第十四章极限与导数高中数学竞赛标准教材.docx

1、第十四章极限与导数高中数学竞赛标准教材第十四章极限与导数(高中数学竞赛标准教材) 第十四 极限与导数一、基础知识1极限定义：（1）若数列un满足，对任意给定的正数，总存在正数，当n>且nN时，恒有|un-A|<成立（A为常数），则称A为数列un当n趋向于无穷大时的极限，记为 ，另外 =A表示x大于x0且趋向于x0时f(x)极限为A，称右极限。类似地 表示x小于x0且趋向于x0时f(x)的左极限。2极限的四则运算：如果 f(x)=a, g(x)=b，那么 f(x)g(x)=ab, f(x)•g(x)=ab, 3连续：如果函数f(x)在x=x0处有定义，且 f(x)存在，并

2、且 f(x)=f(x0)，则称f(x)在x=x0处连续。4最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间a,b上的连续函数，那么f(x)在a,b上有最大值和最小值。导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x在x0处取得一个增量x时（x充分小），因变量也随之取得增量(=f(x0+x)-f(x0)若 存在，则称f(x)在x0处可导，此极限值称为f(x)在点x0处的导数（或变化率），记作 (x0)或 或 ，即 。由定义知f(x)在点x0连续是f(x)在x0可导的必要条。若f(x)在区间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x0处导数 (x0)等于曲线=f(x)

3、在点P(x0,f(x0)处切线的斜率。6几个常用函数的导数：（1） =0（为常数）；（2） （a为任意常数）；（3） (4) ;() ;(6) ;（7） ；（8） 7导数的运算法则：若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)0,则（1） ；（2） ；（3） （为常数）；（4） ；（） 。8复合函数求导法：设函数=f(u),u= (x)，已知 (x)在x处可导，f(u)在对应的点u(u= (x)处可导，则复合函数=f (x)在点x处可导，且（f (x) = 9导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上连续；（2）若对一切x(a,b)有 ，则f(x)在(a,b)单调递增；（

4、3）若对一切x(a,b)有 ，则f(x)在(a,b)单调递减。10极值的必要条：若函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则 11极值的第一充分条：设f(x)在x0处连续，在x0邻域(x0-,x0+)内可导，（1）若当x(x-,x0)时 ，当x(x0,x0+)时 ，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若当x(x0-，x0)时 ，当x(x0,x0+)时 ，则f(x)在x0处取得极大值。12极值的第二充分条：设f(x)在x0的某领域(x0-,x0+)内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且 。（1）若 ，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若 ，则f(x)在x0处取得极大值。13罗尔中值定理：若

5、函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在(a,b)，使 证明 若当x(a,b)，f(x)f(a)，则对任意x(a,b)， 若当x(a,b)时，f(x)f(a)，因为f(x)在a,b上连续，所以f(x)在a,b上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值>f(a)且f()=，则(a,b)，且f()为最大值，故 ，综上得证。14Lagrange中值定理：若f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，则存在(a,b)，使 证明 令F(x)=f(x)- ,则F(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在(a,b)

6、使 =0，即 1曲线凸性的充分条：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意xI, ,则曲线=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意xI, ,则=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。16琴生不等式：设1,2,nR+，1+2+n=1。（1）若f(x)是a,b上的凸函数，则x1,x2,xna,b有f(a1x1+a2x2+anxn)a1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn)二、方法与例题1极限的求法。例1 求下列极限：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 解（1） = ；（2）当a>1时， 当0<a<1时， 当a=1时， （3）因为

7、 而 所以 （4） 例2 求下列极限：（1） (1+x)(1+x2)(1+ )(1+ )(|x|<1)；（2） ；（3） 。解 （1） (1+x)(1+x2)(1+ )(1+ )= （2） = （3） = 2连续性的讨论。例3 设f(x)在(-,+)内有定义，且恒满足f(x+1)=2f(x)，又当x0,1)时，f(x)=x(1-x)2，试讨论f(x)在x=2处的连续性。解 当x0,1)时，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t，则x=t-1，当x1,2)时，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因为t-10,1),再由f(x)=x(1-x)

8、2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,从而t1,2)时,有f(t)=2(t-1)•(2-t)2；同理，当x1,2)时，令x+1=t，则当t2,3)时，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2从而f(x)= 所以 ，所以 f(x)= f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2处连续。3利用导数的几何意义求曲线的切线方程。解 因为点(2,0)不在曲线上，设切点坐标为(x0,0)，则 ，切线的斜率为 ，所以切线方程为-0= ，即 。又因为此切线过点（2,0），所以 ，所以x0=1，所以所求的切线方程为=-(x-2)，即x+-2=04导数的计算。例 求下列函数的导数：（1

9、）=sin(3x+1)；（2） ；（3）=es2x；（4） ；（）=(1-2x)x(x>0且 )。解 （1） 3s(3x+1)(2) （3） （4） （） 用导数讨论函数的单调性。例6 设a>0，求函数f(x)= -ln(x+a)(x(0,+)的单调区间。解 ，因为x>0,a>0，所以 x2+(2a-4)x+a2>0； x2+(2a-4)x+a+<0（1）当a>1时，对所有x>0，有x2+(2a-4)x+a2>0，即 (x)>0,f(x)在(0,+)上单调递增；（2）当a=1时，对x1,有x2+(2a-4)x+a2>0，即 ，所

10、以f(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+）内递增，又f(x)在x=1处连续，因此f(x)在(0,+)内递增；（3）当0<a<1时，令 ，即x2+(2a-4)x+a2>0，解得x<2-a- 或x>2-a+ ，因此，f(x)在(0,2-a- )内单调递增，在(2-a+ ,+)内也单调递增，而当2-a- <x<2-a+ 时，x2+(2a-4)x+a2<0，即 ，所以f(x)在(2-a- ,2-a+ )内单调递减。6利用导数证明不等式。例7 设 ，求证：sinx+tanx>2x证明 设f(x)=sinx+tanx-2x，则 =sx+se2x-2

11、，当 时， （因为0<sx<1），所以 =sx+se2x-2=sx+ 又f(x)在 上连续，所以f(x)在 上单调递增，所以当x 时，f(x)>f(0)=0，即sinx+tanx>2x7利用导数讨论极值。例8 设f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f(x)在x1与x2处是取得极大值还是极小值。解 因为f(x)在(0,+)上连续，可导，又f(x)在x1=1，x2=2处取得极值，所以 ，又 +2bx+1，所以 解得 所以 所以当x(0,1)时， ，所以f(x)在(0,1上递减；当x(1,2)时， ，所以f(x)在1，2上

12、递增；当x(2,+)时， ，所以f(x)在2，+）上递减。综上可知f(x)在x1=1处取得极小值，在x2=2处取得极大值。例9 设x0,0,1，试求函数f(x,)=(2-1)sinx+(1-)sin(1-)x的最小值。解 首先，当x0,0,1时，f(x,)=(2-1)sinx+(1-)sin(1-)x=(1-)2x =(1-)2x ，令g(x)= ,当 时，因为sx>0,tanx>x，所以 ；当 时，因为sx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以 ；又因为g(x)在(0,)上连续，所以g(x)在(0,)上单调递减。又因为0<(1-)x<x<，

13、所以g(1-)x>g(x)，即 ，又因为 ，所以当x(0,),(0,1)时，f(x,)>0其次，当x=0时，f(x,)=0；当x=时，f(x,)=(1-)sin(1-)0当=1时，f(x,)=-sinx+sinx=0；当=1时，f(x,)=sinx0综上，当且仅当x=0或=0或x=且=1时，f(x,)取最小值0。三、基础训练题1 =_2已知 ，则a-b=_3 _4 _计算 _6若f(x)是定义在(-,+)上的偶函数，且 存在，则 _7函数f(x)在(-,+)上可导，且 ，则 _8若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-=0，则点P坐标为_9函数f(x)=x-2sinx

14、的单调递增区间是_10函数 的导数为_11若曲线 在点 处的切线的斜率为 ，求实数a12求sin290的近似值。13设0<b<a< ,求证： 四、高考水平练习题1计算 =_2计算 _3函数f(x)=2x3-6x2+7的单调递增区间是_。4函数 的导数是_函数f(x)在x0邻域内可导，a,b为实常数，若 ，则 _6函数f(x)= ex(sinx+sx),x 的值域为_7过抛物线x2=2p上一点(x0,0)的切线方程为_8当x>0时，比较大小：ln(x+1) _x9函数f(x)=x-x4+x3+1,x-1,2的最大值为_，最小值为_10曲线=e-x(x0)在点(t,e-t)

15、处的切线l与x轴、轴所围成的三角形面积为S(t)，则S(t)的最大值为_11若x>0，求证：(x2-1)lnx(x-1)212函数=f(x)在区间(0,+)内可导。导函数 是减函数，且 >0，x0(0,+)=x+是曲线=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程，另设g(x)=x+，（1）用x0,f(x0), 表示；（2）证明：当x(0,+)时，g(x)f(x)；（3）若关于x的不等式x2+1ax+b 在(0,+)上恒成立，其中a,b为实数，求b的取值范围及a,b所满足的关系。13设各项为正的无穷数列xn满足lnxn+ ,证明：xn1(nN+)五、联赛一试水平训练题1设n=（十进制

16、）n位纯小数0• 只取0或1（i=1,2,n-1），an=1，Tn是n中元素的个数，Sn是n中所有元素的和，则 _2若(1-2x)9展开式的第3项为288，则 _3设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，且g(-3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为_4曲线 与 的交点处的切线夹角是_已知aR+，函数f(x)=x2eax的单调递增区间为_6已知 在(a,3-a2)上有最大值，则a的取值范围是_7当x(1,2时，f(x)= 恒成立，则=lg(a2-a+3)的最小值为_8已知f(x)=ln(ex+a)(a>0)，若对任意xln(3a)

17、,ln(4a)，不等式|-f-1(x)|+ln <0恒成立，则实数取值范围是_9已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,（1）求函数f(x)的最大值；（2）设0<a<b，证明：0<g(a)+g(b)- <(b-a)ln210(1)设函数f(x)=xlg2x+(1-x)lg2(1-x) (0<x<1)，求f(x)的最小值；（2）设正数p1,p2, 满足p1+p2+p3+ =1，求证：p1lg2p1+p2 lg2p2+ lg2 -n11若函数gA(x)的定义域A=a,b)，且gA(x)= ,其中a,b为任意的正实数，且a<b，（1）求gA(x)的最小值；（2）讨论gA(x)的单调性；（3）若x1I=2,(+1)2,x2I+1=(+1)2,(+2)2，证明： 六、联赛二试水平训练题1证明下列不等式：（1） ；（2） 。2当0<abd时，求f(a,b,d)= 的最小值。3已知x,(0,1)求证：x+x>1