等腰三角形常用辅助线专题练习含答案.docx

1、等腰三角形常用辅助线专题练习含答案等腰三角形常用辅助线专题练习（含答案）1.如图：已知，点D、E在三角形ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。证明：作AFBC，垂足为F，则AFDE。AB=AC，AD=AE又AFBC，AFDE，BF=CF，DF=EF（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。BD=CE.2.如图，在三角形ABC中，AB=AC,AF平行BC于F，D是AC边上任意一点，延长BA到E，使AE=AD，连接DE，试判断直线AF与DE的位置关系，并说明理由解：AFDE理由：延长ED交BC于G，AB=AC，AE=ADB=C，E=ADEB+E=C+ADEADE=CDG

2、B+E=C+CDGB+E=DGC，C+CDG=BGE，BGE+CGD=180BGE=CGD=90EGBCAFBCAFDE解法2：过A点作ABC底边上的高，再用BAC=D+AED=2ADE,即CAG=AED,证明AGDE利用AFBC证明AFDE3.如图，ABC中，BA=BC点,D是AB延长线上一点，DFAC交BC于E,求证：DBE是等腰三角形。证明：在ABC中，BA=BC，A=C，DFAC，C+FEC=90，A+D=90，FEC=DFEC=BED，BED=D，BD=BE，即DBE是等腰三角形4.如图，ABC中，AB=AC,E在AC上，且AD=AE,DE的延长线与BC相交于F。求证：DFBC.证明

3、：AB=AC，B=C，又AD=AE，D=AED，B+D=C+AED，B+D=C+CEF，EFC=BFE=1801/2=90，DFBC;若把“AD=AE”与结论“DFBC”互换，结论也成立。若把条件“AB=AC”与结论“DFBC”互换，结论依然成立。5.如图，AB=AE,BC=ED,B=E,AMCD,A求证：CM=MD.证明：连接AC,ADAB=AE,B=E,BC=EDABCAED(SAS)AC=ADAMCDAMC=AMD=90AM=AM公(共边)RTACMRTADM(HL)CM=DM6.如图，已知AD是ABC的中线，BE交AC于F,且AE=EF,求证：BF=AC证明：过B点做AC的平行线,交A

4、D的延长线于G点AD为中线，BD=CDBG平行于AC，FGB=CAF，DBG=ACD在AFE和GFB中,FGB=CAF，GFB=AFEAFEGFBFGB=FAEAE=EF,FAE=AFEBFG=GGFB为等腰三角形，且BF=BG在ADC和GBD中DBG=ACD，BD=CD，BDG=CDAADCGBDBG=ACBF=AC7.已知：如图，ABC(ABAC)中，D、E在BC上，且DE=EC过,D点作DFBA,交AE于点F,DF=AC,求证：AE平分BAC证明：延长AE，过D作DMAC交AE延长线于MM=1,C=2在DEM与CEA中M=1,C=2,DE=CEDEMCEADM=CA又DF=CA,DM=D

5、F,M=3ABFD,3=4,4=1AE平分BAC8.已知：如图，ABC中，AB=AC在,AB上取一点D,在延长线上取一点E,连接DE交BC于点F,若F是DE中点。求证：BD=CE证明：过D作DFAC交BC于F，DFAC（已知），DFC=FCE，DFB=ACB（平行线的性质）AB=AC（已知），B=ACB（等边对等角），B=DFB（等量代换），BD=D（F等角对等边），BD=C（E已知），DF=CE（等量代换），DFC=FCE，DGF=CGE（已证），DFGECG（AAS），DG=G（E对应边相等）9.已知：如图，在ABC中，AB=AC=CE,B是AD上一点，BECB交CD于E,ACDC,求证：

6、BE=1/2BC证明：过点A作AFBC交BC于点FABC是等腰三角形，AB=AC，ABF=ACF,（1）AF是BC上的垂直平分线，AFBC，BF=CF=BC/2,（2）BEBC，BE/AFDBE=BAF,（3）CBE=90DBE+ABF=90=ACF+ECB,（4）由（1）和（4）知道：DBE=ECB,（5）由（3）和（5）知道：BAF=ECB又AB=CE，BFA=EBC=90RTBFARTEBC（角角边）BF=EB,（6）由（2）和（6）知道：BE=BC/210.如图，AD为ABC的角平分线，M为BC的中点，MEDA交BA延长线于E,求证：BE=CF=1/2(AB+AC)证明：（1）延长EM

7、，使EM=M，G连接CG点M是BC的中点,BM=CMBME=CMGBMECMG（SAS)BE=CG,E=GAD平分BAC,BAD=CADMEDA,BAD=E，CAD=AFEE=AFE，AE=AFAFE=CFG，G=CFGCF=CG，BE=CG，BE=CF(2)BE=AB+A，E2BE=2AB+2AECF=BE，AC=CF+A，FAE=AF2BE=2CF=AB+(AB+AE)+AE=AB+BE+AE=AB+(CF+AE)AC=AF+CF2BE=AB+ACBE=CF=1/2(AB+AC)11.如图，已知ABC中，ADBC,ABC=2C.试说明AB+BD=CD的理由。证明：在DC上截取DE=BD，连

8、接AEADBC,ADB=ADE=90AD=ADRTADBRTADE（SAS)AB=AE，ABC=AEBAEB=C+EACABC=2C（已知）EAC=CAE=CE，AB=CECD=CE+DE，AB+BD=CD12.已知：如图，AD是ABC的角平分线，且AC=AB+BD.求证：B=2C.证明：在AC上作AEAB，连结DEAC=AB+BDAE+CE,BDCEAD是角平分线,BADEAD又AB=AE，AD=ADABDEADBAED，BDDECEEDC=C，AED2C即:B2C13.如图所示，已知在ABC中AD是A的平分线，且B=2C.求证：AC=AB+BD.证明：延长AB到E，使AC=AE，连接DEA

9、D是BAC的角平分线BAD=DAC（角平分线的定义）公共边AD=ADAC=AEBAD=DACACDAED(SAS)ACB=DEA（全等三角形形的对角相等）BDE+DEB=CBACBA=2ACBACB=DEABDE=DEABD=BE（等角对等边）AB+BE=AE,AC=AE,BD=BEAB+BD=AC14.如图，点E是等边ABC内一点，且EA=EB,ABC外一点D满足BD=AC且,BE平分BDE。求BDE的度数解：连接CE，AC=BC，AE=BE，CE为公共边，BCEACE，BCE=ACE=30又BD=AC=B，CDBE=CBE，BE为公共边，BDEBCE，BDE=BCE=3015.如图，已知在

10、ABC中，AB=BC=CA,E是AD上一点，并且EB=BD=DE.求证：BD+DC=AD.A提示：证明ABEBCD即可EBC16.已知：如图，ABC中，C=90，CMAB于M,AT平分BAC交CM于D,交BC于T,过D作DEAB交BC于E，求证：CT=BE证明1：作DFBC交AB于F,则:AFD=B=ACD,AT为BAC的角平分线,AD为公共边AFDACD,AF=AC连接TFAF=AC,AT为BAC的角平分线,AT为公共边ACTAFT,TFAF,TFCMDFCTBE,TFCD,DEBF四边形CTFD和四边形BEDF都是平行四边形CT=DF=BE证明2：作TFAB于F,则:CDT=ADM=90-DAM=90-DAC=CTDCDT=CTD,CT=CDAT为BAC的角平分线，TFAB，ACTCCT=TF=CDDEBF,TFCD,DEC=B,DCE=FTB又TF=CDCDETFB,CE=BTCE-TE=BT-TE,CT=BE