11定理与证明.docx

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11定理与证明

定理与证明

   一、学习目标

   掌握平面内两条直线的位置关系--相交和平行。

掌握两直线相交所成的角的定义和性质，两直线垂直的定义和性质，掌握两直线平行的定义，判定和性质，并能运用这些概念和性质进行简单的推理证明，并了解几何中推理证明的重要性。

   二、学习要求

   1、逐步熟悉和掌握研究几何问题的方法和规律，掌握定义，公理和定理的意义，使它们成为研究几何问题时推理的根据。

   2、具有正确运用几何语言的能力（包括文字表达的语言和符号语言两种）和识图能力。

   3、理解定理证明的方法、步骤和书写格式，具备比较简单的推理证明的能力。

   三、例题分析

第一阶梯

   [例1]完成下列一步推理：

（1）∵CD⊥AB于0（已知）    ∴∠AOC=       （）

（2）∵∠1与∠2互余（已知） ∴∠1+∠2=90°（）

   （3）∵OC是∠AOB的平分线    ∴∠AOC=       （）

      或∴∠A0B=2            或∴∠BOC=

   （4）∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°（已知）  ∴∠1=∠3（）

   （5）∵AB∥CDEF∥CD（已知）  ∴     ∥     （）

   （6）∵点C是AB的中点（已知） ∴AC=     （） 或∴AB=2  或∴AC=

   提示：

   垂直的定义是什么？

角平分线及中点的三种表示方法是什么？

互余、互补是怎样定义的？

平行公理及推论是什么？

   参考答案：

（1）∠AOC=90°（垂直定义）

（2）互余定义

   （3）∠AOC=∠BOC，∠AOB=2∠AOC（或2∠BOC）∠BOC=

∠AOB（角平分线定义）

   （4）同角的余角相等

   （5）AB∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行）

   （6）AC=BC，AB=2AC（或2BC）AC=

AB（中点的定义）

   说明：

   角平分线和中点的表示方法有三种，在具体进行推理论证的过程中，可根据实际需要选择其中的一种表示方法。

   [例2]在括号中填上理由：

   如图，直线AB、CD被EF所截

   ∴∠1=∠2（）

   又∴∠1=∠4（已知）

   ∴∠2=∠4（）

   ∵∠2和∠3互为邻补角

   ∴∠2和∠3=180°（）

   ∴∠3+∠4=180°（等量代换）

   ∴∠3与∠4互补（）

   提示：

   ∠1与∠2是什么角？

邻补角有什么性质？

   参考答案：

   对顶角相等；等量代换；邻补角定义；互补定义。

   说明：

   在很多几何证明的问题中，角与角之间的关系，往往是通过对顶角或邻补角转换的，所以我们在今后的证明中，不能忽略对顶角相等，邻补角互补这一隐含在图中的条件。

   [例3]如图，完成下面的练习：

（1）∵∠3=∠4（已知）

       ∴     ∥     （）

（2）∵∠4=∠5（已知）

       ∴     ∥     （）

   （3）∵∠6+∠ECB=180°（已知）

       ∴     ∥     （）

   （4）∵∠B=∠7（已知）

       ∴     ∥     （）

   （5）∵AE∥BC（已知）

       ∴∠6=     （）

   （6）∵AB∥EC

       ∴∠7=     （）

   （7）∵AE∥BC（已知）

       ∴∠EAB+     =180°

第二阶梯

   [例1]已知：

如图1，AB∥CD，∠A=∠C，求证：

AD∥BC

   证法一：

   ∵AB∥CD（）

   ∴∠B+     =180°（）

   ∵∠A=∠C（）

   ∴∠B+∠A=     （）

   ∴     ∥     （）

   证法二：

如图2，连结AC。

   ∵AB∥CD（）

   ∴∠1=     （）

   ∵∠DAB-∠2=∠BCD-∠1（）

   即∠DAC=∠BCA

   ∴     ∥     （）

   证法三：

如图3，延长AB至E

   ∵AB∥CD（）

   ∴∠C=∠CBE（）

   ∵∠A=∠C（）

   ∴     =     （）

   ∴AD∥BC（）

   [例2]已知，如图，∠1=∠2，DE∥AC，EF∥CD，求证；EF平分∠BED

   提示：

   要证明EF平分∠BED，只需证明∠3=∠4即可由DE∥AC能得出，∠5等于哪个角？

由EF∥CD，

能得出∠3等于哪个角，∠4等于哪个角？

得出的这三个角相等吗？

   参考答案：

   证明：

   ∵DE∥AC，CD∥EF（已知）

   ∴∠1=∠5，∠5=∠3（两直线平行，内错角相等）

   ∴∠1=∠3（等量代换）

   ∵CD∥EF（已知）

   ∴∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）

   ∵∠1=∠2（已知）

   ∴∠3=∠4（等量代换）

   ∴EF平分∠BED（角平分线定义）

   说明：

   本题是平行线的性质与角平分线的应用，在证明角相等的结论时，经常用到平行线的性质及角平分线的定义，同学们可通过图形及已知条件，探求证明思路，总结角相等的证明方法。

   [例3]如图△ABC中，CD⊥AB,FG⊥AB,∠1=∠2,求证：

∠AED=∠ACB。

   提示：

   由图可知，∠AED和∠ACB是同位角，要证明∠AED=∠ACB，只需证明DE∥BC,要证明DE∥BC，只需证明∠1=∠3，又∠1=∠2，即只需证明∠2=∠3，∠2和∠3是同位角，从而只需证GF∥DC

即可，由已知条件CD⊥AB，FG⊥AB能证出GF∥DC吗？

   参考答案：

   证明：

   ∵CD⊥AB，FG⊥AB（已知）

   ∴∠CDB=∠FGB=90°（垂直定义）

   ∴GF∥DC（同位角相等，两直线平行）

   ∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）

   又∵∠1=∠2（已知）

   ∴∠1=∠3（等量代换）

   ∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）

   ∴∠AED=∠ACB（两直线平行，同位角相等）

   说明：

   综合法，分析是证明几何题目常用的推理论证的方法，综合法是由已知想可知逐步推向未知，而分析法是由结论想需知逐步靠近已知，当题目较复杂，推理思路不清楚时，可用分析法探求思路，即从结论入手去想需知，思路明确以后，采用综合法进行推理，即逆向思考，正向推理。

第三阶梯

   [例1]已知：

如图，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：

∠A=∠F.

   提示：

   要证∠A=∠F，只需证DF∥BC即可，要证明DF∥BC，只需证∠4=∠C，又∠C=∠D，所以只需证∠4=∠D，从而只需证出EC∥DB，想想由已知条件∠1=∠2，如何证出EC∥DB.

   参考答案：

   证明：

   ∵∠2=∠3（对顶角相等）  ∠1=∠2（已知）

   ∴∠1=∠3（等量代换）

   ∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行）

   ∴∠4=∠D（两直线平行，同位角相等）

   又∵∠C=∠D（已知）

   ∴∠4=∠C（等量代换）

   ∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行）

   ∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）

   说明：

   此例是平行线的性质与平行线判定综合应用的题目，推理步骤较多，较复杂，拿到这样的题目以后，应先弄清思路，可以这样思考：

   [例2]已知：

如图2-1AB∥CD,∠EAB=115°,∠3=140°,求：

∠2的度数。

   提示：

   从题目中可知，要直接利用∠EAB和∠3，求出∠2的度数，根本不可能，而已知条件有AB∥CD，所以可将问题转化为用平行线的性质来解决，因此

需要作辅助线，想想可以怎样添加辅助线

   参考答案：

   解法一，过A作AG∥CE交CD于G，则∠3+∠AGC=180°（两直线平行，同旁内角互补）

   ∵∠3=140°（已知）

   ∴∠AGC=180°-140°=40°

   ∵AB∥CD（已知）

   ∴∠AGC=∠GAB=40°（两直线平行，内错角相等）

   ∵∠EAB=115°

   ∴∠EAG=∠EAB-∠GAB=115°-40°=75°

   ∵AG∥CE（已作）

   ∴∠2=∠EAG=75°（两直线平行，内错角相等）

   解法二：

如图2-2，过E作EF∥AB

   ∴∠1+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）

   ∵∠1=115°   

   ∴∠4=180°-∠1=180°-115°=65°

   ∵EF∥AB，AB∥CD

   ∴EF∥CD（平行于同一直线的两直线平行）

   ∴∠5+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）

   ∵∠3=140°  

   ∴∠5=180°-∠3=180°-140°=40°

   ∴∠2=180°-（∠4+∠5）=180°-105°=75°（平角定义）

   说明：

   解法一中，求∠2即转化为求∠EAG，所作平行线起到移角的作用；

   解法二中，求∠2即转化为求∠4+∠5，可根据AB∥EF∥CD，得∠1+∠4+∠5+∠3=360°，这一结论，又因为，∠1，∠3已知，求出∠4+∠5，从而求出∠2的度数。

   [例3]证明：

两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行。

   提示：

   证明一个命题，要根据题设，结论、结合图形，写出已知，求证后再写出证明过程，想想如何根据命题画出图形，如何写出已知，求证。

   参考答案：

   已知：

如图，AB∥CD，EF分别交AB，CD于E、F；EG平分∠AEF，FH平分∠EFD 求证：

EG∥FH

   证明：

   ∵AB∥CD（已知）

   ∴∠AEF=∠EFD（两直线平行，内错角相等）

   ∵EG平分∠AEF，FH平分∠EFD（已知）

   ∴∠1=

∠AEF，∠2=

∠EFD（角平分线定义）

   ∴∠1=∠2（等量的一半相等）

   ∴EG∥FH（内错角相等，两直线平行）

   说明：

   证明思路，由结论想需知，由已知想可知，

   四、检测题

   1．如图1，FA⊥MN于A，HC⊥MN于C，指出下列各判断中，错误的是（）

    A.由∠CAB=∠NCD，得AB∥CD

    B.由∠DCG=∠BAE，得AB∥CD

    C.由∠MAE=∠ACG，∠DCG=∠BAE，得AB∥CD

    D.由∠MAB=∠ACD，得AB∥CD

   2．若AB∥CD，CD∥EF，则AB∥EF的根据是（）

    A.平行公理

    B.等量代换

    C.内错角相等，两直线平行 

    D.平行于同一直线的两直线平行

   3．如图2，直线MN⊥PQ于O，RS是过0点的直线，∠1=50°，则∠2是（）

    A.50°    B.40°    C.60°     D.以上都不对。

   4．如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的平分线的位置关系是（）

    A.互相垂直

    B.互相平行

    C.相交但不垂直 

    D.不能确定

   5.在括号内填上适当的理由：

（如图3）

    设AC⊥BC，CD⊥AB

    ∴∠ACB=90°，∠BDC=∠ADC=90°（）

    设∠B+∠1=90°，又∠2+∠1=90°

    ∴∠2=∠B（）

   6.已知：

AD∥BC，∠B=55°，∠C=47°，（如图4）求：

∠BAC的度数

    解：

    ∵AD∥BC（）

    ∴∠1=∠B，∠2=∠C（）

    ∵∠B=55°，∠C=47°（）

    ∴∠1=55°，∠2=47°（）

    又∵∠1+∠BAC+∠2=180°（）

    ∴∠BAC=180°-∠1-∠2=180°-55°-47°=78° 

   7.如图5，两直线AB，CD相交于O，且∠AOC=2∠BOC，求：

∠AOD的度数。

    解：

    ∵∠AOC=2∠BOC（）

    ∠AOC+∠BOC=180°（）

    ∴∠BOC=     度

    又∵∠BOC=∠AOD（）

    ∴∠AOD=     度

   8.已知，如图6，∠BED=∠B+∠D，求证：

AB∥CD

    证明：

过E点作EF∥CD

    ∴∠1=     （）

    ∵∠BED=∠1+∠2

    ∴∠2=∠BED-∠1

    又∵∠BED=∠B+∠D （）

    ∴∠B=∠BED-∠D

    ∴∠B=∠2

    ∴     ∥     （）

    又∵CD∥EF（作图）

    ∴AB∥CD（）

   9.已知，如图7，∠1+∠2=180°.求证：

∠4=∠5

   10.证明：

同垂直于第三条直线的两条直线平行，要求：

画图写出已知，求证并证明。

    答案：

    1、B    2、D    3、B    4、B

    5、垂直定义；同角的余角相等。

    6、已知；两直线平行，内错角相等；已知，等量代换；平角定义；

    7、已知：

邻补角定义；60°，对顶角相等，60°.

    8、∠D；两直线平行，内错角相等，已知；AB∥EF；内错角相等，两直线平行，平行于同一直线的两直线平行。

    9、证明：

    ∵∠1=∠3（对顶角相等）

    ∠1+∠2=180°（已知）

    ∴∠2+∠3=180°（等量代换）

    ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

    ∴∠5=∠6（两直线平行，同位角相等）

    又∵∠4=∠6（对顶角相等）

    ∴∠4=∠5（等量代换）

    10、已知：

如图8，a⊥c于A，b⊥c于B，求证：

a∥b.

    证明：

    ∵a⊥c于A，b⊥c于B，（已知）

    ∴∠1=∠2=90°（垂直定义）

    ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）