整式的乘除能力培优.docx

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整式的乘除能力培优

第12章整式的乘除

幂的运算

专题一与幂的计算有关的探究题

1.我们约定a&b=10a×10b，如2&3=102×103=105，那么4&8为（　　）

A．32B．1032C．1012D．1210

2.已知10a=3，10b=5，10c=7，试把105写成底数是10的幂的形式___________．

3.小丽给小明出了一道计算题：

若（-3）x•（-3）2•（-3）3=（-3）7，求x的值，小明的答案是-2，小亮的答案是2，你认为___________的答案正确（请填“小丽”、“小明”或“小亮”）．并说明理由.

4．我们规定：

a*b=10a×10b，例如3*4=103×104=107．

（1）试求12*3和2*5的值；

（2）想一想（a*b）*c与a*（b*c）相等吗如果相等，请验证你的结论．

专题二阅读理解题

5.为了求1+2+22+23+24+…+22013的值，可令S=1+2+22+23+24+…+22013，

则2S=2+22+23+24+…+22013+22014，

因此2S-S=（2+22+23+…+22013+22014）-（1+2+22+23+…+22013）=22014-1．

所以：

S=22014-1．即1+2+22+23+24+…+22013=22014-1．

请依照此法，求：

1+4+42+43+44+…+42013的值．

6.阅读下列解题过程，试比较2100与375的大小．

解：

∵2100=（24）25=1625，375=（33）25=2725，，而16＜27,

∴2100＜375.

请根据上述解答过程解答：

若a=2555，b=3444，c=4333，d=5222，试比较a、b、c、d的大小．（写出过程）

状元笔记：

[知识要点]

1.同底数幂的乘法法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即am·an=am+n（m、n都是正整数）.am表示m个a相乘，an表示n个a相乘，am·an表示m个a相乘再与n个a相乘，根据乘方的意义可得am·an=am+n.

2.幂的乘方是指几个相同的幂相乘

法则：

幂的乘方，底数不变，指数相乘．即（am）n=amn（m，n都是正整数）.

3.积的乘方是指底数是乘积形式的乘方

法则：

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，

即（ab）n=anbn（n是正整数）．

4.同底数幂的除法法则：

同底数幂相除，底数不变，指数相减．

即am÷an=am-n（a≠0，m，n都是正整数，且m>n）．

参考答案

1.C【解析】4&8=104×108=1012．故选C．

2.10a+b+c【解析】105=3×5×7，而3=10a，5=10b，7=10c，∴105=10a•10b•10c=10a+b+c.

故应填10a+b+c．

3.小亮【解析】小亮的答案是正确的．理由如下：

∵（-3）x•（-3）2•（-3）3=（-3）x+2+3=（-3）7，

∴x+2+3=7，解得x=2．故填小亮．

4.解：

（1）12*3=1012×103=1015，2*5=102×105=107；

（2）相等．∵（a*b）*c=（10a×10b）*c=

×10c=

+c，a*（b*c）=a*（10b×10c）=10a+10b+c．

∴（a*b）*c≠a*（b*c）．

5.解：

为了求1+4+42+43+44+…+42013的值，可令S=1+4+42+43+44+…+42013，

则4S=4+42+43+44+…+42014，

所以4S-S=（4+42+43+44+…+42014）-（1+4+42+43+44+…+42013）=42014-1，

所以3S=42014-1，

所以S=

（42014-1），

即1+4+42+43+44+…+42013=

（42014-1）．

6.解：

∵a=2555，b=3444，c=4333，d=5222，

∴a=（25）111，b=（34）111，c=（43）111，d=（52）111，

∴a=32111，b=81111，c=64111，d=25111．

∵81＞64＞32＞25，

∴81111＞64111＞32111＞25111，

∴b＞c＞a＞d．

整式的乘法

专题阅读探究题

1.阅读下列解答过程，并回答问题．在（x2+ax+b）与（2x2-3x-1）的积中，x3系数为-5，x2系数为-6，求a，b的值．

解：

（x2+ax+b）•（2x2-3x-1）=2x4-3x3+2ax3+3ax2-3bx①

=2x4-（3-2a）x3-（3a-2b）x2-3bx..②

根据对应项系数相等，有

.③

回答：

（1）上述解答过程是否正确____________．

（2）若不正确，从第_________步开始出现错误，其他步骤是否还有错误__________________．

（3）写出正确的解答过程．

2.

（1）计算（x+1）（x+2）=_____________，

（x-1）（x-2）=___________，

（x-1）（x+2）=__________，

（x+1）（x-2）=_______________．

（2）你发现

（1）小题有何特征，会用公式表示出来吗？

（3）已知a、b、m均为整数，且（x+a）（x+b）=x2+mx+12，则m的可能取值有多

少个

状元笔记

【知识要点】

1.单项式与单顶式相乘法则：

单项式与单项武相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．

2.单项式与多项式相乘法则：

单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

3.多项式与多项式相乘法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

【方法技巧】

1.先利用乘法交换律和乘法结合律，再利用同底数幂的乘法法则可完成单项式乘法．对于法则不要死记硬背，要注意以下几点：

（1）积的系数等于各单项式的系数的积，应先确定符号后计算绝对值．

（2）要注意只在一个单项式里含有的字母要连同它的指数写在积里，不能将这个因式丢掉．

（3）单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘也适用.

参考答案

1.解：

（1）不正确，

（2）第①步出现错误，第②③步还有错误；

（3）（x2+ax+b）（2x2-3x-1）的展开式中含x3的项有：

-3x3+2ax3=（2a-3）x3，

含x2的项有：

-x2+2bx2-3ax2=（-3a+2b-1）x2．

又∵x3项的系数为-5，x2项的系数为-6，

∴有

，解得

．

2.解：

（1）（x+1）（x+2）=x2+3x+2，

（x-1）（x-2）=x2-3x+2，

（x-1）（x+2）=x2+x-2，

（x+1）（x-2）=x2-x-2；

（2）可以发现题

（1）中，左右两边式子符合（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq结构．

（3）因为12可以分解以下6组数，a×b=1×12，2×6，3×4，（-1）×（-12），

（-2）×（-6），（-3）×（-4），所以m=a+b应有6个值．

12.3乘法公式

专题一与乘法公式有关的规律探究题

1.观察下列各式：

（x-1）（x+1）=x2-1

（x-1）（x2+x+1）=x3-1

（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1

（x-1）（x4+x3+x2+x+1）=x5-1

（1）你能否由此归纳出一般性规律：

（x-1）（xn-1+xn-2+xn-3+…+x2+x+1）=____；

（2）根据

（1）求出：

1+2+22+…+262+263的结果.

2.观察下面各式规律：

12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；

22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；

32+（3×4）2+42=（3×4+1）2…

写出第n个的式子，并证明你的结论．

专题二与平方差公式有关的图形问题

3.如下图，把正方形的方块，按不同的方式划分，计算其面积，便可得到不同的数学公式．按图1所示划分，计算面积，便得到一个公式：

（x+y）2=x2+2xy+y2．

若按图2那样划分，大正方形则被划分成一个小正方形和两个梯形，通过计算图中的面积，请你完成下面的填空．

（1）图2中大正方形的面积为__________；

（2）图2中两个梯形的面积分别为__________；

（3）根据

（1）和

（2），你得到的一个数学公式为______________________．

5.图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）图2中的阴影部分的面积为_______；

（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m-n）2，mn之间的等量关系是_______若x+y=-6，xy=，则x-y=___________

（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢

（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2.

专题三平方差公式的逆运用

5.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．

如：

4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数”

（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神

秘数是4的倍数吗为什么？

（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗为什么

状元笔记

【知识要点】

1.平方差公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2．

用语言叙述为：

两数和与这两数差的积，等于它们的平方差．

3.完全平方公式：

（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2.

语言叙述为：

两数和（或差）的平方，

【方法技巧】

平方差公式常用的几种变化形式：

（1）位置变化：

（b+a）（-b+a）=（a+b）（a-b）=a2-b2；

（2）符号变化：

（-a-b）（a-b）=-（a+b）（a-b）=-（a2-b2）；

（3）系数变化：

（2a+3b）（2a-3b）=4a2-9b2；

（4）指数变化：

（a2+b2）（a2-b2）=（a2）2-（b2）2=a4-b4

（5）增项变化：

（a-b-c）（a-b+c）=（a-b）2-c2,…

完全平方公式常有以下几种变化形式：

（l）a2+b2=（a+b）2-2ab;

（2）a2+b2=（a-b）2+2ab；

（3）2ab=（a+b）2-（a2+b2）;

（4）2ab=（a2+b2）-（a-b）2；

（5）（a+b）2=（a-b）2+4ab；

（6）（a-b）2-（a+b）2=4ab.

参考答案

1.解：

①（x-1）（xn-1+xn-2+xn-3+…+x2+x+1）=xn-1；

②原式=（2-1）（263+262+…+22+2+1）=264-1．

2.解：

第n个式子：

n2+[n（n+1）]2+（n+1）2=[n（n+1）+1]2.

证明：

因为左边=n2+[n（n+1）]2+（n+1）2

=n2+（n2+n）2+（n+1）2

=（n2+n）2+2n2+2n+1

=（n2+n）2+2（n2+n）+1

=（n2+n+1）2，

而右边=（n2+n+1）2，所以，左边=右边，等式成立

3.解：

（1）图中大正方形的面积为x2；

（2）两个梯形的面积分别为

（x+y）（x-y）；

（3）x2-y2=2×

（x+y）（x-y）；即x2-y2=（x+y）（x-y）．

4.解：

（1）（m-n）2

（2）（m-n）2+4mn=（m+n）2

（3）±5

（4）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2

（5）答案不唯一，例如：

5.解：

（1）28=2×14=（8-6）（8+6）=82-62；2012=4×503=5042-5022，

所以28和2012是神秘数．

（2）（2k+2）2-（2k）2=（2k+2-2k）（2k+2+2k）=4（2k+1），

∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数．

（3）设两个连续奇数为2k+1和2k-1，则（2k+1）2-（2k-1）2=8k=4×2k，

∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．

12.4整式的除法

专题与乘除互逆运算相关的问题

1.已知一个多项式与单项式-7x2y3的积为21x4y5-28x7y4+14x6y6，试求这个多项式.

2.已知被除式为x3+3x2-1，商式是x，余式是-1，求除式．

状元笔记

【知识要点】

1.单项式除以单项式法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，

2.多项式除以单项式法则：

多项式除以单项武，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加，即：

（a+b+c）÷m=a÷m+b÷m+c÷m．

【温馨提示】

1.计算单项式除以单项式时要注意：

（1）商的符号；

（2）运算顺序与有理数运算顺序相同．

2.在进行多项式除以单项式时，一定要注意符号，不要漏除每一项．多项式除以单项式的关键是逐项去除，结果的项数与多项的项数相同，这是检验是否漏项的重要方法．

注意多项式带单位对要加括号.

参考答案

1.解：

依题意：

所求多项式=（21x4y5-28x7y4+14x6y6）÷（-7x2y3）=-3x2y2+4x5y-2x4y3．

2.解：

[x3+3x2-1-（-1）]÷x=（x3+3x2）÷x=x2+3x．

12.5因式分解

专题因式分解的巧妙应用

1．如果m－n=－5，mn=6，则m2n－mn2的值是（　　）

A．30B．－30C．11D．－11

2．利用因式分解计算32×+×+×2013=___________．

3．在下列三个不为零的式子：

x2－4x，x2+2x，x2－4x+4中.

（1）请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解；

（2）请你选择其中两个并用不等号连接成不等式，并求其解集．

状元笔记

【知识要点】

我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子边形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

【方法技巧】

因式分解的方法：

（1）提公因式法：

如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这样分解因式的方法叫做提公因式法．

（2）将乘法公式的等号两边互换位置，得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．

（3）平方差公式：

a2－b2=（a+b）（a－b），两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．

（4）完全平方公式：

a2±2ab+b2=（a±b）2，两个数的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．

参考答案

1．B【解析】∵m－n=－5，mn=6，∴m2n－mn2=mn（m－n）=6×（－5）=－30.故选B．

2．2013【解析】32×+×+×2013=×2013+×2013+×2013=2013×（++）=2013×1=2013．

3．解：

（1）（x2－4x）+（x2+2x）=2x2－2x=2x（x－1）．

（2）x2－4x＞x2+2x，合并同类项，得－6x＞0，解得x＜0．