随机过程习题答案.doc

随机过程习题答案.doc

《随机过程习题答案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机过程习题答案.doc（41页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

随机过程习题解答

（一）

第一讲作业：

1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。

（a）分别写出随机变量和的分布密度

（b）试问：

与是否独立？

说明理由。

解：

（a）

（b）由于：

因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：

因此与独立。

2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。

（a）试求和的相关系数；

（b）与能否不相关？

能否有严格线性函数关系？

若能，试分别写出条件。

解：

（a）利用的独立性，由计算有：

（b）当的时候，和线性相关，即

3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。

解：

由定义，有：

4、考察两个谐波随机信号和，其中：

式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。

（a）求的均值、方差和相关函数；

（b）若与独立，求与Y的互相关函数。

解：

（a）

（b）

第二讲作业：

P33/2．解：

其中为整数，为脉宽

从而有一维分布密度：

P33/3．解：

由周期性及三角关系，有：

反函数，因此有一维分布：

P35/4.解：

（1）其中

由题意可知，的联合概率密度为：

利用变换：

，及雅克比行列式：

我们有的联合分布密度为：

因此有：

且V和相互独立独立。

（2）典型样本函数是一条正弦曲线。

（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且

所以。

（4）由于：

所以因此

当时，

当时，

由

（1）中的结论，有：

P36/7．证明：

（1）

（2）由协方差函数的定义，有：

（2）

P37/10.解：

（1）

当i=j时；否则

令，则有

第三讲作业：

P111/7．解：

（1）是齐次马氏链。

经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。

（2）由题意，我们有一步转移矩阵：

P111/8．解：

（1）由马氏链的马氏性，我们有：

（2）由齐次马氏链的性质，有：

，

因此：

P112/9．解：

（1）

（2）由

（1）的结论，当为偶数时，递推可得：

；

计算有：

，递推得到，因此有：

P112/11．解：

矩阵的特征多项式为：

由此可得特征值为：

，及特征向量：

令矩阵

，

则有：

因此有：

P112/12．解：

设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。

记每天天晴为0，下雨为1，则此链的状态可以由三位二进制数表示。

如三天晴为000，为状态0；第一天晴，第二天晴，第三天雨为001，为状态1；第一天晴，第二天雨，第三天晴为010，为状态2；第一天晴，后两天阴为011，为状态3，等等。

根据题目条件，得到一步转移矩阵如下：

第四讲作业：

P113/13．解：

画出状态转移图，有：

P113/14.解：

画出状态转移图，有：

P113/16．解：

画出状态转移图，有：

（1）由于三个状态都是相通的，所以三个状态都是常返态。

（3）状态3、4无法和其他状态相通，组成一个闭集，且，所以状态3、4为常返态；另外状态0、2相通组成一个闭集，且，故状态0、2是常返态；因为，故，所以状态1为非常返态。

（4）0、1相通作成一闭集，且，故0、1为常返态；又，因此，故2为常返态；，故3、4为非常返态。

第六讲作业：

P115/17．解：

（1）一步转移矩阵为：

（2）当时，由计算可得，因此可由以下方程组计算极限分布：

解得极限分布即可。

P115/18．解：

由第七题的结果，计算可得：

，

因此可计算极限分布如下：

解以上方程，得极限分布：

P115/19．解：

见课上讲稿。

P116/21．解：

记，则有：

（1）因为：

（A）

当时，有：

由（A）可得：

当且时，有：

由（A）可得：

当且时，有：

由（A）可得：

另外：

下列等式是明显的

因此我们有：

即{是一齐次马氏链。

一步转移矩阵为：

（2）画出转移矩阵图，可得：

由：

及，并且取，由递归可得：

（3）由于：

因此，零状态是正常返的，由相通性，故所有状态都是正常返的，即此马氏链是不可约的。

（4）由马氏链的无后效性，可知此时的T就是零状态到零状态的首达时间。

因此我们有：

随机过程习题解答

（二）

P228/1。

证明：

由于，有

其中

所以

证毕。

P229/3.解：

（1）因为是一Poission过程，由母函数的定义，有：

（2）有上面

（1）的结果，可得：

（3）当充分小时，由于：

因此，当时，有：

由

（2）的结果，我们有：

P229/4.解：

（1）由上面3题的结果（3），我们有：

（2）由于是随机过程的母函数，且，将函数关于展开成级数形式，我们可得：

由母函数与分布函数的唯一性定理，可得：

P230/8.解：

由特征函数的定义，我们有：

令，则有：

（*）

若的概率分布为：

则

（**）

将（**）代入（*），我们有：

P230/7.解：

先求的特征函数：

由上面8题的结果，根据特征函数与分布函数的唯一性定理，可知是复合Poission过程。

P231/10.解：

由于

因为的母函数为：

，

由独立性，可知的母函数为：

，

所以是参数为的泊松过程，即

因此我们有：

P231/12.解：

（1）由

令，有

解得

（2）由

（1）知，服从参数为的泊松分布。

P232/15.解：

（1）以表示时刻系统中不正常工作的信道数，则是一马氏过程，其状态空间为：

，矩阵为：

（2）令：

则前进方程为：

（3）令：

写出福克－普朗克方程：

即有：

做Laplace变换，令：

则有：

由上解得：

其中：

因此求

即可。

（4）

P233/16.解：

（1）令表示时刻系统中正在用电的焊工数，则是一马氏过程，其状态空间为：

。

（2）矩阵为：

（3）令：

写出福克－普朗克方程：

（4）画出状态转移率图，可得时的平衡方程：

由此可得：

即有：

由此可以求得：

由，即可确定，最终得到所要的结果。

P233/17.解：

（1）由于：

可以得到此过程的矩阵：

令：

写出福克－普朗克方程：

初始条件：

。

（2）由数学期望的定义：

由此，我们有：

即可得到描写的微分方程：

（3）解上面的微分方程，我们有：

P233/19.解

（1）根据题意得到矩阵为

由福克－普朗克方程得：

（2）

而

因此

左边=

右边=

左边=右边，证毕。

（3）将代入左边。

（4）由，有

即

进而有

所以

（5）令，由（4）的结论

其中对应的系数为

所以

（6）

（7）由（5）的结论，知

P236/24解：

（1）根据题意得矩阵

由平衡方程，有

因此有，进而

因为

所以，当时系统平稳。

（2）

（3）前次以概率重新排队，第次以概率离开，所以即为所求。

（4）

26．解

（1）设系统状态为不工作机器的数量，则，得矩阵

列出平衡方程

其中：

解得

所以

（2）

P237/28.解：

（1）设泊松分布第个事件发生与第个事件发生的时间间隔的特征函数为：

，则有：

由于是独立同分布的，根据以及特征函数的性质可知：

因此可知是服从参数为的泊松分布，即：

（2）由：

可知：

附：

一阶拟线性（线性）偏微分方程的解法：

一阶拟线性方程的一般形式：

一阶线性方程的一般形式：

称：

或：

为一阶拟线性方程的特征方程。

由此方程确定的曲线为特征曲线。

一阶拟线性方程的特征方程的解为积分曲面。

有以下定理：

定理：

若特征曲线上一点位于积分曲面上，则整个位于上。

初值问题：

给定初始曲线：

，为参数。

则一阶拟线性方程的初值问题的提法是：

求方程的解，使满足。

我们有以下定理。

定理：

设曲线光滑，且，在点处行列式

又设在附近光滑，则初始问题：

在参数的一邻域内存在唯一解。

例：

已知初始曲线，求初值问题：

解：

由于：

解常微分方程的初值问题：

得：

由后两式解出，并代入第一式，解得：

P233/9.解初值问题：

由于：

解常微分方程的初值问题：

解得：

在上面式子中消去参数，得初值问题的解：

P311/1.解：

（1）给定时，有

（2）任取我们有：

所以Poission过程不是平稳过程。

P311/2.解：

（1）由Poission过程的性质，任取假定事件：

则有：

，

因此有：

（2）由，且仅与有关，可知是平稳过程。

P312/3.解：

（1）由均值的定义，我们有：

（2）由相关函数的定义，任取，我们可得：

P312/4.解：

为了解此题，先看下面的引理：

引理：

设是服从正态分布的二维随机变量，其概率密度为：

则和Y取不同符号的概率为：

引理的证明：

令：

则有：

以上式子用了变换：

由：

因此只要求：

因此有：

由于此时：

我们即可得到结论。

P313/5.证明：

由于：

故是宽平稳过程。

分别取，则，，因为具有不同分布，所以不满足一级严平稳条件。

P314/10.解：

样本函数不连续。

令：

，下面求相关函数：

因为：

因此该过程是均方连续的随机过程。

P314/11.证明：

令：

，则有

由车比雪夫不等式：

P315/13.证明：

（1）令：

，由上题的结果可知：

因此有

（2）由相关函数的定义及

（1）的结果，有

P316/17.解：

（1）由均值函数和相关函数的定义，我们有：

由，可得

（2）有上面的结果知是一宽平稳过程。

令：

，，，，不具有相同的分布，所以不是一级严平稳过程。

P318/22.解：

根据题目给定的条件，有：

，

因为：

，因此有：

P318/23.解：

根据为一平稳过程，则有：

，

因此有：

P318/25.解：

由平稳过程相关函数的定义，有：

P319/28.解：

由题意，我们有：

设，则有：

令：

，则有：

，因此有：

P319/30.解：

（1）由于：

因此输入不是平稳的。

（2）由计算可得：

（3）计算均值函数和相关函数为：

因此输出不是平稳的过程。

P445/1．解题中给出的是一确定性周期信号，令：

，因此它们的时间相关函数和功率谱密度分别为：

当时，

因此有：

P445/2.解：

（3）

（4）

P445/3.解：

由功率谱密度和相关函数的关系，有：

P446/4.解：

（1）由于：

因此，由功率谱密度和相关函数的关系，有：

（2）由功率谱密度和相关函数的关系，有：

P446/5.解：

由功率谱密度和相关函数的关系及是偶函数，我们有：

其均方值为：

P447/7.解：

（1）冲激响应为：

（2）由6题的结果，我们有：

注意到的定义，当或时，，

当时，

当时，

因此有：

（3）由6题的结果，令：

，有：

P447/8.解：

由Fourier变换，有：

因为：

则有：

因此有：

当时，有

由于：

，，显然，所以不关于对称。

P448/11.证明I：

当时，利用实平稳过程相关函数的非负定性以及，

取：

，，；以及，

我们有：

由此可得：

即有：

因此有：

证明II：

设此随机过程的功率谱密度函数为，由题意可知，下面用归纳法证明结论：

当时，有

假设当n=k时，结论成立，即

则有：

即当n=k+1时，结论成立，由归纳法可知有结论成立。

P450/14.解：

由样本函数可知，假设为第i个脉冲到达时刻，则有：

根据：

，由

我们有：

由于

因此，当时，是平稳过程，且

由Fourier变换，可得：

P452/16.解：

由，且与的独立性及它们的平稳性，有：

P452/17.证明：

（1）由：

由于：

因此：

由于：

，因此输出过程是平稳过程。

（2）由

（1）的结果，有：

P454/19.解：

令，我们有：

P454/21.解：

（1）取：

，则有：

，

因此有：

（2）由

（1）的结果，有：

由于：

因此有：

P561/1.解：

只要求矩阵B的逆矩阵即可。

我们有：

P562/4.解：

由求特征函数的公式：

我们有：

P563/7.解：

由的密度函数，我们有：

因此有：

计算，得：

因此是独立的随机变量。

由于变换的雅克比行列式为，因此变换后的分布密度为：

由归一化条件可以确定

。

P562/6.解：

由特征函数的定义，可知三维正态随机向量的特征函数为：

令：

则有：

（1）

计算得：

因此有：

（2）

计算得：

对于次数大于1的那些项，当时，都会变成0，统一记作，有：

对于含有的那些项，当时，都会变成0，统一记作，则有：

利用Φ（0,0,0）=1，可得：

（3）先求得：

则有：

P563/8.解：

求边缘分布密度，由于：

即服从正态分布，同理也服从正态分布。

注意到：

我们可以求得随机变量的分布密度为：

由全概率公式，我们有：

因此，当时，我们有：

即：

显然，上式第一项表示的是正态分布的项，而第二项是非零的，因此和的线性组合不是一维正态分布，由书中P472的定理一，我们可知不是二维正态分布。

P564/11.解：

（1）根据维纳－辛钦定理，我们有：

则有

故两两不相关，由于是高斯过程，因此它们是独立的。

令：

则有：

因此有：

（的联合概率密度为：

（2）由于

故有：

P568/18.解：

我们知道，平稳奥斯坦－乌伦贝克过程是正态过程，且有：

由公式（见P466例）：

我们有：

即有：

下面计算：

当时，有：

由于此时当时，有，因此：

当时，我们有：

因此有：

同理可以讨论当和的情形，同样有。

由相关函数各态历经性定理可知，平稳奥斯坦－乌伦贝克过程具有相关函数各态历经性。

P569/23.解：

随机微分方程的解为：

P569/24.解：

将微分方程化成标准形式，有：

利用上题的结果，有：

由于为常数，因此我们有：

由于X（t）是正态分布，因此可以写出其一维分布密度为：