高等数学第三版上册答案.docx

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高等数学第三版上册答案

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【篇一：

中国人民大学出版社（第四版）高等数学一第3章课后习题详解】

t>习题3-1

★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？

如满足，请求出满足定理的数值

?

。

（1）

f（x）?

2x2?

x?

3,[?

1,1.5]；

（2）

f（x）?

x?

x,[0,3]。

知识点：

罗尔中值定理。

2

解：

（1）∵f（x）?

2x?

x?

3在[?

1,1.5]上连续，在（?

1,1.5）内可导，且f（?

1）?

f（1.5）?

0，

∴

（2）∵∴

1

?

（?

1,1.5）即为所求。

4

f（x）?

x?

x在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且f（0）?

f（3）?

0，f（x）?

x?

x在[0,3]上满足罗尔定理的条件。

令

y?

4x3?

5x2?

x?

2在区间[0,1]上的正确性。

f

（1）?

f（0）

1?

0

3

2

知识点：

拉格朗日中值定理。

可验证定理的正确性。

1]连续，在（0,1）内可导，∴y?

4x?

5x?

x?

2在解：

∵y?

f（x）?

4x?

5x?

x?

2在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件。

又区间[0,

f?

（?

）?

32

f

（1）?

?

2,f（0）?

?

2，f?

（x）?

12x2?

10x?

1，

∴要使

f

（1）?

f（0）5?

0，只要：

?

?

（0,1），

1?

012

∴?

?

?

1?

012

★3.已知函数

。

解：

要使

的?

。

f

（2）?

f

（1）3

2?

1★★4.试证明对函数

总是位于区间的正中间。

证明：

不妨设所讨论的区间为[a,b]，则函数y?

px2?

qx?

r在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，从

而有

f（b）?

f（a）（pb2?

qb?

r）?

（pa2?

qa?

r）

b?

ab?

a

b?

a

，结论成立。

2

★5.函数

f（x）?

x3与g（x）?

x2?

1在区间[1,2]上是否满足柯西定理的所有条件？

如满足，请求出满

知识点：

柯西中值定理。

思路：

根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程

便为所求。

解：

∵f（x）?

x3及g（x）?

x2?

1在[1,2]上连续，在（1,2）内可导，且在（1,2）内的每一点处有

g?

（x）?

2x?

0，所以满足柯西中值定理的条件。

要使

?

14

即为满足定理的数值。

★★★6.设

f（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f

（1）?

0。

求证：

/

结论出发，变形为

f/（x）x?

f（x），然后再利用罗尔中值定理，便得结论。

构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常

用的方法。

证明：

构造辅助函数f（x）?

xf（x），f?

（x）?

f（x）?

xf?

（x）

根据题意f（x）

?

xf（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f

（1）?

1?

f

（1）?

0，

f（x）

，只要x

注：

辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：

要使f?

（x）?

?

f?

（x）1[xf（x）]?

?

?

?

[lnf（x）]?

?

?

[lnx]?

?

[lnxf（x）]?

?

0?

?

0?

[xf（x）]?

?

0f（x）xxf（x）

?

xf（x）

∴只要设辅助函数f（x）

★★7.若函数

f（x）在（a,b）内具有二阶导函数，且f（x1）?

f（x2）?

f（x3）

知识点：

罗尔中值定理的应用。

思路：

连续两次使用罗尔中值定理。

证明：

∵f（x）在（a,b）内具有二阶导函数，∴f（x）在[x1,x2]、[x2,x3]内连续，

在（x1,x2）、（x2,x3）内可导，又

f（x1）?

f（x2）?

f（x3），

?

（x2,x3），

★★8.若4次方程

a0x4?

a1x3?

a2x2?

a3x?

a4?

0有4个不同的实根，证明：

4a0x3?

3a1x2?

2a2x?

a3?

0

的所有根皆为实根。

知识点：

罗尔中值定理的应用。

思路：

讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。

证明：

令f（x）?

a0x4?

a1x3?

a2x2?

a3x?

a4

则由题意，∵又

f（x）有4个不同的实数零点，分别设为x1,x2,x3,x4，

f（x）在[x1,x2]、[x2,x3]、[x3,x4]上连续，在（x1,x2）、（x2,x3）、（x3,x4）上可导，

f（x1）?

f（x2）?

f（x3）?

f（x4）?

0，

三次方程最多有3个实根，从而结论成立。

★★★9.证明：

方程

x5?

x?

1?

0只有一个正根。

知识点：

零点定理和罗尔定理的应用。

思路：

讨论某些方程根的唯一性，可利用反证法，结合零点定理和罗尔定理得出结论。

零点定理往往用来

讨论函数的零点情况；罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。

解：

令f（x）?

x5?

x?

1，∵f（x）在[0,1]上连续，且f

（1）?

1?

0，f（0）?

?

1?

0，

5

5

?

x?

1?

0只有一个正根。

f（x）?

（x?

1）（x?

2）（x?

3）（x?

4）的导数，说明方程f?

（x）?

0有几个实根，

★★10.不用求出函数

并指出它们所在的区间。

知识点：

罗尔中值定理的应用。

思路：

讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理。

解：

∵f（x）?

（x?

1）（x?

2）（x?

3）（x?

4）在[1,2]、[2,3]、[3,4]上连续，

f

（1）?

f

（2）?

f（3）?

f（4）?

0，

f?

（x）?

0为三次方程，至多有三个实根，

又方程∴

★★★11.证明下列不等式：

（1）

arctana?

arctanb?

a?

b；

（2）当x

?

1时，ex?

ex；

。

（3）设x

11

?

0，证明ln（1?

x）?

x；（4）当x?

0时，ln（1?

）?

x1?

x

知识点：

利用拉格朗日中值定理。

（或

f（b）?

f（a）b?

a

证明：

（1）令f（x）?

arctanx，∵f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，

【篇二：

同济大学第3版《高等数学》下册答案】

8-1

练习8-2

【篇三：

高等数学复旦大学出版第三版课后答案习题全1（陈策提供）】

数是否相等,为什么

?

（1）f（x）?

（3）f（x）?

g（x）?

x;

（2）y?

sin（3x?

1）,u?

sin（3t?

1）;x?

1x?

1

22

2

g（x）?

x?

1.

解:

（1）相等.

因为两函数的定义域相同,都是实数集r;

由两函数相等.

（2）相等.

因为两函数的定义域相同,都是实数集r,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.

（3）不相等.

因为函数f（x）的定义域是{xx?

r,x?

1},而函数g（x）的定义域是实数集r,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.2.求下列函数的定义域

（1）y?

（3）y?

arctanxx?

1

2

?

x知两函数的对应法则也相同;所以

1x

;

（2）y?

1lg（1?

x）

;

;（4）y?

arccos（2sinx）.

解:

（1）要使函数有意义,必须

?

4?

x?

0?

x?

4

即?

?

x?

0x?

0?

?

所以函数的定义域是（?

?

0）?

（0,4].

（2）要使函数有意义,必须

?

x?

3?

0

?

?

lg（1?

x）?

0即?

1?

x?

0?

?

x?

?

3?

?

x?

0?

x?

1?

所以函数的定义域是[-3,0）∪（0,1）.

（3）要使函数有意义,必须

2

x?

1?

0即x?

?

1

所以函数的定义域是（?

?

?

1）?

（?

1,1）?

（1,?

?

）.

（4）要使函数有意义,必须

?

1?

2sinx?

1即?

12

?

sinx?

12

即?

所以函数的定义域是[?

1?

sin,?

3.求函数y?

?

x

?

0,?

x?

0x?

0

的定义域与值域.

解:

由已知显然有函数的定义域为（-∞,+∞）,又当x?

0时,时,sin

1x

1x

可以是不为零的任意实数,此

可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].

1?

x1?

x

4.没f（x）?

求f（0）,f（?

x）,f（）.

x

1

解:

f（0）?

1?

01?

0

?

1,f（?

x）?

1?

（?

x）1?

（?

x）

?

1?

x

1,f（）?

x1?

x

?

x?

1.

1x?

11?

x

1?

1

5.设f（x）?

?

?

1,?

x?

1,

?

1?

x?

00?

x?

2

求f（x?

1）.

?

1,

解:

f（x?

1）?

?

?

（x?

1）?

1,

x

?

1?

x?

1?

00?

x?

1?

2

1,0?

x?

1?

?

?

.

x,1?

x?

3?

6.设f（x）?

2,g（x）?

xlnx,求f（g（x））,g（f（x））,f（f（x））和g（g（x））.解:

f（g（x））?

2

g（x）

?

2

xlnx

x

x

x

g（f（x））?

f（x）lnf（x）?

2?

ln2?

（xln2）?

2,

f（f（x））?

2

f（x）

?

2,

2

x

g（g（x））?

g（x）lng（x）?

xlnxln（xlnx）.

3

7.证明:

f（x）?

2x?

1和g（x）?

.

3

证:

由y?

2x?

1解得x?

故函数f（x）?

2x3?

1的反函数是y?

x?

r）,

这与g（x）?

是同一个函

数,所以f（x）?

2x3?

1和g（x）?

.

8.求下列函数的反函数及其定义域:

（1）y?

1?

x1?

x

2x?

5

3

（3）y?

3

解:

（1）由y?

1?

x1?

x

解得x?

1?

y1?

y

1?

x1?

x

所以函数y?

1?

x1?

x

的反函数为y?

（x?

?

1）.

（2）由y?

ln（x?

2）?

1得x?

ey?

1?

2,

所以,函数y?

ln（x?

2）?

1的反函数为y?

ex?

1?

2（x?

r）.

（3）由y?

32x?

5解得x?

12

（log3y?

5）

12

（log3x?

5）（x?

0）.

所以,函数y?

32x?

5的反函数为y?

（4）由y?

1?

cos3x得cosx?

故x?

arccos.

3

又由?

1?

cosx?

1得0?

1?

cosx?

2,

数为y?

arccos

3

（0?

x?

2）.

9.判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:

（1）y?

x1?

x

2

;

（2）y?

x?

lnx

x1?

x

2

解:

（1）函数的定义域为（-∞,+∞）,当x?

0时,有故?

x?

（?

?

?

?

）,有y?

又因为函数y?

x1?

x

2

?

0,当x?

0时,有

x1?

x

2

?

x2x

?

12

12

.即函数y?

x1?

x

2

有上界.

为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函

x1?

x

2

数必有下界,因而函数y?

有界.

又由y1?

y2?

x11?

x

21

?

x21?

x

22

?

（x1?

x2）（1?

x1x2）（1?

x）（1?

x）

21

22

知,当x1?

x2且x1x2?

1时,y1?

y2,而

当x1?

x2且x1x2?

1时,y1?

y2.故函数y?

x1?

x

2

在定义域内不单调.

（2）函数的定义域为（0,+∞）,

?

?

m?

0,?

x1?

0且x1?

m;?

x2?

e

m

?

0,使lnx2?

m.

取x0?

max{x1,x2},则有x0?

lnx0?

x1?

lnx2?

2m?

m,所以函数y?

x?

lnx在定义域内是无界的.又当0?

x1?

x2时,有x1?

x2?

0,lnx1?

lnx2?

0

故y1?

y2?

（x1?

lnx1）?

（x2?

lnx2）?

（x1?

x2）?

（lnx1?

lnx2）?

0.即当0?

x1?

x2时,恒有y1?

y2,所以函数y?

x?

lnx在（0,?

?

）内单调递增.10.判断下列函数的奇偶性:

（1）f（x）?

（2）y?

e

2x

?

e

?

2x

?

sinx.

解

:

（1）?

f（?

x）?

?

f（x）?

?

?

?

2x

?

f（x）

.

2x

（2）?

f（?

x）?

e

?

函数y?

e

?

e?

sin（?

x）?

e

?

2x

?

e

2x

?

sinx?

?

（e

2x

?

e

?

2x

?

sinx）?

?

f（x）

2x

?

e

?

2x

?

sinx是奇函数.

11.设f（x）定义在（-∞,+∞）上,证明:

（1）f（x）?

f（?

x）为偶函数;

（2）f（x）?

f（?

x）为奇函数.证:

（1）设f（x）?

f（x）?

f（?

x）,则?

x?

（?

?

?

?

）,有f（?

x）?

f（?

x）?

f（x）?

f（x）故f（x）?

f（?

x）为偶函数.

（2）设g（x）?

f（x）?

f（?

x）,则?

x?

（?

?

?

?

）,

有g（?

x）?

f（?

x）?

f（?

x）?

?

[f（x）?

f（?

x）]?

?

g（x）

故f（x）?

f（?

x）为奇函数.

12.某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数（销售均匀是指商品库存数为批量的一半）.解:

设年销售批数为x,则准备费为10x;

又每批有产品

10x

6

3

件,库存数为

10

6

2x

件,库存费为

10

6

2x

?

0.05元.

设总费用为,则y?

10x?

3

10?

0.05

2x

6

.

13.邮局规定国内的平信,每20g付邮资0.80元,不足20g按20g计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y与重量x的关系.解:

当x能被20整除,即[

x20]?

x20x20

时,邮资y?

x20

x20

?

0.80?

x25

;

当x不能被20整除时,即[]?

时,由题意知邮资y?

?

x?

?

0.80.?

1?

?

?

20?

?

x

?

25,?

综上所述有y?

?

?

?

x?

1?

?

0.80,?

?

?

?

?

?

20

0?

x?

2000且0?

x?

2000且

x?

x?

?

;?

?

20?

20?

x?

x?

?

.?

?

20?

?

20

其中

xx?

x?

?

x?

?

1的最大整数.,分别表示不超过,?

1?

?

?

?

2020?

20?

?

20?

.

图1-1

解:

s0?

12

h（ad?

bc）?

12

h（2hcot?

?

bc?

bc）?

h（bc?

hcot?

）

从而bc?

s0h

?

hcot?

.

l?

ab?

bc?

cd（ab?

cd）?

2

hsin?

?

?

bc?

2

hsin?

s0h

?

s0h

?

hcot?

?

?

s0h

2?

cos?

sin?

h?

?

2?

cos40sin40

?

h