等腰三角形常用辅助线专题练习含答案.docx
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等腰三角形常用辅助线专题练习含答案
等腰三角形常用辅助线专题练习
（含答案）
1.如图：
已知，点D、E在三角形ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，求
证：
BD=CE。
证明：
作AF⊥BC，垂足为F，则AF⊥DE。
∵AB=AC，AD=AE
又∵AF⊥BC，AF⊥DE，∴BF=CF，DF=EF（等腰三角形底边上的高与底
边上的中线互相重合）。
∴BD=CE.
2.如图，在三角形ABC中，AB=AC,AF平行BC于F，D是AC边上任意一
点，延长BA到E，使AE=AD，连接DE，试判断直线AF与DE的位置关
系，并说明理由
解：
AF⊥DE．理由：
延长ED交BC于G，∵AB=AC，AE=AD∴∠B=∠C，
∠E=∠ADE∴∠B+∠E=∠C+∠ADE∵∠ADE=∠CDG∴∠B+∠E=∠C+∠
CDG∵∠B+∠E=∠DGC，∠C+∠CDG∠=BGE，∠BGE+∠CGD=18°0∴∠
BGE=∠CGD=9°0∴EG⊥BC．∵AF∥BC∴AF⊥DE．
解法2：
过A点作△ABC底边上的高，
再用∠BAC=∠D+AED∠=2∠ADE,即∠CAG∠=AED,证明AG∥DE利用AF∥
BC证明AF⊥DE
3.如图，△ABC中，BA=BC点,D是AB延长线上一点，DF⊥AC交BC于
E,求证：
△DBE是等腰三角形。
证明：
在△ABC中，∵BA=BC，∴∠A=∠C，∵DF⊥AC，∴∠C+∠
FEC=90°，∠A+∠D=90°，∴∠FEC=∠D∵∠FEC=∠BED，∴∠BED=
∠D，∴BD=BE，即△DBE是等腰三角形．
4.如图，△ABC中，AB=AC,E在AC上，且AD=AE,DE的延长线与BC相
交于F。
求证：
DF⊥BC.
证明：
∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵AD=AE，∴∠D=∠AED，
∴∠B+∠D=∠C+∠AED，∴∠B+∠D=∠C+∠CEF，
∴∠EFC=∠BFE=180°×1/2=90°，∴DF⊥BC;
若把“AD=AE”与结论“DF⊥BC”互换，结论也成立。
若把条件“AB=AC”与结论“DF⊥BC”互换，结论依然成立。
5.如图，AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AM⊥CD,A求证：
CM=MD.
证明：
连接AC,AD
∵AB=AE∠,B=∠E,BC=ED∴△ABC≌△AED（SAS）
∴AC=AD
∵AM⊥CD∴∠AMC∠=AMD=9°0∵AM=AM公（共边）∴RT△ACM≌RT△
ADM（HL）
∴CM=DM
6.如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于F,且AE=EF,求证：
BF=AC
证明：
过B点做AC的平行线,交AD的延长线于G点
∵AD为中线，∴BD=CD∵BG平行于AC，∴∠FGB=∠CAF，∠DBG∠=ACD
在△AFE和△GFB中,∵∠FGB=∠CAF，∠GFB=∠AFE∴△AFE∽△GFB
∴∠FGB=∠FAE
∵AE=EF,∴∠FAE=∠AFE
∴∠BFG=∠G∴△GFB为等腰三角形，且BF=BG在△ADC和△GBD中∵
∠DBG∠=ACD，BD=CD，∠BDG∠=CDA∴△ADC≌△GBD∴BG=AC
∴BF=AC
7.已知：
如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC过,D点作
DF∥BA,交AE于点F,DF=AC,求证：
AE平分∠BAC
证明：
延长AE，过D作DM‖AC交AE延长线于M∴∠M=∠1,∠C=∠2在
△DEM与△CEA中∠M=∠1,∠C=∠2,DE=CE∴△DEM≌△CEA∴DM=CA
又∵DF=CA∴,DM=DF∴,∠M=∠3∵AB‖FD,∴∠3=∠4,∴∠4=∠1∴AE
平分∠BAC
8.已知：
如图，△ABC中，AB=AC在,AB上取一点D,在延长线上取一
点E,连接DE交BC于点F,若F是DE中点。
求证：
BD=CE
证明：
过D作DF∥AC交BC于F，∵DF∥AC（已知），∴∠DFC=∠FCE，
∠DFB=∠ACB（平行线的性质）∵AB=AC（已知），∴∠B=∠ACB（等
边对等角），∴∠B=∠DFB（等量代换），∴BD=D（F等角对等边），
∵BD=C（E已知），∴DF=CE（等量代换），
∵∠DFC=∠FCE，∠DGF∠=CGE（已证），
∴△DFG≌△ECG（AAS），
∴DG=G（E对应边相等）
9.已知：
如图，在△ABC中，AB=AC=CE,B是AD上一点，BE⊥CB交CD
于E,AC⊥DC,求证：
BE=1/2BC
证明：
过点A作AF⊥BC交BC于点F
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠ABF=∠ACF,
（1）∴AF是BC上的
垂直平分线，AF⊥BC，BF=CF=BC/2,,
（2）∵BE⊥BC，∴BE//AF∴
∠DBE=∠BAF,,,,,,,,,,,,（3）∵∠CBE=90°∴∠DBE+
∠ABF=90°=∠ACF+∠ECB,,,,（4）由
（1）和（4）知道：
∠DBE=
∠ECB,,,,,,（5）由（3）和（5）知道：
∠BAF=∠ECB又∵AB=CE，
∠BFA=∠EBC=90°∴RT△BFA≌RT△EBC（角角边）∴
BF=EB,,,,,,,,,,（6）由
（2）和（6）知道：
BE=BC/2
10.如图，AD为△ABC的角平分线，M为BC的中点，ME∥DA交BA延长
线于E,求证：
BE=CF=1/2（AB+AC）
证明：
（1）延长EM，使EM=M，G连接CG
∵点M是BC的中点,∴BM=CM∵∠BME∠=CMG∴△BME≌△CMG（SAS）
∴BE=CG∠,E=∠G
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD∵ME∥DA,∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠AFE
∴∠E=∠AFE，∴AE=AF∵∠AFE=∠CFG，∴∠G=∠CFG∴CF=CG，∴
BE=CG，∴BE=CF
（2）∵BE=AB+A，E∴2BE=2AB+2AE
∵CF=BE，AC=CF+A，FAE=AF
∴2BE=2CF=AB+（AB+AE）+AE=AB+BE+AE=AB+（CF+AE∵）AC=AF+CF∴
2BE=AB+AC∴BE=CF=1/2（AB+AC）
11.如图，已知△ABC中，AD⊥BC,∠ABC=2∠C.试说明AB+BD=CD的理由。
证明：
在DC上截取DE=BD，连接AE∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADE=90°∵
AD=AD∴RT△ADB≌RT△ADE（SAS）∴AB=AE，∠ABC=∠AEB
∵∠AEB=∠C+∠EAC∵∠ABC=2∠C（已知）∴∠EAC=∠C
∴AE=CE，∴AB=CE∵CD=CE+DE，∴AB+BD=CD
12.已知：
如图，AD是△ABC的角平分线，且AC=AB+BD.求证：
∠B=2
∠C.
证明：
在AC上作AE＝AB，连结DE∵AC=AB+B＝DAE+CE,∴BD＝CE∵
AD是角平分线,∴∠BAD＝∠EAD又∵AB=AE，AD=AD∴△ABD≌△EAD
∴∠B＝∠AED，BD＝DE＝CE
∴∠EDC=∠C，∠AED＝2∠C
即:
∠B＝2∠C
13.如图所示，已知在△ABC中AD是∠A的平分线，且∠B=2∠C.求证：
AC=AB+BD.
证明：
延长AB到E，使AC=AE，连接DE
∵AD是∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠DAC（角平分线的定义）∵公共
边AD=ADAC=AE∠BAD=∠DAC∴△ACD≌△AED（SAS）∴∠ACB=∠DEA
（全等三角形形的对角相等）
∵∠BDE+∠DEB=∠CBA∠CBA=2∠ACB∠ACB=∠DEA∴∠BDE=∠DEA∴
BD=BE（等角对等边）
∵AB+BE=AE,AC=AE,BD=BE
∴AB+BD=AC
14.如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB,△ABC外一点D满足
BD=AC且,BE平分∠BDE。
求∠BDE的度数解：
连接CE，∵AC=BC，AE=BE，
CE为公共边，∴△BCE≌△ACE，∴∠BCE=∠ACE=30°又∵BD=AC=B，C
∠DBE=∠CBE，BE为公共边，∴△BDE≌△BCE，∴∠BDE=∠BCE=30°
15.如图，已知在△ABC中，AB=BC=CA,E是AD上一点，并且EB=BD=DE.
求证：
BD+DC=AD.A
提示：
证明△ABE≌△BCD即可EBC
16.已知：
如图，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M,AT平分∠BAC交
CM于D,交BC于T,过D作DE∥AB交BC于E，求证：
CT=BE
证明1：
作DF∥BC交AB于F,则:
∵∠AFD=∠B=∠ACD,AT为∠BAC的角平分线,AD为公共边∴△AFD≌△
ACD,AF=AC连接TF∵AF=AC,AT为∠BAC的角平分线,AT为公共边∴
△ACT≌△AFT,TF⊥AF,TF∥CM∵DF∥CT∥BE,TF∥CD,DE∥BF∴四边
形CTFD和四边形BEDF都是平行四边形∴CT=DF=BE
证明2：
作TF⊥AB于F,则:
∵∠CDT=∠ADM=9°0-∠DAM=9°0-∠DAC=
∠CTD∴∠CDT=∠CTD,∴CT=CD∵AT为∠BAC的角平分线，TF⊥AB，
AC⊥TC∴CT=TF=CD∵DE∥BF,TF∥CD,∴∠DEC=∠B,∠DCE=∠FTB
又∵TF=CD∴△CDE≌△TFB,∴CE=BT∴CE-TE=BT-TE,CT=BE
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