辐射井模型.docx
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辐射井模型
辐射井的水量计算
摘要
辐射井是由一大口径的竖井和自竖井内周围含水层任意方向、高程打进一层
数条水平辐射管组成，地下水沿水平辐射管汇集到竖井中。
辐射井出水量较普通管井、筒井及大口井的高出数至十倍以上，具有较强的取水能力，因此在各领域应用广泛。
虽然技术已逐渐成熟但井流计算理论却滞后于辐射井成井技术的发展。
本文在此背景下建立数学模型求得黄土地区辐射井的地下水降落曲线及水量计算公式。
问题一要求我们设计构造黄土地区辐射井的地下水降落曲线的数学模型。
经分析我们根据求出的辐射井影响半径，将地下水降落曲线分成两段来求解。
针对0~Ro段：
根据经验公式Tx二Tp•（T0-Tp）e—：
矶*将该段分为稳定状态和非稳定
状态，并对数据进行处理检验。
在稳定状态时，求得井位、观测孔N1、观测孔N2
的平均水位高，从而求得〉=0.0234。
再用最小二乘法来确定辐射管水位的高度To，进而求得观测孔Ni、观测孔N2的预测值进行检验，从而确定黄土地区辐射
井的地下水降落曲线为Tx-Tp-（79.8977-Tp）eq0234（121.753。
对于Ro~Rmax段：
由
H2_h2
题中所给图可知此井为普通完全井，利用Dupuit公式Q=kR及Q二kLt，
0.73lg—
r。
V求得降落曲线为占2
R
0.73tlg-
r°
问题二针对黄土地区地下水位降深与出水量的关系问题，我们将沿辐射井横剖面上的地下降落曲线近似为高度的平均直线，利用问题一中在水位稳定的时间段模拟的曲线函数，采用积分法得到辐射管的全程的平均高度。
通过查阅相关资料得到相关的水位降深与出水量的相关公式，先求出单管流量，再通过辐射管的
T_Tp
Q=8kR-r）p^
根数来求出总流量即辐射井的出水量，得到计算公式为。
利
用问题一中分析出的稳定状态，对其进行检验，根据渗透系数k的范围求出辐射
井出水量的最大值与最小值，实际流量在此范围内。
【关键字】辐射井地下水降落最小二乘法出水量Dupuit公式
•问题提出
辐射井与常规管井、筒井及大口井相比，辐射井具备有效开发含水层水量、单井出水量大、井的寿命长、节约动力、管理运行费用低、维修方便等特点。
由于其辐射管水平伸入含水层达数十至上百米以上，其水位下降范围大，降速快，具有良好的排水效益，被广泛应用于地基施工降水、尾矿坝排水等工程领域。
经过多年的应用和发展，辐射井在成井技术方面已逐渐成熟。
又由于辐射井结构的特殊性，地下水运动系三维流，因而其渗流计算不能随意套用其它水井的计算公式。
在实际工程中，采用辐射井作为基础工程降水施工、农田地下水人工调控，均需考虑辐射井水位降深计算问题。
然而，目前多按抽水试验建立一些经验公式来近似计算辐射井的出水量，难以求解辐射井的降落曲线。
本文要求我们依据黄土地区测得的实验数据，分析黄土地区地下水位降深与出水量的关系，建立模型求出黄土地区辐射井的地下水降落曲线并求得辐射井的水量计算公式。
1•潜水含水层均质各向同性，隔水底板水平，在平面上无限分布
2.不考虑水和介质骨架的压缩性。
3.潜水完整井，无越流补给也无入渗或蒸发。
4.在辐射管半径范围内只考虑黄土中水的竖直渗透。
三•符号说明
符号
符号说明
R
影响半径（m）
k
黄土含水层的渗透系数（m/h）
Tx
距离竖井中心的水平距离为x处横剖面水位咼度（m）
Tp
竖井的水面咼度（m）
To
辐射管端点的水位高度（m）
a
反映降落曲线弯曲程度经验数值
Ro
辐射管端点距井中心的距离
qx
距离竖井中心x米处进入水平辐射管的单长流量
相应于x剖面的局部抗阻系数
T
沿管全程平均水位高度（m）
b
矩形剖面宽度（m）
Qn
总的辐射井出水量（m3/h）
Ri
距集水井较近的一个观测孔的水平距（m）
R2
距集水井较近的一个观测孔的水平距（m）
e
相邻两根辐射管之间的夹角（'）
r
集水竖井的半径（m）
四•模型的建立与求解
4.1模型一的建立与求解
4.1.1问题一的分析
本问要求设计构造黄土地区辐射井的地下水降落曲线的数学模型。
经分析我们应先求出辐射井的影响半径，然后根据题意及查阅相关资料，将地下水降落曲线分成两段来考虑。
对于第一段曲线，应分别求出稳定状态与非稳定状态的降落曲线并对所求结果拟合验证；考虑到非稳定状态曲线的求解没有太大的实际意义，故在第二段只需求解稳定状态的曲线。
4.1.2模型的建立
1•辐射井影响半径R的计算：
从理论上讲，影响半径应为无穷大，但从实用的观点看，可以认为井的影响半径是一个有限的数值。
例如当含水层厚度已经非常接近于H（比如95%H）的地方,可以认为井的影响到此为止。
辐射井的影响半径R可用经验公式来估算：
R=3000「.kR0
（1）
式中：
厶一井的抽水深度，人-H-h。
；
k—渗透系数；
Ro—水平辐射管的长度;
R，厶，Ro,均以m计，k以m/s计。
将所给数据代入式
（1）,可求出影响半径的范围为195.44m~248.78mo
则Rmax=248.78m
2.地下水降落曲线的求解
J
Z
地面
集水
竖井
筒井的地下水降落曲线
辐射井的地下水的降落曲线
时间
才
:
'流线方向
t1
r—1
b
It累
t2
■—
—————V
-"1~
1
1:
1
l-'Z
t3
*
1
1
i
H
L4――-
i
i
i
!
■r
p\
；iA
—一厂-r't
i；
1
1i|t
4
辐射管
,lb,,—
£
二
O
?
H
不透水层
r
X
-R0——-
图1
分析实测的辐射井降落曲线资料可以得知经验表达式如下：
Tx二Tp（To-Tp）e」（Ro"
（2）
运用上面公式，再利用积分以及极限的概念求解待定系数［，具体如下
1、距离竖直集水井中心Rl处地下水高度Tl二Tp（To—Tp）e一氏月）；
2、运用极限的概念，当R2从右边无限靠近Rl时，R与R2段的水位高可以无限
的趋近与T1，可用公式表示为
1吕
「1RTxdx
R2—RR1；
7
1t-T
3、有上述两式求解，，得…亍叫奇）4.1.3模型的求解与检验
根据上述所求的影响半径，以及图1可知：
辐射井的地下水降落曲线在水平集水管（辐射管）延伸范围内，呈凹形的抛物线，近井处水力坡度平缓，远处陡峭。
在辐射管的端点，水力坡度陡峭曲线出现凹凸拐点。
在辐射管延伸范围以外,降落曲线改变成凸形的抛物线，水力坡度由陡变缓。
可将地下水降落曲线分为两段：
1、0~Rq段：
由于”4小5不在影响半径范围内，故根据题中所给表的数据
使用Excel绘制图如下:
主要观测孔水位高度随时间的变化关系
图2
从图2中可以看出抽水时间在0~42小时之间测孔及集水井的水位高度处于波动状态；而在42~50小时之间观开始处于动态平衡（即图中第八个点开始）。
由于辐射井的地下水降落曲线在水平集水管（辐射管）延伸范围内，故取井位水高、观测孔Ni、观测孔N2所观测记录的数据进行分析，可分为稳定状态和非稳定状态两种情况：
1）稳定状态
从表中的数据可知，辐射管汇集水量的大小与降水曲线高度基本上成正比关系。
管中水流由于是有压管流，其水头区的变化可忽略不计，视为未变化区。
在辐射管延伸范围内，对于同一条降落曲线，采用任意两个观测点的数据进行计算所得出〉值应该是相同的。
对于同一个地区，同样的辐射井，〉值也应该是接近的。
对于黄土地区，我们通过资料了解到，「值变化范围通常在0.01~0.03之间＜：
使用从4.21.1到4.23.5中的井位、观测孔N1、观测孔2的水高数据，由于这段时间内是相对稳定的状态，每一列的数据都变化不大，这里使用平均法对数据处理，求的井位平均水位高为76.07875m,观测孔N1平均水位高为76.79125m,观测孔N2平均水位高为78.9725m,从而求得:
=0.0234。
对于辐射管水位的高度
我们利用最小二乘法来确定，先利用公式
（2）改变为
当x=50时，求得T0-79.8977;当x=110，求得T0-79.8883。
当T0-79.8977时，观测孔弘的预测值为76.8004,观测孔N2的预测值为78.9824；当Tq=79.8883时，观测孔N的预测值为76.7986,观测孔N?
的预测值为78.9752。
利用最小二乘法A5—T。
）2（T2-T。
）2,当T。
=79.8977时，求得A=0.1089;当
T。
=79.8883时，求得A=0.1138。
故使用T^79.8977，得一组数据如下表
表1预测值与实际值的对比
1.75
10
30
50
70
90
110
121.75
Tx
预测值
76.319
7
76.368
6
76.5349
76.8004
77.2244
77.9014
78.9824
79.8977
Tx实际值
76.92
79.29
绘画模拟曲线图如下（代码见附录1）：
图3
通过模拟图3可以看出，模拟的辐射井的地下水降落曲线在水平集水管（辐
射管）延伸范围内，呈凹形的抛物线，近井处水力坡度平缓，远处陡峭，并且模拟的辐射井的地下水位高度与实测水位高度还是比较接近的。
当x=50时，相对
误差为0.16%;当x=110时，相对误差为0.39%。
故可以认为模拟的曲线图是合理的。
在辐射管延伸范围内，黄土地区辐射井的地下水降落曲线为
Tx=Tp（79.8977-丁卩归工.0234（121.75"，其中Tx为距集水井中心的水平距离为x处得
横剖面水位平均高度，Tp为集水井中水面的高度，x为距集水井中心的水平距离
在辐射管延伸范围内，对模型检验（代码参见附录2）表2相对误差表
4.21.1
4.21.9
4.21.1
7
4.22.1
4.22.9
4.22.1
7
4.23.1
4.23.5
观测孔N1
（预测值）
76.80
04
76.72
72
76.784
1
76.83
29
76.84
92
76.75
97
76.79
23
76.7841
观测孔N1
（真实值）
76.92
76.85
76.91
76.81
76.81
76.70
76.69
76.64
N1相对误
差
0.16%
0.16%
0.16%
0.03%
0.05%
0.08%
0.13%
0.19%
观测孔N2
（预测值）
78.98
24
78.96
07
78.977
6
78.99
20
78.99
68
78.97
03
78.98
00
78.9776
观测孔n2
（真实值）
79.29
79.10
79.08
78.97
78.91
78.85
78.81
78.77
N2相对误
差
0.39%
0.18%
0.13%
0.03%
0.11%
0.15%
0.22%
0.26%
通过表2可以认为在辐射管延伸范围内，此模拟的数学模型是合理的。
2）非稳定状态
根据上述的方法，利用公式
（2）用MATLAB对辐射井非稳定状态下求解
各时刻对应的地下水降落曲线，并画出下图（参见代码附录6）:
图4
F表为模型的检验结果（参见代码附录5）:
表3各时刻观测孔Ni、N2误差比较及系数确定
4.19.13
4.19.17
4.19.21
4.20.3
4.20.9
4.20.17
«值
0.0111
0.016
0.0198
0.0186
0.0058
0.0063
To值
82.205
81.345
81.165
80.88
80.35
80.565
观测孔
Ni真实
值
79.88
78.96
78.43
77.83
77.44
78.49
观测孔
N1预测
值
80.1561
78.9922
78.4323
77.8544
77.9699
78.9544
Ni的相
对误差
0.35%
0.04%
0
0.03%
0.68%
0.59%
观测孔
N2真实
值
81.21
80.67
80.41
80
79.14
79.57
观测孔
N2预测
值
81.7483
80.7543
80.4175
80.0743
79.8896
80.2488
N2的相
对误差
0.66%
0.10%
0.01%
0.09%
0.95%
0.85%
由上表可知，用函数预测的观测孔水深与真实值误差相当小，故可判断曲线拟合良好，从而验证了所求系数的可靠性。
将表3所求的〉值、To值代入公式
（2）即可模拟求得各时刻对应的地下水降落曲线。
2、R°~Rmax段：
由题中所给图可知此井为普通完全井，下图为普通完全井
纵剖面图:
根据图5所标注的字母,过程如下：
断面上的平均流速为:
通过的渗流量为:
在断面上各处的水力坡度为：
将（5）式变形如下:
2二zdz二Qdrkr
对上式两端在相应变量范围内积分:
对上式积分后得（Dupuit公式）:
令r=R,z=H,则可求得井的最大供水量有
（9）
Q=7
0.73lg
r。
根据潜水井的Dupuit公式可得，通过任一断面的流量相等，并等于抽水量
L=h（r为曲线上任一点到竖井中心的距离）r
h
r
H-h2
_R
0.73tIg-
ro
4.2模型二的建立与求解
4.2.1问题二的分析
本问要求分析黄土地区地下水位降深与出水量的关系，建立造黄土地区辐射井的水量计算公式。
针对本问，要想求出所有辐射管的出水量，首先我们求出单根辐射管出水量，然后乘以辐射管根数得出辐射井的出水量。
422模型的建立与求解
对于任意部位x,进入水平集水管的单长流量qx。
（见图6）使用公式如下:
k为黄土含水层的渗透系数
X相应于x剖面的局部阻抗系数
辐射管的流量Q可以认为是qx沿8个辐射管累加起来，可使用定积分法对降落曲线的计算公式进行积分。
利用公式（10），求出平均单长强度（11）
9
T为沿管全程的平均高度，R为与T相应的水平距，为局部阻抗系数
将公式（11）乘以辐射管长度，即得单管流量
Q—k（Rq_r）
T-Tp
由公式Tx=Tp+（T°-Tp）e30』与T=JTxdx结合得
R°—r"
比-bdAT、f（,,）.
相应于T和b的局部阻抗系数，为含有参变量的函数TTT
而
（16）
To-T
由于辐射井的出水量Qn等于单管流量Q与辐射管根数的乘积，此模型使用的是均匀分布的8条辐射管。
故可得到出水量的计算公式为：
423模型结果的检验
对于计算辐射井的出水量问题，根据实际数据来预测辐射井出水量，由于渗透系数k范围为0.0554到0.1607（米/小时）,很难确定。
运用公式（10）到（17）使用Matlab编程可以得到不同时间段稳定状态下出水量的范围如下表（代码参见附录3）:
表4:
各时刻实际流量与预测流量的比较
实际流量
预测流量最小值
预测流量最大值
4.21.1
:
60.18
23.9776
69.5525
4.21.9
59.62
24.5549
71.2271
4.21.17
52.50
24.1059
69.9245
4.22.1
42.16
23.7212
68.8087
4.22.9
46.15
23.5930
68.4369
4.22.17
39.67
24.2983
70.4826
4.23.1
39.67
24.0418
69.7385
4.23.5
P36.97
24.1059
69.9245
可以看出实测值是在预测的范围内，可以认为公式的运用还是比较合理的，为了
进一步证明合理性，通过资料查到4.21.17时，所对应的k值为0.10805。
对这一时刻进行具体的预测如下：
-p=76.07米，R0=121.75米，r=1.75米，r-45,d=0.12米，T=1.2米。
1T-T
=厂和話P）得到，T0可以取观测孔N2与观测孔N3的
水位高度的平均值。
从而得出
79.0876.卫7门c…
ln*）0.0213
1105076-9176.07
2
将数据代入公式（13）得
T0=79.0881=30.22
工.°21踰20
-=76.07（80.22-76.07）77.5692米,
0.021^120
继而将所求数据代入公式（14）得：
b=2tg（22.5：
）121.75-In80.22-76.07=82.4325米
I0.021377.5692-76.07丿
通过公式（15）得到=2.8485
将以上得到的已知变量代入公式（17），得出辐射井的出水量为：
Qn=80.1080512077-569^76-0^54.5927m3/h2.8485
这个时间抽水试验实测到的辐射井出水量为52.50m3/h。
模拟结果与实际测得
的数据比较接近，误差为3.99%。
（所使用的编程代码见附录4）
五•模型的评价
5.1模型的优点
1.文字和图表相结合，使结果一目了然，更具说服力。
2.在求出降落曲线后，又对数据进行了拟合，模拟出曲线图与实际情况较接近，更好地反映出所求的降落曲线方程较合理。
3.在计算流量时，利用积分方程求解单根辐射管的流量，将问题化繁为简。
5.2模型的缺点
1.在求解降落曲线时，没有考虑水头损失的影响，使得结果存在一点误差。
2.在验证流量公式时，由于无法得知渗透系数，采用其范围经行检验，使得检验效果不明显。
六•参考文献
[1].吴持恭，《水力学》（第四版）[M],高等教育出版社。
[2].翟兴业，黄土地辐射井出水量计算方法初步探讨。
[3].薛禹群、朱学愚，地下水动力学，地质出版社，1991年。
[4].施普德，井水量计算的理论与实践，地质出版社，1977年
[5].http:
//onli。
七.附录
附录1
绘画模拟图
a=[1.751030507090110121.75];
Tx=[76.319776.368676.534976.800477.224477.901478.982479.8977];b=[51.75,111.75];y=[76.92,79.29];
plot（a',Tx',b',y','r*'）
附录2
计算观测孔Nl与观测孔N2水位高度的预测值及其相对误差
clc,clear;
T1=[76.9276.8576.9176.8176.8176.7076.6976.64];
T2=[79.2979.1079.0878.9778.9178.8578.8178.77];
Tp=[76.0976.0076.0776.1376.1576.0476.0876.07];
fori=1:
length（T1）
x=50;
Tx1=Tp（:
i）+（79.8977-Tp（:
i））*exp（-0.0234*（121.75-x））;
x=110;
Tx2=Tp（:
i）+（79.8977-Tp（:
i））*exp（-0.0234*（121.75-x））;
a1=（T1（:
i）-Tx1）/T1（:
i）;
a2=（T2（:
i）-Tx2）/T2（:
i）;
A1（:
i）=a1;
A2（:
i）=a2;
B1（:
i）=Tx1;
B2（:
i）=Tx2;
end
A1
A2
B1
B2
附录3
求解不同时间段稳定状态下出水量的范围
clc,clear;
Tp=[76.0976.0076.0776.1376.1576.0476.0876.07];
T0=79.8977;a=0.0234;R0=121.75;r=1.75;d=0.12;Tt=1.2;k1=0.0554;k2=0.1607;
fori=1:
length（Tp）
T=Tp（:
i）+（TO-Tp（:
i））*（1-exp（-a*（R0-r）））/（a*（R0-r））;
b=2*tan（22.5）*（R0-1/a*log（（T0-Tp（:
i））/（T-Tp（:
i））））;
A仁b/T;
A2=d/T;
A3=Tt/T;
A=（1/pi）*log（1/（2*sqrt（sin（（pii/2）*A3）A2-sin（（pi/2）*（A3-1/2*A2））A2）））+
1/8*A1+（1/A1-Tt/b）*（3/2-A3/2）;
Q1=8*k1*（R0-r）*（T-Tp（:
i））/A;
Q2=8*k2*（R0-r）*（T-Tp（:
i））/A;
Q01（:
i）=Q1;
Q02（:
i）=Q2;
end
Q01
Q02
附录4
解决4.21.17时的出水量
clc,clear;
Tp=76.07;T1=76.91;T2=79.08;T3=81.36;R0=121.75;r=1.75;d=0.12;Tt=1.2;k=
0.10805;Q0=52.50;
T0=（T2+T3）/2;
a=1/60*log（（T2-Tp）/（T1-Tp））;
T=Tp+（T0-Tp）*（1-exp（-a*（R0-r）））/（a*（R0-r））;
b=2*tan（22.5）*（R0-1/a*log（（T0-Tp）/（T-Tp）））;
A1=b/T;
A2=d/T;
A3=Tt/T;
A=（1/pi）*log（1/（2*sqrt（sin（（pii/2）*A3）A2-sin（（pi/2）*（A3-1/2*A2））A2）））+
1/8*A1+（1/A1-Tt/b）*（3/2-A3/2）
Q=8*k*（R0-r）*（T-Tp）/A
wucha=（Q0-Q）/Q0
附录5
解决非稳定情况下的:
>To、观测孔N1预测值、观测孔N2预测值以及对应的相
对误差
clc,clear;
T1=[79.8878.9678.4377.8377.4478.49];
T2=[81.
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