辐射井模型.docx

1、辐射井模型辐射井的水量计算摘要辐射井是由一大口径的竖井和自竖井内周围含水层任意方向、 高程打进一层数条水平辐射管组成，地下水沿水平辐射管汇集到竖井中。 辐射井出水量较普通 管井、筒井及大口井的高出数至十倍以上， 具有较强的取水能力，因此在各领域 应用广泛。虽然技术已逐渐成熟但井流计算理论却滞后于辐射井成井技术的发 展。本文在此背景下建立数学模型求得黄土地区辐射井的地下水降落曲线及水 量计算公式。问题一要求我们设计构造黄土地区辐射井的地下水降落曲线的数学模型。 经 分析我们根据求出的辐射井影响半径， 将地下水降落曲线分成两段来求解。 针对 0 Ro段：根据经验公式Tx二Tp (T0-Tp)e：矶

2、*将该段分为稳定状态和非稳定状态，并对数据进行处理检验。在稳定状态时，求得井位、观测孔 N1、观测孔N2的平均水位高，从而求得=0.0234。再用最小二乘法来确定辐射管水位的高度 To，进而求得观测孔Ni、观测孔N2的预测值进行检验，从而确定黄土地区辐射井的地下水降落曲线为Tx -Tp - (79.8977 -Tp)eq0234(121.753。对于Ro Rmax段：由H 2 _ h2题中所给图可知此井为普通完全井， 利用Dupuit公式Q = k R及Q二kLt，0.73lg r。V求得降落曲线为占2R0.73t lg -r问题二针对黄土地区地下水位降深与出水量的关系问题， 我们将沿辐射井横

3、 剖面上的地下降落曲线近似为高度的平均直线， 利用问题一中在水位稳定的时间 段模拟的曲线函数，采用积分法得到辐射管的全程的平均高度。通过查阅相关资 料得到相关的水位降深与出水量的相关公式， 先求出单管流量，再通过辐射管的T _TpQ=8kR-r)p根数来求出总流量即辐射井的出水量，得到计算公式为 。利用问题一中分析出的稳定状态，对其进行检验，根据渗透系数 k的范围求出辐射井出水量的最大值与最小值，实际流量在此范围内。【关键字】辐射井地下水降落最小二乘法出水量 Dupuit公式问题提出辐射井与常规管井、筒井及大口井相比，辐射井具备有效开发含水层水量、 单井出水量大、井的寿命长、节约动力、管理运行

4、费用低、维修方便等特点。由 于其辐射管水平伸入含水层达数十至上百米以上，其水位下降范围大，降速快， 具有良好的排水效益，被广泛应用于地基施工降水、尾矿坝排水等工程领域。经 过多年的应用和发展，辐射井在成井技术方面已逐渐成熟。 又由于辐射井结构的 特殊性，地下水运动系三维流，因而其渗流计算不能随意套用其它水井的计算公 式。在实际工程中，采用辐射井作为基础工程降水施工、农田地下水人工调控， 均需考虑辐射井水位降深计算问题。 然而，目前多按抽水试验建立一些经验公式 来近似计算辐射井的出水量，难以求解辐射井的降落曲线。本文要求我们依据黄 土地区测得的实验数据，分析黄土地区地下水位降深与出水量的关系，

5、建立模型 求出黄土地区辐射井的地下水降落曲线并求得辐射井的水量计算公式。1潜水含水层均质各向同性，隔水底板水平，在平面上无限分布2.不考虑水和介质骨架的压缩性。3.潜水完整井，无越流补给也无入渗或蒸发。4.在辐射管半径范围内只考虑黄土中水的竖直渗透。三符号说明符号符号说明R影响半径（m）k黄土含水层的渗透系数（m/h）Tx距离竖井中心的水平距离为x处横剖面水位咼度（m）Tp竖井的水面咼度（m）To辐射管端点的水位高度（m）a反映降落曲线弯曲程度经验数值Ro辐射管端点距井中心的距离qx距离竖井中心x米处进入水平辐射管的单长流量相应于x剖面的局部抗阻系数T沿管全程平均水位高度（m）b矩形剖面宽度（

6、m）Qn总的辐射井出水量（m3/h）Ri距集水井较近的一个观测孔的水平距（m）R2距集水井较近的一个观测孔的水平距（m）e相邻两根辐射管之间的夹角（）r集水竖井的半径（m）四模型的建立与求解4.1模型一的建立与求解4.1.1问题一的分析本问要求设计构造黄土地区辐射井的地下水降落曲线的数学模型。经分析我 们应先求出辐射井的影响半径，然后根据题意及查阅相关资料，将地下水降落曲 线分成两段来考虑。对于第一段曲线，应分别求出稳定状态与非稳定状态的降落 曲线并对所求结果拟合验证；考虑到非稳定状态曲线的求解没有太大的实际意 义，故在第二段只需求解稳定状态的曲线。4.1.2模型的建立1辐射井影响半径R的计算

7、： 从理论上讲，影响半径应为无穷大，但从实用的观点看，可以认为井的影响半径 是一个有限的数值。例如当含水层厚度已经非常接近于 H （比如95%H）的地方, 可以认为井的影响到此为止。辐射井的影响半径 R可用经验公式来估算：R=3000. k R0 （1）式中：厶一井的抽水深度，人-H -h。；k 渗透系数；Ro 水平辐射管的长度;R，厶，Ro,均以m计，k以m/s计。将所给数据代入式（1）,可求出影响半径的范围为195.44m248.78mo则 Rmax = 248.78m2.地下水降落曲线的求解JZ地面集水竖井筒井的地下 水降落曲线辐射井的地下 水的降落曲线时间才:流线方向t1r1bIt 累

8、t2V -1 11 : 1l-Zt 3*11iHL 4-iii!rp ； i A一厂 -r ti ；11 i| t4辐射管 ,lb,二O? H不透水层rX- R 0 - 图1分析实测的辐射井降落曲线资料可以得知经验表达式如下：Tx 二Tp （To-Tp）e（Ro （2）运用上面公式，再利用积分以及极限的概念求解待定系数 ，具体如下1、距离竖直集水井中心Rl处地下水高度Tl二Tp （To Tp）e 一氏月）；2、运用极限的概念，当R2从右边无限靠近Rl时，R与R2段的水位高可以无限的趋近与T1，可用公式表示为1 吕1 R TxdxR2R R1 ；71 t -T3、有上述两式求解，得亍叫奇） 4.

9、1.3模型的求解与检验根据上述所求的影响半径，以及图1可知：辐射井的地下水降落曲线在水平 集水管（辐射管）延伸范围内，呈凹形的抛物线，近井处水力坡度平缓，远处陡 峭。在辐射管的端点，水力坡度陡峭曲线出现凹凸拐点。在辐射管延伸范围以外, 降落曲线改变成凸形的抛物线，水力坡度由陡变缓。可将地下水降落曲线分为两 段：1、0 Rq段：由于”4小5不在影响半径范围内，故根据题中所给表的数据使用Excel绘制图如下:主要观测孔水位高度随时间的变化关系图2从图2中可以看出抽水时间在042小时之间测孔及集水井的水位高度处于 波动状态；而在4250小时之间观开始处于动态平衡（即图中第八个点开始）。 由于辐射井的

10、地下水降落曲线在水平集水管 （辐射管）延伸范围内，故取井位水 高、观测孔Ni、观测孔N2所观测记录的数据进行分析，可分为稳定状态和非稳 定状态两种情况：1）稳定状态从表中的数据可知，辐射管汇集水量的大小与降水曲线高度基本上成正比关 系。管中水流由于是有压管流，其水头区的变化可忽略不计，视为未变化区。在 辐射管延伸范围内，对于同一条降落曲线，采用任意两个观测点的数据进行计算 所得出值应该是相同的。对于同一个地区，同样的辐射井，值也应该是接近 的。对于黄土地区，我们通过资料了解到，值变化范围通常在0.010.03之间： 使用从4.21.1到4.23.5中的井位、观测孔N1、观测孔2的水高数据，由于

11、这段 时间内是相对稳定的状态，每一列的数据都变化不大，这里使用平均法对数据处 理，求的井位平均水位高为76.07875m,观测孔N1平均水位高为76.79125m,观 测孔N2平均水位高为78.9725m,从而求得:=0.0234。对于辐射管水位的高度我们利用最小二乘法来确定，先利用公式（2）改变为当 x=50时，求得 T0 -79.8977 ;当 x=110，求得 T0 -79.8883。当T0 -79.8977时，观测孔 弘的预测值为76.8004,观测孔N2的预测值为78.9824； 当Tq =79.8883时，观测孔N的预测值为76.7986,观测孔N?的预测值为78.9752。利用最

12、小二乘法 A 5 T。）2 （T2-T。）2,当 T。=79.8977 时，求得 A = 0.1089 ; 当T。=79.8883时，求得A = 0.1138。故使用T 79.8977，得一组数据如下表表1预测值与实际值的对比1.751030507090110121.75Tx预 测 值76.319776.368676.534976.800477.224477.901478.982479.8977Tx 实 际 值76.9279.29绘画模拟曲线图如下（代码见附录1）：图3通过模拟图3可以看出，模拟的辐射井的地下水降落曲线在水平集水管 （辐射管）延伸范围内，呈凹形的抛物线，近井处水力坡度平缓，远处

13、陡峭，并且模 拟的辐射井的地下水位高度与实测水位高度还是比较接近的。当 x = 50时，相对误差为0.16%;当x =110时，相对误差为0.39%。故可以认为模拟的曲线图是合 理的。在辐射管延伸范围内，黄土地区辐射井的地下水降落曲线为Tx =Tp （79.8977-丁卩归工.0234（121.75 ，其中Tx为距集水井中心的水平距离为x处得横剖面水位平均高度，Tp为集水井中水面的高度，x为距集水井中心的水平距离在辐射管延伸范围内，对模型检验（代码参见附录 2） 表2相对误差表4.21.14.21.94.21.174.22.14.22.94.22.174.23.14.23.5观测孔N1（预测值

14、）76.800476.727276.784176.832976.849276.759776.792376.7841观测孔N1（真实值）76.9276.8576.9176.8176.8176.7076.6976.64N1相对误差0.16%0.16%0.16%0.03%0.05%0.08%0.13%0.19%观测孔N2（预测值）78.982478.960778.977678.992078.996878.970378.980078.9776观测孔n2（真实值）79.2979.1079.0878.9778.9178.8578.8178.77N2相对误差0.39%0.18%0.13%0.03%0.11%

15、0.15%0.22%0.26%通过表2可以认为在辐射管延伸范围内，此模拟的数学模型是合理的。2）非稳定状态根据上述的方法，利用公式（2）用MATLAB对辐射井非稳定状态下求解各时刻对应的地下水降落曲线，并画出下图（参见代码附录 6）:图4F表为模型的检验结果（参见代码附录 5）:表3各时刻观测孔Ni、N2误差比较及系数确定4.19.134.19.174.19.214.20.34.20.94.20.17值0.01110.0160.01980.01860.00580.0063To值82.20581.34581.16580.8880.3580.565观测孔Ni真实值79.8878.9678.4377

16、.8377.4478.49观测孔N1预测值80.156178.992278.432377.854477.969978.9544Ni的相对误差0.35%0.04%00.03%0.68%0.59%观测孔N2真实值81.2180.6780.418079.1479.57观测孔N2预测值81.748380.754380.417580.074379.889680.2488N2的相对误差0.66%0.10%0.01%0.09%0.95%0.85%由上表可知，用函数预测的观测孔水深与真实值误差相当小， 故可判断曲线 拟合良好，从而验证了所求系数的可靠性。将表3所求的值、To值代入公式（2） 即可模拟求得各时刻

17、对应的地下水降落曲线。2、RRmax段：由题中所给图可知此井为普通完全井，下图为普通完全井纵剖面图:根据图5所标注的字母, 过程如下：断面上的平均流速为:通过的渗流量为:在断面上各处的水力坡度为：将（5）式变形如下:2二zdz 二 Q dr k r对上式两端在相应变量范围内积分:对上式积分后得（Dupuit公式）:令r=R,z=H,则可求得井的最大供水量有(9)Q=70.73lgr。根据潜水井的Dupuit公式可得，通过任一断面的流量相等，并等于抽水量L = h （ r为曲线上任一点到竖井中心的距离） rhrH -h2_ R0.73t Ig -ro4.2模型二的建立与求解4.2.1问题二的分析

18、本问要求分析黄土地区地下水位降深与出水量的关系，建立造黄土地区辐射 井的水量计算公式。针对本问，要想求出所有辐射管的出水量， 首先我们求出单 根辐射管出水量，然后乘以辐射管根数得出辐射井的出水量。422模型的建立与求解对于任意部位x ,进入水平集水管的单长流量qx。（见图6）使用公式如下:k为黄土含水层的渗透系数X相应于x剖面的局部阻抗系数辐射管的流量Q可以认为是qx沿8个辐射管累加起来，可使用定积分法对降落曲 线的计算公式进行积分。利用公式（10），求出平均单长强度（ 11）9T为沿管全程的平均高度，R为与T相应的水平距， 为局部阻抗系数将公式（11）乘以辐射管长度，即得单管流量Q k( R

19、q _ r)T-Tp由公式Tx =Tp +(T -Tp)e30与T = J Txdx结合得R r 比-b d AT、 f （,）.相应于T和b的局部阻抗系数，为含有参变量的函数 T T T而(16)To -T由于辐射井的出水量Qn等于单管流量Q与辐射管根数的乘积，此模型使用的是 均匀分布的8条辐射管。故可得到出水量的计算公式为：423模型结果的检验对于计算辐射井的出水量问题，根据实际数据来预测辐射井出水量，由于渗 透系数k范围为0.0554到0.1607 （米/小时）,很难确定。运用公式（10）到（17） 使用Matlab编程可以得到不同时间段稳定状态下出水量的范围如下表（代码参 见附录3）:

20、表4:各时刻实际流量与预测流量的比较实际流量预测流量最小值预测流量最大值4.21.1: 60.1823.977669.55254.21.959.6224.554971.22714.21.1752.5024.105969.92454.22.142.1623.721268.80874.22.946.1523.593068.43694.22.1739.6724.298370.48264.23.139.6724.041869.73854.23.5P 36.9724.105969.9245可以看出实测值是在预测的范围内， 可以认为公式的运用还是比较合理的， 为了进一步证明合理性，通过资料查到 4.21.

21、17时，所对应的k值为0.10805。 对这一时刻进行具体的预测如下：-p =76.07 米，R0 =121.75 米，r =1.75 米，r-45,d=0.12 米， T =1.2 米。1 T -T=厂和話P）得到，T0可以取观测孔N2与观测孔N3的水位高度的平均值。 从而得出,7 9. 08 7 6.卫 7 门 c l n* ) 0. 02 1 3110 5 0 7 6- 9 1 76. 0 72将数据代入公式（13）得T0=7 9. 0 8 8 1=30. 22工.21踰20-=76.07 (80.22 -76.07) 77.5692 米,0.021120继而将所求数据代入公式(14)得

22、：b =2 tg(22.5：) 121.75 - In 80.22 -76.07 =82.4325 米I 0.0213 77.5692-76.07 丿通过公式（15）得到 =2.8485将以上得到的已知变量代入公式（17），得出辐射井的出水量为：Qn =8 0.10805 12077-56976-0 54.5927m3 / h 2.8485这个时间抽水试验实测到的辐射井出水量为 52.50 m3/h。模拟结果与实际测得的数据比较接近，误差为3.99%。（所使用的编程代码见附录4）五模型的评价5.1模型的优点1.文字和图表相结合，使结果一目了然，更具说服力。2.在求出降落曲线后，又对数据进行了拟

23、合，模拟出曲线图与实际情况较接近， 更好地反映出所求的降落曲线方程较合理。3.在计算流量时，利用积分方程求解单根辐射管的流量，将问题化繁为简。5.2模型的缺点1.在求解降落曲线时，没有考虑水头损失的影响，使得结果存在一点误差。2.在验证流量公式时，由于无法得知渗透系数，采用其范围经行检验，使得检验 效果不明显。六参考文献1.吴持恭，水力学（第四版）M,高等教育出版社。2.翟兴业，黄土地辐射井出水量计算方法初步探讨。3.薛禹群、朱学愚，地下水动力学，地质出版社， 1991年。4.施普德，井水量计算的理论与实践，地质出版社， 1977年5. http:/o nli 。七.附录附录 1绘画模拟图a=

24、1.75 10 30 50 70 90 110 121.75;Tx=76.3197 76.3686 76.5349 76.8004 77.2244 77.9014 78.9824 79.8977; b=51.75,111.75;y=76.92,79.29;plot(a,Tx,b,y,r*)附录 2计算观测孔Nl与观测孔N2水位高度的预测值及其相对误差clc,clear;T1=76.92 76.85 76.91 76.81 76.81 76.70 76.69 76.64;T2=79.29 79.10 79.08 78.97 78.91 78.85 78.81 78.77;Tp=76.09 76.

25、00 76.07 76.13 76.15 76.04 76.08 76.07;for i=1:length(T1)x=50;Tx1=Tp(:,i)+(79.8977-Tp(:,i)*exp(-0.0234*(121.75-x);x=110;Tx2=Tp(:,i)+(79.8977-Tp(:,i)*exp(-0.0234*(121.75-x);a1=(T1(:,i)-Tx1)/T1(:,i);a2=(T2(:,i)-Tx2)/T2(:,i);A1(:,i)=a1;A2(:,i)=a2;B1(:,i)=Tx1;B2(:,i)=Tx2;endA1A2B1B2附录 3求解不同时间段稳定状态下出水量的范

26、围clc,clear;Tp=76.09 76.00 76.07 76.13 76.15 76.04 76.08 76.07;T0=79.8977;a=0.0234;R0=121.75;r=1.75;d=0.12;Tt=1.2;k1=0.0554;k2=0.160 7;for i=1:le ngth(Tp)T=Tp(:,i)+(T O-Tp(:,i)*(1-exp(-a*(R0-r)/(a*(R0-r);b=2*ta n(22.5)*(R0-1/a*log( (T 0-Tp(:,i)/(T-Tp(:,i);A仁 b/T;A2=d/T;A3=Tt/T;A=(1/pi)*log(1/(2*sqrt(

27、si n(pii/2)*A3)A2-si n( (pi/2)*(A3-1/2*A2)A2)+1/8*A1+(1/A1-Tt/b)*(3/2-A3/2);Q1=8*k1*(R0-r)*(T-Tp(:,i)/A;Q2=8*k2*(R0-r)*(T-Tp(:,i)/A;Q01(:,i)=Q1;Q02(:,i)=Q2;endQ01Q02附录4解决4.21.17时的出水量clc,clear;Tp=76.07;T 1= 76.91;T2=79.08;T3=81.36;R0=121.75;r=1.75;d=0.12;Tt=1.2;k=0.10805;Q0=52.50;T0=(T2+T3)/2;a=1/60*

28、log( (T 2-Tp)/(T 1-Tp);T=Tp+(T 0-Tp)*(1-exp(-a*(R0-r)/(a*(R0-r);b=2*ta n( 22.5)*(R0-1/a*log(T0-Tp)/(T-Tp);A1=b/T;A2=d/T;A3=Tt/T;A=(1/pi)*log(1/(2*sqrt(si n(pii/2)*A3)A2-si n( (pi/2)*(A3-1/2*A2)A2)+1/8*A1+(1/A1-Tt/b)*(3/2-A3/2)Q=8*k*(R0-r)*(T-Tp)/Awucha=(Q0-Q)/Q0附录5解决非稳定情况下的: To、观测孔N1预测值、观测孔N2预测值以及对应的相对误差clc,clear;T1=79.88 78.96 78.43 77.83 77.44 78.49;T2=81.