随机过程习题答案.doc

1、随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a）分别写出随机变量 和 的分布密度 （b）试问： 与 是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此 与 独立。 2、设 和 为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a）试求 和 的相关系数； （b） 与 能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有： （b）当 的时候， 和 线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即 ， 试求方

2、差函数。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中： 式中和 为正的常数； 是 内均匀分布的随机变量， 是标准正态分布的随机变量。 （a）求的均值、方差和相关函数； （b）若 与 独立，求与Y的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2解： 其中为整数， 为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3解：由周期性及三角关系，有： 反函数 ，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知，的联合概率密度为： 利用变换： ，及雅克比行列式： 我们有 的联合分布密度为： 因此有： 且V和 相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于 独

3、立、服从正态分布，因此 也服从正态分布，且 所以 。 （4） 由于： 所以 因此当时， 当时， 由（1）中的结论，有： P36/7证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有： （2）P37/10. 解：（1） 当i=j 时；否则 令 ，则有 第三讲作业： P111/7解： （1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： ， 因此： P112/9解： （1） （2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得： ； 计算有： ，递

4、推得到，因此有： P112/11解：矩阵 的特征多项式为： 由此可得特征值为： ，及特征向量： 令矩阵， 则有：因此有： P112/12解： 设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。记每天天晴为0，下雨为1，则此链的状态可以由三位二进制数表示。如三天晴为000，为状态0；第一天晴，第二天晴，第三天雨为001，为状态1；第一天晴，第二天雨，第三天晴为010，为状态2；第一天晴，后两天阴为011，为状态3，等等。根据题目条件，得到一步转移矩阵如下： 第四讲作业： P113/13解：画出状态转移图，有： P113/14. 解：画

5、出状态转移图，有： P113/16解：画出状态转移图，有： （1）由于三个状态都是相通的，所以三个状态都是常返态。 （3）状态3、4无法和其他状态相通，组成一个闭集，且 ，所以状态3、4为常返态；另外状态0、2相通组成一个闭集，且，故状态0、2是常返态；因为，故，所以状态1为非常返态。 （4）0、1相通作成一闭集，且，故0、1为常返态；又，因此，故2为常返态； ，故3、4为非常返态。 第六讲作业： P115/17解：（1）一步转移矩阵为： （2）当时，由计算可得，因此可由以下方程组计算极限分布： 解得极限分布即可。 P115/18解：由第七题的结果，计算可得：， 因此可计算极限分布如下： 解以

6、上方程，得极限分布： P115/19解：见课上讲稿。 P116/21解：记 ，则有： （1）因为： (A) 当时，有： 由（A）可得： 当且时，有： 由（A）可得： 当且时，有： 由（A）可得： 另外：下列等式是明显的 因此我们有： 即是一齐次马氏链。一步转移矩阵为： （2）画出转移矩阵图，可得： 由：及，并且取，由递归可得： （3）由于： 因此，零状态是正常返的，由相通性，故所有状态都是正常返的，即此马氏链是不可约的。 （4）由马氏链的无后效性，可知此时的T就是零状态到零状态的首达时间。因此我们有： 随机过程习题解答（二）P228/1。证明：由于，有其中所以证毕。P229/3. 解：（1）因

7、为是一Poission过程，由母函数的定义，有：（2）有上面（1）的结果，可得：（3）当充分小时，由于：因此，当时，有：由（2）的结果，我们有：P229/4. 解：（1）由上面3题的结果（3），我们有：（2）由于是随机过程的母函数，且，将函数关于展开成级数形式，我们可得：由母函数与分布函数的唯一性定理，可得：P230/8. 解：由特征函数的定义，我们有：令，则有： （*）若的概率分布为：则 （*）将（*）代入（*），我们有：P230/7. 解：先求的特征函数：由上面8题的结果，根据特征函数与分布函数的唯一性定理，可知是复合Poission过程。P231/10. 解：由于因为的母函数为：，由独立

8、性，可知的母函数为：，所以是参数为的泊松过程，即因此我们有：P231/12. 解：（1）由令，有解得（2）由（1）知，服从参数为的泊松分布。P232/15. 解：（1）以表示时刻系统中不正常工作的信道数，则是一马氏过程，其状态空间为：，矩阵为：（2）令：则前进方程为：（3）令：写出福克普朗克方程：即有：做Laplace变换，令：则有：由上解得：其中：因此求即可。（4）P233/16. 解：（1）令表示时刻系统中正在用电的焊工数，则是一马氏过程，其状态空间为：。（2）矩阵为：（3）令：写出福克普朗克方程：（4）画出状态转移率图，可得时的平衡方程：由此可得：即有：由此可以求得：由 ，即可确定，最终

9、得到所要的结果。P233/17. 解：（1）由于：可以得到此过程的矩阵：令：写出福克普朗克方程：初始条件：。（2）由数学期望的定义：由此，我们有：即可得到描写的微分方程：（3）解上面的微分方程，我们有：P233/19. 解（1）根据题意得到矩阵为由福克普朗克方程得：（2）而因此左边=右边=左边=右边，证毕。（3）将代入左边。（4）由，有即进而有所以（5）令，由(4)的结论其中对应的系数为所以（6）（7）由(5)的结论，知P236/24解：(1) 根据题意得矩阵由平衡方程，有因此有 ，进而 因为所以，当 时系统平稳。(2)(3) 前次以概率重新排队，第次以概率离开，所以即为所求。(4)26解(1

10、) 设系统状态为不工作机器的数量，则，得矩阵列出平衡方程其中：解得所以(2)P237/28. 解：（1）设泊松分布第个事件发生与第个事件发生的时间间隔的特征函数为：，则有：由于是独立同分布的，根据 以及特征函数的性质可知：因此可知是服从参数为的泊松分布，即：（2）由：可知：附：一阶拟线性（线性）偏微分方程的解法：一阶拟线性方程的一般形式：一阶线性方程的一般形式：称：或：为一阶拟线性方程的特征方程。由此方程确定的曲线为特征曲线。一阶拟线性方程的特征方程的解为积分曲面。有以下定理：定理：若特征曲线上一点位于积分曲面上，则整个位于上。初值问题：给定初始曲线：，为参数。则一阶拟线性方程的初值问题的提法

11、是：求方程的解，使满足。我们有以下定理。定理：设曲线光滑，且，在点处行列式又设在附近光滑，则初始问题：在参数的一邻域内存在唯一解。例：已知初始曲线，求初值问题：解：由于：解常微分方程的初值问题：得：由后两式解出，并代入第一式，解得：P233/9. 解初值问题：由于：解常微分方程的初值问题：解得：在上面式子中消去参数，得初值问题的解：P311/1. 解：（1）给定 时，有 （2）任取我们有： 所以Poission过程不是平稳过程。 P311/2. 解：（1）由Poission过程的性质，任取假定事件： 则有： ， 因此有： （2）由 ，且仅与有关，可知 是平稳过程。 P312/3. 解：（1）由

12、均值的定义，我们有： （2）由相关函数的定义，任取，我们可得： P312/4. 解：为了解此题，先看下面的引理： 引理：设是服从正态分布的二维随机变量，其概率密度为： 则 和Y取不同符号的概率为： 引理的证明： 令： 则有： 以上式子用了变换： 由： 因此只要求： 因此有： 由于此时： 我们即可得到结论。 P313/5. 证明：由于： 故 是宽平稳过程。 分别取，则 ，因为 具有不同分布，所以不满足一级严平稳条件。 P314/10. 解：样本函数不连续。令：，下面求相关函数： 因为： 因此该过程是均方连续的随机过程。 P314/11. 证明：令： ，则有 由车比雪夫不等式： P315/13.

13、证明：（1）令： ，由上题的结果可知： 因此有 （2）由相关函数的定义及（1）的结果，有 P316/17. 解：（1）由均值函数和相关函数的定义，我们有： 由 ，可得 （2）有上面的结果知 是一宽平稳过程。令： ， ， ， ， 不具有相同的分布，所以 不是一级严平稳过程。 P318/22. 解：根据题目给定的条件，有： ， 因为：，因此有： P318/23. 解：根据 为一平稳过程，则有： ， 因此有： P318/25. 解：由平稳过程相关函数的定义，有： P319/28. 解：由题意，我们有： 设，则有： 令： ，则有： ，因此有： P319/30. 解：（1）由于： 因此输入不是平稳的。

14、（2）由计算可得： （3）计算均值函数和相关函数为： 因此输出不是平稳的过程。P445/1解题中给出的是一确定性周期信号，令：，因此它们的时间相关函数和功率谱密度分别为： 当时，因此有： P445/2. 解：（3） （4） P445/3. 解：由功率谱密度和相关函数的关系，有： P446/4. 解：（1）由于： 因此，由功率谱密度和相关函数的关系，有： （2）由功率谱密度和相关函数的关系，有： P446/5. 解：由功率谱密度和相关函数的关系及是偶函数，我们有： 其均方值为： P447/7. 解：（1）冲激响应为： （2）由6题的结果，我们有： 注意到的定义，当 或 时， ， 当 时， 当 时

15、， 因此有： （3）由6题的结果，令：，有： P447/8. 解：由Fourier变换，有： 因为： 则有： 因此有： 当 时，有 由于： ，显然 ，所以 不关于对称。 P448/11. 证明I ：当时，利用实平稳过程相关函数的非负定性以及 ， 取：，；以及 ， 我们有： 由此可得： 即有： 因此有： 证明II ：设此随机过程的功率谱密度函数为 ，由题意可知，下面用归纳法证明结论： 当时，有 假设当n=k时，结论成立，即 则有： 即当n=k+1时，结论成立，由归纳法可知有结论成立。 P450/14. 解：由样本函数可知，假设为第i个脉冲到达时刻，则有： 根据： ，由 我们有： 由于 因此，当时

16、， 是平稳过程，且 由Fourier变换，可得： P452/16. 解：由 ，且 与 的独立性及它们的平稳性，有： P452/17. 证明：（1）由： 由于： 因此： 由于： ，因此输出过程是平稳过程。 （2）由（1）的结果，有： P454/19. 解：令 ，我们有： P454/21. 解：（1）取： ，则有： ， 因此有： （2）由（1）的结果，有： 由于： 因此有： P561/1. 解：只要求矩阵B的逆矩阵即可。我们有： P562/4. 解：由求特征函数的公式： 我们有： P563/7. 解：由 的密度函数，我们有： 因此有： 计算，得： 因此 是独立的随机变量。由于变换的雅克比行列式为

17、，因此变换后的分布密度为： 由归一化条件可以确定 。 P562/6. 解：由特征函数的定义，可知三维正态随机向量的特征函数为： 令： 则有：（1） 计算得： 因此有： （2） 计算得： 对于次数大于1的那些项，当时，都会变成0，统一记作，有： 对于含有的那些项，当时，都会变成0，统一记作 ，则有： 利用(0,0,0)=1，可得： （3）先求得： 则有： P563/8. 解：求边缘分布密度，由于： 即 服从正态分布，同理 也服从正态分布。注意到：我们可以求得随机变量 的分布密度为： 由全概率公式，我们有： 因此，当时，我们有： 即： 显然，上式第一项表示的是正态分布的项，而第二项是非零的，因此

18、和 的线性组合 不是一维正态分布，由书中P472的定理一，我们可知 不是二维正态分布。 P564/11. 解：（1）根据维纳辛钦定理，我们有： 则有 故 两两不相关，由于 是高斯过程，因此它们是独立的。 令： 则有： 因此有：(的联合概率密度为： （2）由于 故有： P568/18. 解：我们知道，平稳奥斯坦乌伦贝克过程 是正态过程，且有： 由公式（见P466例）： 我们有： 即有： 下面计算： 当 时，有： 由于此时当时，有，因此： 当 时，我们有： 因此有： 同理可以讨论当 和 的情形，同样有 。由相关函数各态历经性定理可知，平稳奥斯坦乌伦贝克过程具有相关函数各态历经性。 P569/23. 解：随机微分方程的解为： P569/24. 解：将微分方程化成标准形式，有： 利用上题的结果，有： 由于为常数，因此我们有： 由于X(t)是正态分布，因此可以写出其一维分布密度为：