因为b<3，而y=x+b（b小于k，k=3），所以当b=3时，将y=x+3代入二次函数y=﹣2（x﹣1）（x+3）整理得，
24x2+9x﹣6=0，△>0，所以方程有两根，那么肯定不将有直线与两截结合的二次函数图象相交只有两个公
共点．这种情况故舍去．
点评：
考查知识点：
一元二次方程根的判别式、二次函数及函数图象的平移与翻折，最后还考到了与一次函数的结合等问题．不错的题目，难度不大，综合性强，考查面广，似乎是一个趋势或热点．
2
5．（2012?
东城区二模）已知关于x的方程（1﹣m）x2+（4﹣m）x+3=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
2
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）根据方程有两个不相等的实数根，由一元二次方程的定义和根的判别式可求m的取值范围；
（2）先求出正整数m的值，从而确定二次函数的解析式，得到解析式与x轴交点的坐标，由图象可知符合题意的直线y=kx+3经过点A、B．从而求出k的值．
（2）若正整数m满足8﹣2m>2，设二次函数y=（1﹣m）x2+（4﹣m）x+3的图象与x轴交于A、B两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：
当直线y=kx+3与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）．
解答：
解：
（1）△=（4﹣m）2﹣12（1﹣m）=（m+2）2，
2
由题意得，（m+2）2>0且1﹣m≠0．故符合题意的m的取值范围是m≠﹣2且m≠1的一切实数．
（2）∵正整数m满足8﹣2m>2，
∴m可取的值为1和2．
2
又∵二次函数y=（1﹣m）x2+（4﹣m）x+3，
∴m=2．⋯（4分）
2
∴二次函数为y=﹣x2+2x+3．
∴A点、B点的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）．依题意翻折后的图象如图所示．
由图象可知符合题意的直线y=kx+3经过点A、B．可求出此时k的值分别为3或﹣1．⋯（7分）注：
若学生利用直线与抛物线相切求出k=2也是符合题意的答案．
点评：
本题考查了二次函数综合题．
（1）考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
△>0?
方程有两个不
相等的实数根．
（2）得到符合题意的直线y=kx+3经过点A、B是解题的关键．
6．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+mx+m2﹣3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（4，n）
在这条抛物线上．
（1）求B点的坐标；
（2）将此抛物线的图象向上平移个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在
（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得
到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：
当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围．
考点：
二次函数综合题．
专题：
压轴题．
分析：
（1）把原点坐标代入抛物线，解关于m的一元二次方程得到m的值，再根据二次项系数不等于0确定出
函数解析式，再把点B坐标代入函数解析式求出n的值，即可得解；
（2）根据向上平移纵坐标加解答即可；
（3）把直线解析式与抛物线解析式联立，消掉y得到关于x的一元二次方程，根据△=0求出b的值，然后令y=0求出抛物线与x轴的交点坐标，再求出直线经过抛物线与x轴左边交点的b值，然后根据图形写出b的取值范围即可．
解答：
解：
（1）∵抛物线经过原点O，
2
∴m﹣3m+2=0，
解得m1=1，m2=2，
当m=1时，﹣=﹣=0，
∴m=2，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x，
∵点B（4，n）在这条抛物线上，
2
∴n=﹣×4+3×4=﹣8+12=4，∴点B（4，4）；
2）∵抛物线的图象向上平移个单位，
∴平移后的图象的解析式y=﹣x+3x+；
3）联立
消掉y得，﹣x2+3x+=x+b，
2整理得，x2﹣5x+2b﹣7=0，
2
△=（﹣5）2﹣4×1×（2b﹣7）=0，
解得b=，令y=0，则﹣x2+3x+=0，
2整理得，x2﹣6x﹣7=0，解得x1=﹣1，x2=7，∴抛物线与x轴左边的交点为（﹣1，0），
当直线y=x+b经过点（﹣1，0）时，×（﹣1）+b=0，
解得b=，
本题是二次函数综合题，主要利用了解一元二次方程，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，难点在于（3）求出直线与抛物线有三个交点时的b值，作出图形更形象直观．
考点：
分析：
解答：
二次函数综合题．
菁优网点评：
此题主要考查了一元二次方程根的判别式、二次函数及函数图象的平移与翻折，最后还考到了与一次函数
的结合等问题．不错的题目，难度不大，综合性强．
2
8．（2014?
东城区一模）已知：
关于x的一元二次方程mx﹣（4m+1）x+3m+3=0（m>1）．
（1）求证：
方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1>x2），若y是关于m的函数，且y=x1﹣3x2，求这个函数的解析式；
（3）将
（2）中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：
当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围．
考点：
一次函数综合题．
专题：
压轴题．
=3﹣3（1+），
=﹣，
（3）解：
作出函数y=﹣（m>1）的图象，并将图象在直线m=2左侧部分沿此直线翻折，所得新图形如图所示，
m=2时，y=﹣，
m=1时，y=﹣=﹣3，
∴函数图象直线m=2左侧部分翻折后的两端点坐标为（3，﹣3），（2，﹣），当m=3时，2×3+b=﹣3，
解得b=﹣9，
当m=2时，2×2+b=﹣，解得b=﹣
所以，此图象有两个公共点时，b的取值范围﹣9本题是一次函数综合题型，主要利用了根的判别式，求根公式法解一元二次方程，一次函数与反比例函数
交点问题，难点在于（3）确定出翻折部分的两个端点的坐标以及有两个交点时的b的取值范围，作出图形更形象直观．
9．（2013?
门头沟区一模）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：
无论m取任何实数，方程都有两个实数根；
（2）当m<3时，关于x的二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的
左侧），与y轴交于点C，且2AB=3OC，求m的值；
（3）在
（2）的条件下，过点C作直线l∥x轴，将二次函数图象在y轴左侧的部分沿直线l翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G．请你结合图象回答：
当直线与图象G只有一个公共点时，
b的取值范围．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）运用根的判别式就可以求出△的值就可以得出结论；
（2）先当x=0或y=0是分别表示出抛物线与x轴和y轴的交点坐标，表示出AB、OC的值，由2AB=3OC建立方程即可求出m的值；
（3）把
（2）m的值代入抛物线的解析式就可以求出抛物线的解析式和C点的坐标，当直线经过点C时就
可以求出b的值，由直线与抛物线只有一个公共点建立方程，根据△=0就可以求出b的值，再根据图象就
可以得出结论．
解答：
解：
（1）根据题意，得
△=（m﹣2）2﹣4××（2m﹣6）
=（m﹣4）2，
∵无论m为任何数时，都有（m﹣4）2≥0，即△≥0．
∴无论m取任何实数，方程都有两个实数根；
（2）由题意，得
当y=0时，则，
解得：
x1=6﹣2m，x2=﹣2，
∵m<3，点A在点B的左侧，
∴A（﹣2，0），B（﹣2m+6，0），
∴OA=2，OB=﹣2m+6．
当x=0时，y=2m﹣6，
∴C（0，2m﹣6），
∴OC=﹣（2m﹣6）=﹣2m+6．
∵2AB=3OC，
∴2（2﹣2m+6）=3（﹣2m+6），
解得：
m=1；
（3）如图，当m=1时，抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣4，
点C的坐标为（0，﹣4）．
当直线y=x+b经过点C时，可得b=﹣4，
当直线y=x+b（b<﹣4）与函数y=x2﹣x﹣4（x>0）的图象只有一个公共点时，得
2
x+b═x﹣x﹣4．
2
整理得：
3x2﹣8x﹣6b﹣24=0，
∴△=（﹣8）2﹣4×3×（﹣6b﹣24）=0，
解得：
b=﹣．
结合图象可知，符合题意的b的取值范围为b>﹣4或b<﹣．
点评：
本题是一道一次函数与二次函数的综合试题，考查了一元二次方程根的判别式的运用，二次函数与坐标轴的交点坐标的运用，轴对称的性质的运用，解答时根据函数之间的关系建立方程灵活运用根的判别式是解答本题的关键．
1）将A与B坐标代入抛物线解析式求出m与n的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可；
2）由题意确定出C坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC解析式，令
x=1求出y的值，即可确定出t的范围．
2
解答：
解：
（1）∵抛物线y=2x*2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4），
，
解得：
∴抛物线解析式为y=2x2﹣4x﹣2，对称轴为直线x=1；
（2）由题意得：
C（﹣3，﹣4），二次函数y=2x2﹣4x﹣2的最小值为﹣4，由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4，
设直线BC解析式为y=kx+b，
，
解答：
解：
（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
∵C点坐标为（0，4），
∴a=﹣，（1分）
2
∴解析式为y=﹣x*2+x+4，
顶点D坐标为（1，）；（2分）
2）直线CD解析式为y=kx+b．
则，
∴直线CD解析式为y=x+4，（3分）
分析：
（1）确定二次函数的顶点式，即可得出二次函数的解析式．
（2）求出两个边界点，继而可得出n的取值范围．
解答：
解：
（1）因为M（1，﹣4）是二次函数y=（x+m）2+k的顶点坐标，22
所以y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3，
2
（2）令x2﹣2x﹣3=0，
（1）综合根的判别式及k的要求，求出k的取值；
（2）对k的取值进行一一验证，求出符合要求的k值，再结合抛物线平移的规律写出其平移后的解析式；
（3）求出新抛物线与x轴的交点坐标，再分别求出直线y=x+b经过点A、B时的b的取值，进而求出其取值范围．
解：
（1）由题意得，△=4﹣4（k﹣1）≥0．∴k≤2．
∵k为正整数，
∴k=1，2；
2
（2）设方程x*2+2x+k﹣1=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣2，x1?
x2=k﹣1．
2当k=1时，图象y=x2+2x+k﹣1与x轴有一个交点为（0，0），不合题意；
2
当k=2时，图象y=x2+2x+k﹣1与x轴有一个交点为（﹣1，0），符合题意；综上所述，k=2符合题意．
22
当k=2时，二次函数为y=x2+2x+1，把它的图象向下平移4个单位得到的图象的解析式为：
y=x2+2x﹣3；
2
（3）设二次函数y=x2+2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，则A（﹣3，0），B（1，0）．依题意翻折后的图象如图所示．
当直线y=x+b经过A点时，可得b=；
当直线y=x+b经过B点时，可得b=﹣．
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