11定理与证明.docx

1、11定理与证明定理与证明一、学习目标掌握平面内两条直线的位置关系-相交和平行。掌握两直线相交所成的角的定义和性质，两直线垂直的定义和性质，掌握两直线平行的定义，判定和性质，并能运用这些概念和性质进行简单的推理证明，并了解几何中推理证明的重要性。二、学习要求1、逐步熟悉和掌握研究几何问题的方法和规律，掌握定义，公理和定理的意义，使它们成为研究几何问题时推理的根据。2、具有正确运用几何语言的能力（包括文字表达的语言和符号语言两种）和识图能力。3、理解定理证明的方法、步骤和书写格式，具备比较简单的推理证明的能力。三、例题分析第一阶梯例1完成下列一步推理：（1）CDAB于0（已知） AOC= （ ）（

2、2）1与2互余（已知） 1+2=90( )（3）OC是AOB的平分线 AOC= （ ） 或A0B=2 或BOC=（4）1+2=90，2+3=90（已知） 1=3（ ）（5）ABCD EFCD（已知） （ ）（6）点C是AB的中点（已知） AC= （ ）或AB=2或AC=提示：垂直的定义是什么？ 角平分线及中点的三种表示方法是什么？互余、互补是怎样定义的？平行公理及推论是什么？参考答案：（1）AOC=90（垂直定义）（2）互余定义（3）AOC=BOC，AOB=2AOC（或 2BOC） BOC=AOB（角平分线定义）（4）同角的余角相等（5）ABEF（平行于同一条直线的两条直线平行）（6）AC=B

3、C， AB=2AC（或2BC） AC=AB(中点的定义)说明：角平分线和中点的表示方法有三种，在具体进行推理论证的过程中，可根据实际需要选择其中的一种表示方法。例2在括号中填上理由：如图，直线AB、CD被EF所截1=2（ ）又1=4（已知）2=4（ ）2和3互为邻补角2和3=180（ ）3+4=180（等量代换）3与4互补（ ）提示：1与2是什么角？邻补角有什么性质？参考答案：对顶角相等；等量代换；邻补角定义；互补定义。说明：在很多几何证明的问题中，角与角之间的关系，往往是通过对顶角或邻补角转换的，所以我们在今后的证明中，不能忽略对顶角相等，邻补角互补这一隐含在图中的条件。例3如图，完成下面的

4、练习：（1）3=4（已知） （ ）（2）4=5（已知） （ ）（3）6+ECB=180（已知） （ ）（4）B=7（已知） （ ）（5）AEBC（已知） 6= （ ）（6）ABEC 7= （ ）（7）AEBC（已知） EAB+ =180第二阶梯例1已知：如图1，ABCD，A=C，求证：ADBC证法一：ABCD （ ）B+ =180（ ）A=C（ ）B+A= （ ） （ ）证法二：如图2，连结AC。ABCD（ ）1= （ ）DAB-2=BCD-1（ ）即DAC=BCA （ ）证法三：如图3，延长AB至EABCD （ ）C=CBE （ ）A=C（ ） = （ ）ADBC（ ）例2已知，如图，1=2

5、，DEAC，EFCD，求证；EF平分BED提示：要证明EF平分BED，只需证明3=4即可由DEAC能得出，5等于哪个角？由EFCD，能得出3等于哪个角，4等于哪个角？得出的这三个角相等吗？参考答案：证明：DEAC，CDEF（已知）1=5，5=3（两直线平行，内错角相等）1=3（等量代换）CDEF（已知）2=4（两直线平行，同位角相等）1=2（已知）3=4（等量代换）EF平分BED（角平分线定义）说明：本题是平行线的性质与角平分线的应用，在证明角相等的结论时，经常用到平行线的性质及角平分线的定义，同学们可通过图形及已知条件，探求证明思路，总结角相等的证明方法。例3如图ABC中 ，CDAB,FGA

6、B,1=2,求证：AED=ACB。提示：由图可知，AED和ACB是同位角，要证明AED=ACB，只需证明DEBC,要证明DEBC，只需证明1=3，又1=2，即只需证明2=3，2和3是同位角，从而只需证GFDC即可，由已知条件CDAB，FGAB能证出GFDC吗？参考答案：证明：CDAB，FGAB（已知）CDB=FGB=90（垂直定义）GFDC（同位角相等，两直线平行）2=3（两直线平行，同位角相等）又1=2（已知）1=3（等量代换）DEBC（内错角相等，两直线平行）AED=ACB（两直线平行，同位角相等）说明：综合法，分析是证明几何题目常用的推理论证的方法，综合法是由已知想可知逐步推向未知，而分

7、析法是由结论想需知逐步靠近已知，当题目较复杂，推理思路不清楚时，可用分析法探求思路，即从结论入手去想需知，思路明确以后，采用综合法进行推理，即逆向思考，正向推理。第三阶梯例1已知：如图，1=2，C=D，求证：A=F.提示：要证A=F，只需证DFBC即可，要证明DFBC，只需证4=C，又C=D，所以只需证4=D，从而只需证出ECDB，想想由已知条件1=2，如何证出ECDB.参考答案：证明：2=3（对顶角相等） 1=2（已知）1=3（等量代换）DBEC（同位角相等，两直线平行）4=D（两直线平行，同位角相等）又C=D（已知）4=C（等量代换）DFAC（内错角相等，两直线平行）A=F（两直线平行，内

8、错角相等）说明：此例是平行线的性质与平行线判定综合应用的题目，推理步骤较多，较复杂，拿到这样的题目以后，应先弄清思路，可以这样思考：例2已知：如图2-1 ABCD,EAB=115,3=140,求：2的度数。提示：从题目中可知，要直接利用EAB和3，求出2的度数，根本不可能，而已知条件有ABCD，所以可将问题转化为用平行线的性质来解决，因此需要作辅助线，想想可以怎样添加辅助线参考答案：解法一，过A作AGCE交CD于G，则3+AGC=180（两直线平行，同旁内角互补）3=140（已知）AGC=180-140=40ABCD（已知）AGC=GAB=40（两直线平行，内错角相等）EAB=115EAG=E

9、AB-GAB=115-40=75AGCE（已作）2=EAG=75（两直线平行，内错角相等）解法二：如图2-2 ，过E作EFAB1+4=180（两直线平行，同旁内角互补）1=1154=180-1=180-115=65EFAB， ABCDEFCD（平行于同一直线的两直线平行）5+3=180（两直线平行，同旁内角互补）3=1405=180-3=180-140=402=180-（4+5）=180-105=75（平角定义）说明：解法一中，求2即转化为求EAG，所作平行线起到移角的作用；解法二中，求2即转化为求4+5，可根据ABEFCD，得1+4+5+3=360，这一结论，又因为，1，3已知，求出4+5，

10、从而求出2的度数。例3证明：两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行。提示：证明一个命题，要根据题设，结论、结合图形，写出已知，求证后再写出证明过程，想想如何根据命题画出图形，如何写出已知，求证。参考答案：已知：如图，ABCD，EF分别交AB，CD于E、F；EG平分AEF，FH平分EFD求证：EGFH证明：ABCD（已知）AEF=EFD（两直线平行，内错角相等）EG平分AEF，FH平分EFD（已知）1=AEF，2=EFD（角平分线定义）1=2（等量的一半相等）EGFH（内错角相等，两直线平行）说明：证明思路，由结论想需知， 由已知想可知， 四、检测题1如图1，FAMN于A，HCMN于

11、C，指出下列各判断中，错误的是（ ） A.由CAB=NCD，得ABCD B.由DCG=BAE，得ABCD C.由MAE=ACG，DCG=BAE，得ABCD D.由MAB=ACD，得ABCD2若ABCD，CD EF，则AB EF的根据是（ ） A.平行公理 B.等量代换 C.内错角相等，两直线平行 D.平行于同一直线的两直线平行3如图2，直线MNPQ于O，RS是过0点的直线，1=50，则2是（ ） A.50 B.40 C.60 D.以上都不对。4如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的平分线的位置关系是（ ） A.互相垂直 B.互相平行 C.相交但不垂直 D.不能确定5.在括号内填上适当

12、的理由：（如图3） 设 ACBC，CDAB ACB=90，BDC=ADC=90（ ） 设B+1=90，又2+1=90 2=B（ ）6. 已知：ADBC，B=55，C=47，（如图4）求：BAC的度数 解： ADBC（ ） 1=B，2=C（ ） B=55，C=47（ ） 1=55，2=47（ ） 又1+BAC+2=180（） BAC=180-1-2=180-55-47=78 7.如图5，两直线AB，CD相交于O，且AOC=2BOC，求：AOD的度数。 解： AOC=2BOC（ ） AOC+BOC=180（ ） BOC= 度 又BOC=AOD（ ） AOD= 度 8.已知，如图6，BED=B+D，

13、求证：ABCD 证明：过E点作EFCD 1= （ ） BED=1+2 2=BED-1 又BED=B+D （ ） B=BED-D B=2 （ ） 又CDEF（作图） AB CD （ ） 9.已知，如图7，1+2=180.求证：4=5 10.证明：同垂直于第三条直线的两条直线平行，要求：画图写出已知，求证并证明。 答案： 1、B 2、D 3、B 4、B 5、垂直定义；同角的余角相等。 6、已知；两直线平行，内错角相等；已知，等量代换；平角定义； 7、已知：邻补角定义；60，对顶角相等，60. 8、D；两直线平行，内错角相等，已知；ABEF；内错角相等，两直线平行，平行于同一直线的两直线平行。 9、证明： 1=3（对顶角相等） 1+2=180（已知） 2+3=180（等量代换） ABCD（同旁内角互补，两直线平行） 5=6（两直线平行，同位角相等） 又4=6（对顶角相等） 4=5（等量代换） 10、已知：如图8，ac于A，bc于B，求证：ab. 证明： ac于A，bc于B，（已知） 1=2=90（垂直定义） ab（同位角相等，两直线平行）