第四讲数列与探索性新题型的解题技巧doc.docx

1、第四讲 数列与探索性新题型的解题技巧doc第四讲 数列与探索性新题型的解题技巧【命题趋向】从高考题可见数列题命题有如下趋势：1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点.3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.因此复习中应注意：1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.2.运用方程的思想解等差（比）数列，是

2、常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过设而不求，整体代入来简化运算.3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q1两种情况等等.4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.7数列

3、应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.【考点透视】1理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.2理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.3理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.4数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区

4、分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.【例题解析】考点1 正确理解和运用数列的概念与通项公式理解数列的概念,正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.典型例题例1（2006年广东卷）在德国不来

5、梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆正三棱锥形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f (n)表示第n堆的乒乓球总数，则 ； （答案用n表示）. 思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是12,3,4, 推测出第n层的球数。解答过程：显然 .第n堆最低层（第一层）的乒乓球数， ，第n堆的乒乓球数总数相当于n堆乒乓球的低层数之和，即 所以： 例2（2007年湖南卷理）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数

6、表从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1第4行 1 0 0 0 1第5行 1 1 0 0 1 1 思路启迪：计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。解：第1次全行的数都为1的是第 =1行，第2次全行的数都为1的是第 =3行，第3次全行的数都为1的是第 =7行，第 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 =32应填 ，32考点2 数列的递推关系式的理解与应用 在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化

7、为常见的类型进行解题。如逐差法若 且 ；我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列 的通项. 再看逐商法即 且 ，可把各个商列出来求积。 另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。例3（2007年北京卷理）数列 中， ， （ 是常数， ），且 成公比不为 的等比数列（I）求 的值；（II）求 的通项公式思路启迪：（1）由 成公比不为 的等比数列列方程求 ；（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.解：（I） ， ， ，因为 成等比数列，所以 ，

8、解得 或 当 时， ，不符合题意舍去，故 （II）当 时，由于 ， ， ， ，所以 又 ， ，故 当 时，上式也成立，所以 小结：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.例4（2006年广东卷）已知数列 满足 ， ， 若 ， 则 ( B )（） （） （） （） 思路启迪：对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用.解答过程： ， . 相叠加 . ， . ， ， ， .解答过程2：由 得： ， ，因为 .所以： .解答过程3：由 得： ，从而 ； ； .叠加得

9、： . ， . ， 从而 .小结：数列递推关系是近几年高高数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。对连续两项递推 ，可转化为 ；对连续三项递推的关系 如果方程 有两个根 ，则上递推关系式可化为 或 .考点3 数列的通项 与前n项和 之间的关系与应用 与 的关系： ，数列前n项和 和通项 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式 时，一定要注意条件 ，求通项时一定要验证 是否适合。解决含 与 的式子问题时，通常转化为只含 或者转化为只 的式子.例5（2006年辽宁卷） 在等比数列 中, ,前 项和为 ,若数列 也是等比数列,则 等于（ ）(A) (B) (C) (D) 命题目的：

10、本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。过程指引因数列 为等比，则 ，因数列 也是等比数列，则 即 ，所以 ，故选择答案C.例6.已知在正项数列a n中，S n表示前n项和且 ，求a n.思路启迪：转化为只含 或者只含 的递推关系式.解答过程1：由已知 ，得当n=1时，a1=1；当n2时，a n= S nS n1，代入已知有 ， . ，又 ，故 . ， 是以1为首项，1为公差的等差数列， 故 .解答过程2：由已知 ，得当n=1时，a1=1；当n2时因为 ，所以 . ， ，因为 ，所以 ，所以 .考点4. 数列中与n有关的等式的理解与应用对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n

11、换为 得到另外的式子。也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3等，得到一些等式归纳证明.例7（2006年福建卷）已知数列 满足 (nN )（）求数列 的通项公式；（）若数列 满足 (nN*),证明: 是等差数列;思路启迪：本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。把递推关系式变形转化解答过程： （I）解： 是以 为首项，2为公比的等比数列。 即 （II）证法一： ， ，得 即 ，得 即 故 是等差数列.考点5 等差、等比数列的概念与性质的理解与应用在等差、等比数列中，已知五个元素 或 ， 中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即知三求二。本着化多为少的原则

12、，解题时需抓住首项 和公差（或公比 ）。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如（1）等差数列 中，若 ，则 ；等比数列 中，若 ，则 . （2）等差数列 中， 成等差数列。其中 是等差数列的前n项和；等比数列 中（ ）， 成等比数列。其中 是等比数列的前n项和；（3）在等差数列 中，项数n成等差的项 也称等差数列. （4）在等差数列 中， ； .在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.典型例题例8（2006年江西卷）已知等差数列 的前n项和为Sn，若 ，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200（ ）A

13、100 B. 101 C.200 D.201命题目的：考查向量性质、等差数列的性质与前n项和。过程指引：依题意，a1a2001，故选A例9（2007年安徽卷文、理）某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d（d0）, 因此，历年所交纳的储备金数目a1, a2, 是一个公差为 d 的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为r（r0）,那么, 在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为 a1（1+r）n1，第二年所交纳的储备金就变成 a2（1+r）n2，. 以Tn表示到第

14、n年末所累计的储备金总额.（）写出Tn与Tn1（n2）的递推关系式；（）求证Tn=An+ Bn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列.命题目的：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力. 解：（I）我们有 （II） 反复使用上述关系式，得 在式两端同乘1+r，得 ，得 2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用考点6 等差、等比数列前n项和的理解与应用等差、等比数列的前n项和公式要深刻理解，等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数.等

15、比数列的前n项和公式 （ ），因此可以改写为 是关于n的指数函数，当 时， .例10（2007年广东卷理）已知数列 的前n项和Sn=n29n,第k项满足5ak8,则k=A9 B8 C7 D6思路启迪：本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力解：此数列为等差数列， ，由52k-10a；（3）记 （n=1,2,），求数列bn的前n项和Sn思路启迪：（1）注意应用根与系数关系求 的值；（2）注意先求 ；（3）注意利用 的关系解：（1） ， 是方程f(x)=0的两个根 ， （2） ， = ， ，由基本不等式可知 （当且仅当 时取等号）， 同，样 ， （n=

16、1,2,） （3） ，而 ，即 ， ，同理 ， ，又 【专题训练与高考预测】一.选择题1.已知a 是等比数列，且a 0，a a +2 a a +a a =25，那么a + a 的值等于（ ）A.5 B.10 C.15. D.202.在等差数列a 中，已知a +a +a +a +a = 20，那么a 等于（ ） A.4 B.5 C.6 D7. 3.等比数列an的首项a1=1,前n项和为Sn,若 ，则 Sn等于( ) C.2 D.24.已知二次函数y=a(a+1)x2(2a+1)x+1，当a=1，2，n，时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2，,dn,则 (d1+d2+dn)的值是( )

17、A.1 B.2 C.3 D.4二.填空题5.已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0logm(ab)0,S130知q0，因a a +2 a a + a a =25，所以，a q a q +2a q a q +a q a q =25，即a q （1+ q ） =25， a q （1+ q ）=5，得a + a = a q +a q = a q （1+ q ）=5 . 故选择答案A .解法二：因a 是等比数列， a a = a ，a a = a ， 原式可化为 a +2 a a + a =25, 即（a + a ） =25.因 a 0 , a + a = 5 , 故选择答案A2.

18、 解法一：因为a 是等差数列，设其首项为a ，公差为d， 由已知 a + a +a +a +a = 20 有 5 a +10d = 20， a +2d = 4, 即 a = 4.故选择答案A. 解法二：因a 是等差数列，所以 a + a = a + a =2 a ， 由已知 a +a +a +a +a = 20 得5 a = 20， a = 4. 故选择答案A3.解析：利用等比数列和的性质.依题意， ，而a1=1,故q1, ,根据等比数列性质知S5，S10S5，S15S10,也成等比数列，且它的公比为q5,q5= ,即q= . 故选择答案B.4.解析：当a=n时y=n(n+1)x2(2n+1)

19、x+1由x1x2= ，得dn= ，d1+d2+dn 故选择答案A.二、5.解析：解出a、b,解对数不等式即可.故填答案:(,8)6.解析：利用S奇/S偶= 得解.故填答案:第11项a11=29. 故填答案:1+ .8.解析：由题意所有正三角形的边长构成等比数列an，可得an= ，正三角形的内切圆构成等比数列rn，可得rn= a, 这些圆的周长之和c= 2(r1+r2+rn)= a2，面积之和S= (n2+r22+rn2)= a2故填答案:周长之和 a，面积之和 a29.解析：第一次容器中有纯酒精ab即a(1 )升，第二次有纯酒精a(1 ) ，即a(1 )2升，故第n次有纯酒精a(1 )n升.故填答案:a(1 )n10.解析：从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，a5=95933(1+7.3%)4120000(亿元).故填答案:120000.三、11. 解：因为 a 为等比数列， 所以 S ，S S ，S S 是等比数列.即 5，155，S