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1、高等数学第三版上册答案高等数学第三版上册答案【篇一：中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第3章课后习题详解】t习题3-11.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值 ?。 （1） f(x)?2x2?x?3,?1,1.5； （2） f(x)?x?x,0,3。 知识点：罗尔中值定理。 2 解：（1）f(x)?2x?x?3在?1, 1.5上连续，在(?1,1.5)内可导，且f(?1)?f(1.5)?0， （2） 1 ?(?1,1.5)即为所求。 4 f(x)?x?x在0,3上连续，在(0,3)内可导，且f(0)?f(3)?0， f(x)?x?x在0,3上满足罗尔

2、定理的条件。令 y?4x3?5x2?x?2在区间0,1上的正确性。 f(1)?f(0) 1?0 3 2 知识点：拉格朗日中值定理。 可验证定理的正确性。 1连续，在(0,1)内可导，y?4x?5x?x?2在解：y?f(x)?4x?5x?x?2在0,1上满足拉格朗日中值定理的条件。又区间0, f?(?)? 32 f(1)?2,f(0)?2，f?(x)?12x2?10x?1， 要使 f(1)?f(0)5?0，只要：?(0,1)，1?012 ? 1?012 3.已知函数 。 解：要使 的?。 f(2)?f(1)3 2?14.试证明对函数 总是位于区间的正中间。证明：不妨设所讨论的区间为a,b，则函数

3、y?px2?qx?r在a,b上连续，在(a,b)内可导，从 而有 f(b)?f(a)(pb2?qb?r)?(pa2?qa?r) b?ab?a b?a ，结论成立。 2 5.函数 f(x)?x3与g(x)?x2?1在区间1,2上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满 知识点：柯西中值定理。 思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程 便为所求。 解：f(x)?x3及g(x)?x2?1在1,2上连续，在(1,2)内可导，且在(1,2)内的每一点处有 g?(x)?2x?0，所以满足柯西中值定理的条件。要使 ? 14 即为满足定理的数值。 6.设 f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且

4、f(1)?0。求证： / 结论出发，变形为 f/(x)x?f(x)， 然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常 用的方法。 证明：构造辅助函数f(x)?xf(x)，f?(x)?f(x)?xf?(x) 根据题意f(x) ?xf(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(1)?1?f(1)?0， f(x) ，只要 x 注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使f?(x)? f?(x)1xf(x)? ?lnf(x)?lnx?lnxf(x)?0?0?xf(x)?0 f(x)xxf(x) ?xf(x) 只要设辅助函数f(x) 7.若函数 f(x)在(a,b)

5、内具有二阶导函数，且f(x1)?f(x2)?f(x3) 知识点：罗尔中值定理的应用。 思路：连续两次使用罗尔中值定理。 证明： f(x)在(a,b)内具有二阶导函数，f(x)在x1,x2、x2,x3内连续， 在(x1,x2)、(x2,x3)内可导，又 f(x1)?f(x2)?f(x3)， ?(x2,x3)， 8.若4次方程 a0x4?a1x3?a2x2?a3x?a4?0有4个不同的实根，证明： 4a0x3?3a1x2?2a2x?a3?0 的所有根皆为实根。 知识点：罗尔中值定理的应用。 思路：讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。 证明：令f(x)?a0x4?a1x3?a2x2?a3x?a4 则

6、由题意，又 f(x)有4个不同的实数零点，分别设为x1,x2,x3,x4， f(x)在x1,x2、x2,x3、x3,x4上连续，在(x1,x2)、(x2,x3)、(x3,x4)上可导， f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)?0， 三次方程最多有3个实根，从而结论成立。 9.证明：方程 x5?x?1?0只有一个正根。 知识点：零点定理和罗尔定理的应用。思路：讨论某些方程根的唯一性，可利用反证法，结合零点定理和罗尔定理得出结论。零点定理往往用来 讨论函数的零点情况；罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。 解：令f(x)?x5?x?1，f(x)在0,1上连续，且f(1)?1?0，f(0)?

7、1?0， 5 5 ?x?1?0只有一个正根。 f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)的导数，说明方程f?(x)?0有几个实根， 10.不用求出函数 并指出它们所在的区间。 知识点：罗尔中值定理的应用。 思路：讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理。 解： f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)在1,2、2,3、3,4上连续， f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?0， f?(x)?0为三次方程，至多有三个实根， 又方程 11.证明下列不等式： （1） arctana?arctanb?a?b ； （2） 当 x ?1时，ex?ex ； 。 （3） 设 x 11 ?0，

8、证明ln(1?x)?x； （4） 当x?0时，ln(1?)? x1?x 知识点：利用拉格朗日中值定理。 （或 f(b)?f(a)b?a 证明：（1）令f(x)?arctanx， f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，【篇二：同济大学第3版高等数学下册答案】8-1练习8-2【篇三：高等数学复旦大学出版第三版课后答案习题全1(陈策提供)】数是否相等,为什么? (1)f(x)?(3)f(x)? g(x)?x; (2)y?sin(3x?1),u?sin(3t?1);x?1x?1 22 2 ,g(x)?x?1. 解: (1)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集r;由两函数相等. (2)相等.

9、 因为两函数的定义域相同,都是实数集r,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等. (3)不相等. 因为函数f(x)的定义域是xx?r,x?1,而函数g(x)的定义域是实数集r,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 求下列函数的定义域(1)y?(3)y? arctanxx?1 2 ?x知两函数的对应法则也相同;所以 1x ; (2)y?1lg(1?x) ; ; (4)y?arccos(2sinx). 解: (1)要使函数有意义,必须 ?4?x?0?x?4 即 ? ? x?0x?0? 所以函数的定义域是(?,0)?(0,4. (2)要使函数有意义,必须 ?x?3?0

10、 ? ?lg(1?x)?0 即 ?1?x?0? ?x?3? ?x?0 ?x?1? 所以函数的定义域是-3,0)(0,1). (3)要使函数有意义,必须 2 x?1?0 即 x?1 所以函数的定义域是(?,?1)?(?1,1)?(1,?). (4)要使函数有意义,必须?1?2sinx?1 即 ? 12 ?sinx? 12 即? 所以函数的定义域是? 1?sin,? 3. 求函数y?x ?0,? x?0x?0 的定义域与值域. 解: 由已知显然有函数的定义域为(-,+),又当x?0时,时,sin 1x 1x 可以是不为零的任意实数,此 可以取遍-1,1上所有的值,所以函数的值域为-1,1. 1?x

11、1?x 4. 没f(x)?,求f(0),f(?x),f(). x 1 解: f(0)? 1?01?0 ?1,f(?x)? 1?(?x)1?(?x) ? 1?x 1,f()? x1?x ?x?1. 1x?11? x 1? 1 5.设f(x)? ?1,?x?1, ?1?x?00?x?2 ,求f(x?1). ?1, 解: f(x?1)? ?(x?1)?1, x ?1?x?1?00?x?1?2 1,0?x?1? ?. x,1?x?3? 6. 设f(x)?2,g(x)?xlnx,求f(g(x),g(f(x),f(f(x)和g(g(x). 解: f(g(x)?2 g(x) ?2 xlnx , x x x

12、g(f(x)?f(x)lnf(x)?2?ln2?(xln2)?2, f(f(x)?2 f(x) ?2, 2 x g(g(x)?g(x)lng(x)?xlnxln(xlnx). 3 7. 证明:f(x)?2x?1和g(x)? . 3 证:由y?2x?1解得x?故函数f(x)?2x3?1的反函数是y? x?r),这与g(x)? 是同一个函 数,所以f(x)?2x3?1和g(x)? . 8. 求下列函数的反函数及其定义域: (1)y? 1?x1?x 2x?5 3 (3)y?3 解: (1)由y? 1?x1?x 解得x? 1?y1?y , 1?x1?x 所以函数y? 1?x1?x 的反函数为y?(x?

13、1). (2)由y?ln(x?2)?1得x?ey?1?2, 所以,函数y?ln(x?2)?1的反函数为y?ex?1?2 (x?r). (3)由y?32x?5解得x? 12 (log3y?5) 12 (log3x?5) (x?0). 所以,函数y?32x?5的反函数为y? (4)由y?1?cos3x得cosx?故x?arccos. 3 又由?1?cosx?1得0?1?cosx?2,数为y?arccos 3 (0?x?2). 9. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性: (1)y? x1?x 2 ; (2)y?x?lnx x1?x 2 解: (1)函数的定义域为(-,+), 当x?0时,有故?x

14、?(?,?),有y?又因为函数y? x1?x 2 ?0,当x?0时,有 x1?x 2 ? x2x ? 12 , 12 .即函数y? x1?x 2 有上界. 为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函 x1?x 2 数必有下界,因而函数y?有界.又由y1?y2? x11?x 21 ? x21?x 22 ? (x1?x2)(1?x1x2)(1?x)(1?x) 21 22 知,当x1?x2且x1x2?1时,y1?y2,而 当x1?x2且x1x2?1时,y1?y2. 故函数y? x1?x 2 在定义域内不单调. (2)函数的定义域为(0,+), ?m?0,?x1?0且x1?m;?

15、x2?e m ?0,使lnx2?m. 取x0?maxx1,x2,则有x0?lnx0?x1?lnx2?2m?m, 所以函数y?x?lnx在定义域内是无界的. 又当0?x1?x2时,有x1?x2?0,lnx1?lnx2?0 故y1?y2?(x1?lnx1)?(x2?lnx2)?(x1?x2)?(lnx1?lnx2)?0. 即当0?x1?x2时,恒有y1?y2,所以函数y?x?lnx在(0,?)内单调递增. 10. 判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)? (2)y?e 2x ?e ?2x ?sinx. 解: (1)? f(?x)? ?f(x)? ? ? ?2x ?f(x) . 2x (2)?f(?x

16、)?e ?函数y?e ?e?sin(?x)?e ?2x ?e 2x ?sinx?(e 2x ?e ?2x ?sinx)?f(x) 2x ?e ?2x ?sinx是奇函数. 11. 设f(x)定义在(-,+)上,证明: (1) f(x)?f(?x)为偶函数; (2)f(x)?f(?x)为奇函数. 证: (1)设f(x)?f(x)?f(?x),则?x?(?,?), 有f(?x)?f(?x)?f(x)?f(x) 故f(x)?f(?x)为偶函数. (2)设g(x)?f(x)?f(?x),则?x?(?,?), 有g(?x)?f(?x)?f(?x)?f(x)?f(?x)?g(x)故f(x)?f(?x)为奇

17、函数. 12. 某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半). 解: 设年销售批数为x, 则准备费为10x; 又每批有产品 10x 6 3 件,库存数为 10 6 2x 件,库存费为 10 6 2x ?0.05元. 设总费用为,则y?10x? 3 10?0.05 2x 6 . 13. 邮局规定国内的平信,每20g付邮资0.80元,不足20 g按20 g计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y与重量x的关系. 解: 当x能被20整除,即

18、x20? x20x20 时,邮资y? x20 x20 ?0.80? x25 ; 当x不能被20整除时,即?时,由题意知邮资y? ?x? ?0.80. ?1?20? ?x ?25,? 综上所述有y? ?x?1?0.80,?20 0?x?2000且0?x?2000且 x?x? ?;?20?20?x?x? ?.?20?20 其中 xx?x?x? ?1的最大整数. ,分别表示不超过,?1?2020?20?20?. 图1-1 解: s0? 12 h(ad?bc)? 12 h(2hcot?bc?bc)?h(bc?hcot?) 从而 bc? s0h ?hcot?. l?ab?bc?cd (ab?cd)?2 hsin? ?bc?2 hsin?s0h ?s0h ?hcot? ? ? s0h 2?cos?sin? h? 2?cos40sin40 ? h