二次函数抛物线与直线交点个数问题.docx

1、二次函数抛物线与直线交点个数问题二次函数之抛物线与直线交点个数21（2014?北京）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=2x +mx+n 经过点 A（0， 2），B（3，4） （1）求抛物线的表达式及对称轴；（ 2）设点 B 关于原点的对称点为 C，点 D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在 A ， B 之间的部分为图象 G（包含 A ， B 两点）若直线 CD 与图象 G 有公共点，结合函数图象，求点 D 纵坐标 t 的取值范围考点 ： 待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值 专题 ： 计算题分析：代入得：将 B 与 C 坐标代入得：解得：k= ， b=

2、0，直线BC 解析式为 y= x，当 x=1时， y= ，则 t 的范围为 4 t 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待 定系数法是解本题的关键2（2011?石景山区二模）已知：抛物线与 x 轴交于 A （ 2， 0）、 B（ 4，0），与 y 轴交于 C（0，4）（ 1）求抛物线顶点 D 的坐标；考点 ： 二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式 专题 ： 探究型分析：（ 2）设直线 CD 交 x 轴于点 E，过点 B 作 x 轴的垂线，交直线 CD 于点 F，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物 线与线段 EF

3、 总有公共点 试探究： 抛物线向上最多可以平移多少个单位长度， 向下最多可以平移多少个单位长度？1）先设出过 A（ 2，0）、B（4，0）两点的抛物线的解析式为 y=a（ x+2 ）（x 4），再根据抛物线与 y 轴的交点坐标即可求出 a 的值，进而得出此抛物线的解析式；（ 2）先用待定系数法求出直线 CD 解析式，再根据抛物线平移的法则得到（ 1）中抛物线向下平移 m 各单位所得抛物线的解析式，再将此解析式与直线 CD 的解析式联立，根据两函数图象有交点即可求出 m 的取 值范围，进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位；同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位菁优网E（ 8，0），F（4，

4、6），消去 y，得 = 2m0， 0 m ，向下最多可平移 个单位（ 5分）方法一：当 x=8 时， y=36+m，当 x=4 时， y=m ，要使抛物线与 EF有公共点，则 36+m0或 m6，0m36；（7 分）方法二：当平移后的抛物线过点 E（ 8，0）时，解得 m=36 ，当平移后的抛物线过点 F（ 4，6）时， m=6，由题意知：抛物线向上最多可以平移 36个单位长度， （7分）综上，要使抛物线与 EF 有公共点，向上最多可平移 36 个单位，向下最多可平移 个单位点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、二次函 数与一次函数的交点

5、问题，有一定的难度23（2013?丰台区一模）二次函数 y=x +bx+c 的图象如图所示，其顶点坐标为 M（1， 4） （1）求二次函数的解析式；（ 2）将二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合 新图象回答：当直线 y=x+n 与这个新图象有两个公共点时，求 n 的取值范围考点 ： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换菁优网 解之得： x1=1， x2=3， 故 A，B 两点的坐标分别为 A（ 1，0），B（3，0） 如图，当直线 y=x+n （ n 1）， 经过 A 点时，可得 n=1 ， 当直线 y=x+n 经过

6、 B 点时， 可得 n= 3， n 的取值范围为 3n ，由图可知，符合题意的 n 的取值范围为： n 或 3 n1点评： 本题考查了待定系数法求二次函数解析式的知识，难点在第二问，关键是求出边界点时 n 的值24（2009?北京）已知关于 x 的一元二次方程 2x +4x+k 1=0 有实数根， k 为正整数（1）求 k 的值；2（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于 x 的二次函数 y=2x 2+4x+k 1的图象向下平移 8 个单位，求平移后的图象的解析式；（ 3）在（ 2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象

7、请你结合这个新的图象回答：当直线 y= x+b（bk）与此图象有两个公共点时， b 的取值范围二次函数综合题综合题1）综合根的判别式及 k 的要求求出 k 的取值；2）对 k 的取值进行一一验证，求出符合要求的 k 值，再结合抛物线平移的规律写出其平移后的解析式；3）求出新抛物线与 x 轴的交点坐标，再分别求出直线 y= x+b 经过点 A 、 B 时的 b 的取值，进而求出其取值范围本题第二问是难点，主要是不会借助计算淘汰不合题意的 k 值解答：解：（ 1）由题意得， =16 8（ k1）0 k 3k 为正整数， k=1， 2，3；2（ 2）设方程 2x +4x+k 1=0 的两根为 x1，

8、 x2 ，则x1+x2=2，x1?x2= 1 2 1 2 当 k=1 时，方程 2x2+4x+k 1=0 有一个根为零；2当 k=2 时， x1?x2= ，方程 2x +4x+k 1=0 没有两个不同的非零整数根；2当 k=3 时，方程 2x2+4x+k 1=0 有两个相同的非零实数根 1 综上所述， k=1 和 k=2 不合题意，舍去， k=3 符合题意22当 k=3 时，二次函数为 y=2x 2+4x+2 ，把它的图象向下平移 8 个单位得到的图象的解析式为 y=2x 2+4x 6；2（ 3）设二次函数 y=2x +4x 6的图象与 x轴交于 A、B 两点，则 A（3，0），B（1，0）

9、依题意翻折后的图象如图所示当直线 y= x+b 经过 A 点时，可得 b= ；当直线 y= x+b 经过 B 点时，可得 b= 由图象可知，符合题意的 b（b 3）的取值范围为 b （ 3）依图象得，要图象 y= x+b（ b 小于 k）与二次函数图象有两个公共点时，显然有两段2而因式分解得 y=2x +4x6=2（x1）（x+3 ）， 第一段，当 y= x+b 过（ 1， 0）时，有一个交点，此时 b= 当 y= x+b 过（ 3， 0）时，有三个交点，此时 b= 而在此中间即为两个交点，此时 b 第二段，将平移后的二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折后，开口向下的部分的函数解析

10、式为 y=2（x 1）（x+3 ） 显然，当 y= x+b 与 y= 2（ x 1）（ x+3）（ 3 x 1）相切时， y= x+b 与这个二次函数图象有三个交点，若直 线再向上移，则只有两个交点因为 b0，所以方程有两根，那么肯定不将有直线与两截结合的二次函数图象相交只有两个公共点这种情况故舍去点评： 考查知识点：一元二次方程根的判别式、二次函数及函数图象的平移与翻折，最后还考到了与一次函数的 结合等问题不错的题目，难度不大，综合性强，考查面广，似乎是一个趋势或热点25（2012?东城区二模）已知关于 x 的方程（ 1m） x2+（ 4m）x+3=0 （1）若方程有两个不相等的实数根，求

11、m 的取值范围；2考点 ：二次函数综合题分析：（ 1）根据方程有两个不相等的实数根，由一元二次方程的定义和根的判别式可求 m 的取值范围；（ 2）先求出正整数 m 的值，从而确定二次函数的解析式，得到解析式与 x 轴交点的坐标，由图象可知符合 题意的直线 y=kx+3 经过点 A、 B从而求出 k 的值（2）若正整数 m满足 8 2m 2，设二次函数 y=（1m）x2+（4m）x+3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，将此图 象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象请你结合这个新的图象回答：当 直线 y=kx+3 与此图象恰好有三个公共点时，求出 k 的

12、值（只需要求出两个满足题意的 k 值即可）解答： 解：（1）=（4m）212（ 1m）=（m+2）2，2由题意得， （ m+2 ） 2 0且 1 m0 故符合题意的 m 的取值范围是 m2且 m1 的一切实数（ 2）正整数 m 满足 8 2m 2， m可取的值为 1和 22又二次函数 y=（1 m）x2+（ 4m）x+3，m=2（4 分）2二次函数为 y=x2+2x+3 A 点、B 点的坐标分别为（ 1，0）、（3，0） 依题意翻折后的图象如图所示由图象可知符合题意的直线 y=kx+3 经过点 A 、B 可求出此时 k 的值分别为 3 或 1 （7 分） 注：若学生利用直线与抛物线相切求出 k

13、=2 也是符合题意的答案点评： 本题考查了二次函数综合题 （1）考查了一元二次方程根的情况与判别式 的关系： 0? 方程有两个不相等的实数根 （ 2）得到符合题意的直线 y=kx+3 经过点 A 、B 是解题的关键6在平面直角坐标系中，抛物线 y= x2+ mx+m 2 3m+2与 x轴的交点分别为原点 O和点 A，点 B（4，n）在这条抛物线上（ 1）求 B 点的坐标；（ 2）将此抛物线的图象向上平移 个单位，求平移后的图象的解析式；（ 3）在（ 2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象请你结合这个新的图象回答：当直线

14、 y= x+b 与此图象有两个公共点时， b 的取值范围考点 ：二次函数综合题专题 ：压轴题分析：（ 1）把原点坐标代入抛物线，解关于 m 的一元二次方程得到 m 的值，再根据二次项系数不等于 0 确定出函数解析式，再把点 B 坐标代入函数解析式求出 n 的值，即可得解；（ 2）根据向上平移纵坐标加解答即可；（ 3）把直线解析式与抛物线解析式联立， 消掉 y 得到关于 x 的一元二次方程，根据 =0 求出 b 的值， 然后 令 y=0 求出抛物线与 x 轴的交点坐标， 再求出直线经过抛物线与 x 轴左边交点的 b 值，然后根据图形写出 b 的取值范围即可解答： 解：（ 1）抛物线经过原点 O，

15、2 m 3m+2=0 ，解得 m1=1 ， m2=2，当 m=1 时， = =0， m=2 ，抛物线的解析式为 y= x2+3x，点 B（4， n）在这条抛物线上，2 n= 4 +34= 8+12=4 ， 点 B（4， 4）；2）抛物线的图象向上平移 个单位，平移后的图象的解析式 y= x+3x+ ；3）联立消掉 y 得， x 2+3x+ = x+b，2 整理得， x2 5x+2b 7=0，2=（ 5）241（2b 7）=0，解得 b= ， 令 y=0 ，则 x2+3x+ =0 ，2 整理得， x26x 7=0， 解得 x1= 1， x2=7， 抛物线与 x 轴左边的交点为（ 1， 0），当直

16、线 y= x+b 经过点（ 1， 0）时， （ 1）+b=0，解得 b= ，本题是二次函数综合题，主要利用了解一元二次方程，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几 何变换，难点在于（ 3）求出直线与抛物线有三个交点时的 b 值，作出图形更形象直观考点：分析：解答：二次函数综合题菁优网 点评： 此题主要考查了一元二次方程根的判别式、二次函数及函数图象的平移与翻折，最后还考到了与一次函数的结合等问题不错的题目，难度不大，综合性强28（2014?东城区一模）已知：关于 x 的一元二次方程 mx （ 4m+1）x+3m+3=0 （m1） （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（ 2）设方程的两个

17、实数根分别为 x1，x2（其中 x1x2），若 y 是关于 m 的函数，且 y=x 13x2，求这个函数的解析 式；（ 3）将（ 2）中所得的函数的图象在直线 m=2 的左侧部分沿直线 m=2 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个 新的图象 请你结合这个新的图象回答： 当关于 m 的函数 y=2m+b 的图象与此图象有两个公共点时， b 的取值范围考点 ： 一次函数综合题专题 ： 压轴题=33（ 1+ ），= ，（ 3）解：作出函数 y= （m1）的图象，并将图象在直线 m=2 左侧部分沿此直线翻折，所得新图形如 图所示，m=2 时， y= ，m=1 时， y= =3，函数图象直线 m=2

18、左侧部分翻折后的两端点坐标为（ 3， 3），（2， ）， 当 m=3 时， 23+b= 3，解得 b= 9，当 m=2 时， 22+b= ， 解得 b= 所以，此图象有两个公共点时， b 的取值范围 9 b本题是一次函数综合题型，主要利用了根的判别式，求根公式法解一元二次方程，一次函数与反比例函数交点问题，难点在于（ 3）确定出翻折部分的两个端点的坐标以及有两个交点时的 b 的取值范围，作出图形 更形象直观9（ 2013?门头沟区一模）已知关于 x 的一元二次方程 （1）求证：无论 m 取任何实数，方程都有两个实数根；（ 2）当 m 3 时，关于 x 的二次函数 的图象与 x 轴交于 A、B

19、两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，且 2AB=3OC ，求 m 的值；（ 3）在（ 2）的条件下，过点 C作直线 l x轴，将二次函数图象在 y 轴左侧的部分沿直线 l翻折，二次函数图象的 其余部分保持不变， 得到一个新的图象， 记为 G请你结合图象回答： 当直线 与图象 G 只有一个公共点时，b 的取值范围考点 ： 二次函数综合题分析： （ 1）运用根的判别式就可以求出 的值就可以得出结论；（2）先当 x=0或y=0是分别表示出抛物线与 x轴和 y轴的交点坐标，表示出 AB 、OC的值，由 2AB=3OC 建立方程即可求出 m 的值；（3）把（ 2）m的值代入抛物线的解

20、析式就可以求出抛物线的解析式和 C 点的坐标，当直线经过点 C时就可以求出 b的值，由直线与抛物线只有一个公共点建立方程，根据 =0 就可以求出 b的值，再根据图象就可以得出结论解答： 解：（ 1）根据题意，得 =（ m 2）24 （ 2m6）=（m4）2，无论 m 为任何数时，都有（ m 4）20，即 0无论 m 取任何实数，方程都有两个实数根；（ 2）由题意，得当 y=0 时，则 ，解得： x1=62m， x2= 2， m 3，点 A 在点 B 的左侧，A（ 2，0），B（ 2m+6， 0）， OA=2 ， OB= 2m+6 当 x=0 时， y=2m 6 ， C（0，2m 6）， OC=

21、（ 2m 6） = 2m+6 2AB=3OC ，2（22m+6）=3（ 2m+6），解得： m=1 ；（ 3）如图，当 m=1 时，抛物线的解析式为 y= x2 x4，点 C 的坐标为（ 0， 4）当直线 y= x+b 经过点 C 时，可得 b=4，当直线 y= x+b （ b 0）的图象只有一个公共点时，得2x+b x x 42整理得： 3x28x6b24=0 ， =（ 8） 2 43（ 6b 24） =0，解得： b= 结合图象可知，符合题意的 b的取值范围为 b4或 b 点评： 本题是一道一次函数与二次函数的综合试题，考查了一元二次方程根的判别式的运用，二次函数与坐标轴 的交点坐标的运用

22、，轴对称的性质的运用，解答时根据函数之间的关系建立方程灵活运用根的判别式是解 答本题的关键1）将 A 与 B 坐标代入抛物线解析式求出 m 与 n 的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可；2）由题意确定出 C 坐标，以及二次函数的最小值，确定出 D 纵坐标的最小值，求出直线 BC 解析式，令x=1 求出 y 的值，即可确定出 t 的范围2解答： 解：（1）抛物线 y=2x* 2+mx+n 经过点 A（0， 2），B（3，4），解得： 抛物线解析式为 y=2x24x2，对称轴为直线 x=1 ； （ 2）由题意得： C（3，4），二次函数 y=2x24x2 的最小值为 4， 由函数图象得出 D

23、纵坐标最小值为 4，设直线 BC 解析式为 y=kx+b ，解答： 解：（1）设抛物线解析式为 y=a（x+2）（x 4），C 点坐标为（ 0，4）， a= ，（ 1 分）2解析式为 y= x* 2+x+4，顶点 D 坐标为（ 1， ）；（ 2分）2）直线 CD 解析式为 y=kx+b 则，直线 CD 解析式为 y= x+4 ，（ 3 分）分析： （ 1）确定二次函数的顶点式，即可得出二次函数的解析式（ 2）求出两个边界点，继而可得出 n 的取值范围解答： 解：（ 1）因为 M（1， 4）是二次函数 y=（x+m）2+k 的顶点坐标， 22所以 y=（x 1）24=x22x3，2（ 2）令 x

24、22x 3=0，（ 1）综合根的判别式及 k 的要求，求出 k 的取值；（2）对 k的取值进行一一验证，求出符合要求的 k 值，再结合抛物线平移的规律写出其平移后的解析式；（ 3）求出新抛物线与 x 轴的交点坐标，再分别求出直线 y= x+b 经过点 A 、 B 时的 b 的取值，进而求出其 取值范围解：（1）由题意得， =44（ k1）0 k 2k 为正整数， k=1， 2；2（ 2）设方程 x* 2+2x+k 1=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=2，x1?x2=k 12 当 k=1 时，图象 y=x 2+2x+k 1与 x轴有一个交点为（ 0，0），不合题意；2当 k=2 时，图象 y=x 2+2x+k 1与 x轴有一个交点为（ 1，0），符合题意； 综上所述， k=2 符合题意22当 k=2 时，二次函数为 y=x 2+2x+1 ，把它的图象向下平移 4 个单位得到的图象的解析式为： y=x 2+2x 3；2（ 3）设二次函数 y=x 2+2x 3的图象与 x轴交于 A、B 两点，则 A（3，0），B（1，0） 依题意翻折后的图象如图所示当直线 y= x+b 经过 A 点时，可得 b= ；当直线 y= x+b 经过 B 点时，可得 b=