有以下几种变化形式：(l)a2+b2=(a+b)2-2ab;(2)a2+b2=(a-b)2+2ab；(3)2ab=(a+b)2-(

14、a2+b2);(4)2ab=(a2+b2)-(a-b)2；(5)(a+b)2=(a-b)2+4ab；（6）(a-b)2-(a+b)2=4ab.参考答案1. 解：（x-1）（xn-1+xn-2+xn-3+x2+x+1）=xn-1；原式=（2-1）（263+262+22+2+1）=264-12. 解：第n个式子：n2+n（n+1）2+（n+1）2=n（n+1）+12.证明：因为左边=n2+n（n+1）2+（n+1）2=n2+（n2+n）2+（n+1）2=（n2+n）2+2n2+2n+1=（n2+n）2+2（n2+n）+1=（n2+n+1）2，而右边=（n2+n+1）2，所以，左边=右边，等式成立3

15、. 解：（1）图中大正方形的面积为x2；（2）两个梯形的面积分别为（x+y）（x-y）；（3）x2-y2=2（x+y）（x-y）；即x2-y2=（x+y）（x-y）4. 解：（1）（m-n）2 （2）（m-n）2+4mn=（m+n）2 （3）5 （4）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2 （5）答案不唯一，例如：5. 解：（1）28=214=（8-6）（8+6）=82-62；2012=4503=5042-5022，所以28和2012是神秘数（2）（2k+2）2-（2k）2=（2k+2-2k）（2k+2+2k）=4（2k+1）， 由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数（3）设两个连续奇数

16、为2k+1和2k-1，则（2k+1）2-（2k-1）2=8k=42k， 两个连续奇数的平方差不是神秘数12.4 整式的除法专题 与乘除互逆运算相关的问题1. 已知一个多项式与单项式-7x2y3的积为21x4y5-28x7y4+14x6y6，试求这个多项式.2. 已知被除式为x3+3x2-1，商式是x，余式是-1，求除式状元笔记【知识要点】1. 单项式除以单项式法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，2. 多项式除以单项式法则：多项式除以单项武，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加，即：（a

17、+b+c)m=am+bm+cm【温馨提示】1. 计算单项式除以单项式时要注意：(1)商的符号；(2)运算顺序与有理数运算顺序相同2. 在进行多项式除以单项式时，一定要注意符号，不要漏除每一项多项式除以单项式的关键是逐项去除，结果的项数与多项的项数相同，这是检验是否漏项的重要方法注意多项式带单位对要加括号.参考答案1. 解：依题意：所求多项式=（21x4y5-28x7y4+14x6y6）（-7x2y3）=-3x2y2+4x5y-2x4y32. 解：x3+3x2-1-（-1）x=（x3+3x2）x=x2+3x12.5 因式分解专题 因式分解的巧妙应用1如果mn=5，mn=6，则m2nmn2的值是（

18、） A30 B30 C11 D112利用因式分解计算32+2013=_3在下列三个不为零的式子：x24x，x2+2x，x24x+4中.（1）请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解；（2）请你选择其中两个并用不等号连接成不等式，并求其解集状元笔记【知识要点】我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子边形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式【方法技巧】因式分解的方法： (1)提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这样分解因式的方法叫做提公因式法 (2)将乘法公式的等号两边互换位置，得到用于分解因式

19、的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法 (3)平方差公式：a2b2=(a+b)(ab)，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 (4)完全平方公式：a22ab+b2=(ab)2，两个数的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方参考答案1 B 【解析】mn=5，mn=6，m2nmn2=mn（mn）=6（5）=30.故选B2 2013 【解析】32+2013=2013+2013+2013=2013（+）=20131=20133解：(1)（x24x）+（x2+2x）=2x22x=2x（x1） (2)x24xx2+2x，合并同类项，得6x0， 解得x0