第四讲数列与探索性新题型的解题技巧doc.docx

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第四讲数列与探索性新题型的解题技巧

【命题趋向】

从高考题可见数列题命题有如下趋势：

1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.

2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点.

3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.

4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.

因此复习中应注意：

1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.

2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过"设而不求，整体代入"来简化运算.

3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等.

4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.

5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.

6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.

7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.

【考点透视】

1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.

2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.

3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.

4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。

探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。

本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.

【例题解析】

考点1正确理解和运用数列的概念与通项公式

理解数列的概念,正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.

典型例题

例1．（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆"正三棱锥"形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f（n）表示第n堆的乒乓球总数，则；（答案用n表示）.

思路启迪：

从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是12,3,4,…推测出第n层的球数。

解答过程：

显然.

第n堆最低层（第一层）的乒乓球数，，第n堆的乒乓球数总数相当于n堆乒乓球的低层数之和，即

所以：

例2．（2007年湖南卷理）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是．

第1行　　　　　11

第2行101

第3行1111

第4行10001

第5行110011

……………………………………………

思路启迪：

计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。

解：

第1次全行的数都为1的是第=1行，第2次全行的数都为1的是第=3行，第3次全行的数都为1的是第=7行，······，第次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是

=32．

应填，32

考点2数列的递推关系式的理解与应用

在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形，转化为常见的类型进行解题。

如"逐差法"若且；我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列的通项.

再看"逐商法"即且，可把各个商列出来求积。

另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。

例3．（2007年北京卷理）

数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．

（I）求的值；（II）求的通项公式．

思路启迪：

（1）由成公比不为的等比数列列方程求；

（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.

解：

（I），，，

因为成等比数列，所以，解得或．

当时，，不符合题意舍去，故．

（II）当时，由于

，，，，

所以．

又，，故．

当时，上式也成立，

所以．

小结：

从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.

例4．（2006年广东卷）已知数列满足，，…．若，则（B）

（Ａ）（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５

思路启迪：

对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用.

解答过程：

，.

相叠加.

，.

，，，.

解答过程2：

由得：

，

，因为.

所以：

.

解答过程3：

由得：

…………，

从而；；……；.

叠加得：

.

，.

，从而.

小结：

数列递推关系是近几年高高数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。

对连续两项递推，可转化为

；对连续三项递推的关系

如果方程有两个根，则上递推关系式可化为

或.

考点3数列的通项与前n项和之间的关系与应用

与的关系：

，数列前n项和和通项是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式时，一定要注意条件，求通项时一定要验证是否适合。

解决含与的式子问题时，通常转化为只含或者转化为只的式子.

例5．（2006年辽宁卷）在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（）

（A）（B）（C）（D）

命题目的：

本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。

过程指引因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则

即，所以，故选择答案C.

例6.已知在正项数列{an}中，Sn表示前n项和且，求an.

思路启迪：

转化为只含或者只含的递推关系式.

解答过程1：

由已知，得当n=1时，a1=1；当n≥2时，

an=Sn－Sn－1，代入已知有，.

，又，故.

，是以1为首项，1为公差的等差数列，

故.

解答过程2：

由已知，得当n=1时，a1=1；当n≥2时

因为，所以.

，

，因为，

所以，所以.

考点4.数列中与n有关的等式的理解与应用

对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为得到另外的式子。

也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明.

例7．（2006年福建卷）已知数列满足（n∈N）

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足（n∈N*）,证明:

是等差数列;

思路启迪：

本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。

把递推关系式变形转化

解答过程：

（I）解：

是以为首项，2为公比的等比数列。

即　

（II）证法一：

，

　　　　　　　　　　　　　①

　　　　　　②

②－①，得

即　③

　④

　③－④，得　

即　

故是等差数列.

考点5等差、等比数列的概念与性质的理解与应用

在等差、等比数列中，已知五个元素或，中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即"知三求二"。

本着化多为少的原则，解题时需抓住首项和公差（或公比）。

另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如

（1）等差数列中，若，则；等比数列中，若，则.

（2）等差数列中，成等差数列。

其中是等差数列的前n项和；等比数列中（），成等比数列。

其中是等比数列的前n项和；

（3）在等差数列中，项数n成等差的项也称等差数列.

（4）在等差数列中，；.

在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.

典型例题

例8．（2006年江西卷）已知等差数列的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（）

A．100B.101C.200D.201

命题目的：

考查向量性质、等差数列的性质与前n项和。

过程指引：

依题意，a1＋a200＝1，故选A

例9．（2007年安徽卷文、理）

某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0）,因此，历年所交纳的储备金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0）,那么,在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1+r）n－1，第二年所交纳的储备金就变成a2（1+r）n－2，…….以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.

（Ⅰ）写出Tn与Tn－1（n≥2）的递推关系式；

（Ⅱ）求证Tn=An+Bn，其中{An}是一个等比数列，{Bn}是一个等差数列.

命题目的：

本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.

解：

（I）我们有

（II）反复使用上述关系式，得

①

在①式两端同乘1+r，得

②

②－①，得

2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．

考点6等差、等比数列前n项和的理解与应用

等差、等比数列的前n项和公式要深刻理解，等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数.等比数列的前n项和公式（），因此可以改写为是关于n的指数函数，当时，.

例10．（2007年广东卷理）已知数列的前n项和Sn=n2－9n,第k项满足5

A．9B．8C．7D．6

思路启迪：

本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．

解：

此数列为等差数列，，由5<2k-10<8得到k=8．

例11．（2007年湖北卷文）（本小题满分13分）

已知数列{an}和{bn}满足:

且{bn}是以q为公比的等比数列.

（Ⅰ）证明：

；

（Ⅱ）若证明数列是等比数列；

（Ⅲ）求和：

.

命题目的：

本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．

解法1：

（I）证：

由，有，．

（II）证：

，

，，

．

是首项为5，以为公比的等比数列．

（III）由（II）得，，于是

．

当时，．

当时，．

故

解法2：

（I）同解法1（I）．

（II）证：

，又，

是首项为5，以为公比的等比数列．

（III）由（II）的类似方法得，

，

，．

．下同解法1．

考点7数列与函数的迭代问题

由函数迭代的数列问题是进几年高考综合解答题的热点题目，此类问题将函数与数列知识综合起来，考察函数的性质以及函数问题的研究方法在数列中的应用，涉及的知识点由函数性质、不等式、数列、导数、解析几何的曲线等，另外函数迭代又有极为深刻的理论背景和实际背景，它与当前国际数学主流之一的动力系统（拓扑动力系统、微分动力系统）密切相关，数学家们极为推崇，函数迭代一直出现在各类是数学竞赛试题中，近几年又频频出现在高考数学试题中.

例12．（2006年山东卷）已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….

（Ⅰ）令

（Ⅱ）求数列

（Ⅲ）设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？

若存在，试求出.若不存在,则说明理由.

思路启迪：

利用等比的定义证明是等比数列；对可由已知用叠加法求出求。

求出

与便可顺利求出第三问.

解答过程：

（I）由已知得

又

是以为首项，以为公比的等比数列.

（II）由（I）知，

将以上各式相加得：

（III）解法一：

存在，使数列是等差数列.

数列是等差数列的充要条件是、是常数

即

又.

当且仅当，即时，数列为等差数列.

解法二：

存在，使数列是等差数列.

由（I）、（II）知，，.

.

又.

.

当且仅当时，数列是等差数列.

（5）

例13（2007年陕西卷理）

已知各项全不为零的数列的前k项和为Sk，且N*），其中

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（II）对任意给定的正整数，数列满足

.

思路启迪：

注意利用解决问题．

解：

（Ⅰ）当，由及，得．

当时，由，得．

因为，所以．从而

，．故．

（Ⅱ）因为，所以．

所以

故

考点8数列综合应用与创新问题

数列与其它数学知识的综合性问题是高考的热点，全面考察数学知识的掌握和运用的情况，以及分析问题解决问题的能力和思维的灵活性、深刻性、技巧性等，涉及的数学思想方法又从一般到特殊和从特殊到一般的思想、函数与方程的思想、探索性思想等。

例14．（2006年湖南卷）在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数.求a4、a5，并写出an的表达式；

命题目的：

考查排列、数列知识.

过程导引：

由已知得，.

例15．设是定义在上的单调可导函数.已知对于任意正数，都有，且.

（Ⅰ）求，并求的值；

（Ⅱ）令，证明数列是等差数列；

（Ⅲ）设是曲线在点处的切线的斜率（），数列的前项和为，求证：

.

思路启迪：

根据已知条件求出函数的关系式，求出的递推关系式然后可求解题中要求．

解答过程：

（Ⅰ）取；

再取，

则，或－1（舍去）.

（Ⅱ）设，则，再令

，

即或，又，

则，

由，所以是等差数列.

（3）由

（2）得则

所以；

又当时，，

则，

故.

例16．（2007年广东卷理）

已知函数，是方程f（x）=0的两个根，是f（x）的导数；设，（n=1,2,……）

（1）求的值；

（2）证明：

对任意的正整数n，都有>a；

（3）记（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn．

思路启迪：

（1）注意应用根与系数关系求的值；

（2）注意先求；（3）注意利用的关系．

解：

（1）∵，是方程f（x）=0的两个根，

∴．

（2），

=，∵，∴由基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……，（n=1,2,……）．

（3），而，即，

，同理，，又

．

【专题训练与高考预测】

一.选择题

1.已知{a}是等比数列，且a>0，aa+2aa+aa=25，那么a+a的值等于（）

A.5B.10C.15.D.20

2.在等差数列{a}中，已知a+a+a+a+a=20，那么a等于（）

A.4B.5C.6D7.

3.等比数列{an}的首项a1=－1,前n项和为Sn,若，则Sn等于（）

C.2D.－2

4.已知二次函数y=a（a+1）x2－（2a+1）x+1，当a=1，2，…，n，…时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2，…,dn,…,则（d1+d2+…+dn）的值是（）

A.1B.2C.3D.4

二.填空题

5.已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0

6.等差数列{an}共有2n+1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________.

7.设zn=（）n，（n∈N*），记Sn=｜z2－z1｜+｜z3－z2｜+…+｜zn+1－zn｜，则Sn=_________.

8.作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_________.

9.从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，则容器中有纯酒精_________升.

10.据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：

"2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，"如果"十·五"期间（2001年~2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到"十·五"末我国国内年生产总值约为_________亿元.

三、解答题

11.已知：

在等比数列{a}中，S=a+a+a+…+a，若S=5，S=15。

求：

S的值.

12.项数为奇数的等差数列{a}中，奇数项之和为80，偶数项之和为75，求此数列的中间项和项数.

13.数列{a}中，前m项（m为奇数）的和为77，其中偶数项之和为33，且a－a=18，求这个数列的通项公式.

14.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.

（1）求公差d的取值范围；

（2）指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由.

15.已知数列{an}为等差数列，公差d≠0,由{an}中的部分项组成的数列

a,a,…,a,…为等比数列，其中b1=1,b2=5,b3=17.

（1）求数列{bn}的通项公式；

（2）记Tn=Cb1+Cb2+Cb3+…+Cbn,求.

16.设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2·b4=a3,分别求出{an}及{bn}的前n项和S10及T10.

17.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=（m+1）－man.对任意正整数n都成立，其中m为常数，且m＜－1.

（1）求证：

{an}是等比数列；

（2）设数列{an}的公比q=f（m），数列{bn}满足：

b1=a1,bn=f（bn－1）（n≥2,n∈N*）.试问当m为何值时，成立？

18.已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.

（1）求数列{bn}的通项bn；

（2）设数列{an}的通项an=loga（1+）（其中a＞0且a≠1）,记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.

19.某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：

首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.

（1）设ak（1≤k≤n）为第k位职工所得奖金金额，试求a2,a3，并用k、n和b表示ak（不必证明）；

（2）证明ak＞ak+1（k=1,2,…,n－1）,并解释此不等式关于分配原则的实际意义；

（3）发展基金与n和b有关，记为Pn（b）,对常数b，当n变化时，求Pn（b）.

【参考答案】

一.选择题

1.解法一：

因为{a}是等比数列，设{a}的公比为q，由a>0知q>0，

因aa+2aa+aa=25，

所以，aqaq+2aqaq+aqaq=25，

即[aq（1+q）]=25，aq（1+q）=5，

得a+a=aq+aq=aq（1+q）=5.故选择答案A.

解法二：

因{a}是等比数列，aa=a，aa=a，

原式可化为a+2aa+a=25,即（a+a）=25.

因a>0,a+a=5,故选择答案A

2.解法一：

因为{a}是等差数列，设其首项为a，公差为d，

由已知a+a+a+a+a=20有5a+10d=20，

a+2d=4,即a=4.故选择答案A.

解法二：

因{a}是等差数列，所以a+a=a+a=2a，

由已知a+a+a+a+a=20得5a=20，a=4.

故选择答案A

3.解析：

利用等比数列和的性质.依题意，，而a1=－1,故q≠1,

∴,根据等比数列性质知S5，S10－S5，S15－S10,…,也成等比数列，且它的公比为q5,∴q5=－,即q=－.

∴

故选择答案B.

4.解析：

当a=n时y=n（n+1）x2－（2n+1）x+1

由｜x1－x2｜=，得dn=，

∴d1+d2+…+dn

故选择答案A.

二、5.解析：

解出a、b,解对数不等式即可.

故填答案:

（－∞,8）

6.解析：

利用S奇/S偶=得解.

故填答案:

第11项a11=29.

故填答案:

1+.

8.解析：

由题意所有正三角形的边长构成等比数列{an}，可得an=，正三角形的内切圆构成等比数列{rn}，可得rn=a,

∴这些圆的周长之和c=2π（r1+r2+…+rn）=a2，

面积之和S=π（n2+r22+…+rn2）=a2

故填答案:

周长之和πa，面积之和a2

9.解析：

第一次容器中有纯酒精a－b即a（1－）升，第二次有纯酒精a（1－）－，即a（1－）2升，故第n次有纯酒精a（1－）n升.

故填答案:

a（1－）n

10.解析：

从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，∴a5=95933（1+7.3%）4≈120000（亿元）.

故填答案:

120000.

三、11.解：

因为{a}为等比数列，所以S，S－S，S－S是等比数列.

即5，15－5，S