微专题正态分布.docx

1、微专题正态分布、内容回顾1.正态分布称M的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.(2)正态曲线的特点：1曲线位于X轴上方，与X轴不相交；2曲线是单峰的，它关于直线“对称：3曲线在x= “处达到峰值一 ：4曲线与x轴之间的面积为1：5当。一定时，曲线的位置由“确泄，曲线随着“的变化而沿x轴平移；6当“ 一上时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集 中，。越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.7若gN(“,刊,则砖=“,毋=/(3)正态分布中的3g原则：3。准则又称为拉依达准则，它是先假设一组检测数据只含有 随机误差，对苴进行计算处理得到标准偏差，按一立概率确左一个区间

2、，认为凡超过这个区 间的误差，就不属于随机误差而是粗大误差，含有该误差的数据应予以剔除。且3。适用于 有较多组数据的时候。Y的取值几乎全部集中在(u-3 u+3o)区间内，超出这个范用的 可能性仅占不到0.3%.在正态分布中o代表标准差，u代表均值。x二p即为图像的对称轴1P(火辰 “+。)=0 682 6：2P3 2(YXW ”+2。)=0954 4；3尸(“一3火辰”+3。)=0997 4二、典型例题题型一：正态分布的概念与性质1.(1)(2018年河北衡水调研)衡水市组织一次高三调研考试，考试后统汁的数学成绩服从正(x-80)21 200态分布，其密度函数为卩(力=存厅 (xeR),则下

3、列命题不正确的是()A.该市这次考试的数学平均成绩为80分B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D.该市这次考试的数学成绩标准差为10【解析】由密度函数知，均值(期望)“=80,标准差7=10.因为曲线关于直线x=80对称， 故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以选项B是错误的.故选 B.已知三个正态分布密度函数(V-/6)21 2a； 八%)=了需 (xWR, ,= 1,2,3)的图彖如图3所示，贝ij( )A “1V“2=“3, 6=O3B “1“2=“3, 7=7273C “1=“2“3，(7

4、72 = 73D “1V“2=“3, 6=72O3【解析】由于曲线关于x=“对称, 由图知，“1“2=“3,T7越小曲线越瘦商,/. (71 =(724)=()A. 0.158 8B. 0.158 7C. 0.158 6D 0.158 5解析：由正态分布曲线性质知，其图象关于直线x=3对称，P(4) = 4-=2. (2019年广东佛山一模)已知随机变量X服从正态分布N(3J),且P(2WgW4)=0682 6,则=0.158 7故选 B.答案:B题型三：正态分布及其应用3. (1 )(2019年安徽A10联盟3月模拟)某小区有1 000户，各户每月的用电疑近似服从正态分布M3OO.1O2),

5、则用电量在320度以上的户数约为()(参考数据：若随机变量$服从F态分布N(jW, O2),则P(JA+(7)=68.26%, P(“一 +2a)=95.44%, P(“- 3ac320)=|X 1 -P(280c320) =|X(1 -95.44%)=0.022 8,.用电量在320度以上的户数约为0.022 8X1 000=22.823,故选B.答案：B(2)(2019年湖北武汉模拟)某市一次全市髙中男生身高统汁调査数据显示，全ih 100 000 名男生的身高服从正态分布Ml68.16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身髙，测量发现被测学生身髙全 部介于160 cm和184

6、cm之间，将测量结果按如下方式分成6组，第1组160.164),第2组 164.168),第6组180,184,如图6是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)由频率分布直方图估计该校高三年级男生平均身髙状况.(2)求这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数.(3)在这50名男生身髙在172 cm以上(含172 cm)的人中任意抽取2人，将该2人中身高 排名(从髙到低)在全市前130名的人数记为求的数学期望.参考数据：若gN, r),则P(j.t+a)=0.682 6,+2(j)=0.954 4,P(j.t - +3a)=0.997 4.解析：(1)由频率分布直方图，经过计

7、算得该校离三年级男生平均身鬲为 (162X 0.05 +166X0.074-170X0.08+174X 0.02 +178X 0.02 +182X0.01)X4=16&72(cm)(2)由频率分布直方图知，后3组频率为(0.02+0.02+0.01)X4=0.2,人数为0.2X50= 10,即这50名男生中身离在172 cm以上(含172 cm)的人数为10.(3)VP(168-3X4 168+3X4)=0.997 4,B. P（X WcrjWHX Wq）c.对任意正数/, p（xWf）2P（yWf）D.对任意正数f, P（XMf）MP（YMf）【答案】C【解析】由正态分布密度曲线的性质可知，

8、XN（“,b；）, YN（“2，&）的密度曲线分别 关于直线x=A , x = /2对称，因此结合题中所给图象可得，“2，所以 P（Y2）vP（YJ，故A错误又x Ngb；）得密度曲线较YN（“2，b；） 的密度曲线瘦髙，所以6 P（X WbJ, B错误.对任意正 数/, P（XWf）MP（YWt）, P（X/）2P（yMr）, C 正确，D 错误.2. （2015山东）已知某批零件的长度误差（单位：亳米）服从正态分布N（0,32）,从中随机取一件，苴长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量纟服从正态分布NS，/）,则P（“ bgv“ + b） = 68.26%,P（“一2b 歹

9、v “ + 2b） = 95.44% ）A. 4.56% B. 13.59% C. 27.18% D. 31.74%【答案】B【解析】P（36） = -（95.44%-6&26%） = 13.59%.24. （2011湖北）已知随机变量服从正态分布NQ&）,且P（4）= 0.8,则P（0vgv2）=A. 0.6 B. 0.4 C 0.3 D. 0.2【答案】C【解析】如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于直线x = 2对称，所以P（v2）= 0.5,并且P（02）=P（2?4） 则 P（04 2）=P（ 4）一 /=1 2,，16.用样本平均数丘作为“的估计值，用样本标准差s作为b的估计

10、值利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检査？剔除僅-3孑点+3血之外的数据， 用剩下的数拯估计“和CT (稱确到001).附：若随机变量Z服从正态分布Ngb、则P(“ 3b/0.008 = 0.09 .【解析】(1)抽取的一个零件的尺寸在(“ 3b,“ + 3b)之内的概率为09974,从而零件 的尺寸在(“-3b,“ + 3b)之外的概率为0. 0026,故XB(16,0.0026).因此 P(Xl) = l-P(X=0) = 1-0.9974 = 0.0408 .X 的数学期望为EX =16x0.0026 = 0.0416.(2)(i)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(“3b,“ +

11、3b)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(“-3b,“ + 3b)之外的零件的概率只有 0. 040&发生的概率很小.I天1此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一 天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产 过程的方法是合理的.（ii）由元= 9.97, 0.212,得“的估计值为= 9.97 , o的估计值为7 = 0.212,由样本数搦可以看出有一个零件的尺寸在（&-3&, + 3&）之外，因此需 对当天的生产过程进行检查.剔除（一3& + 3&）之外的数据9. 22.剩下数据的平均数为右（16x9.979.22）

12、= 10.02 ,因此的估计值为10. 02.工兀2 =16x0.2122 + 16x9.972 3591.134,1-1剔除（一3&/ + 3&）之外的数据9. 22,剩下数拯的样本方差为（1591.134 - 9.222-15x10.022）0.008 ,因此b的估计值为V0.008 0.096.（2014新课标1）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质呈:指标值,由测量结果得如下频率分布直方图：（I）求这500件产品质虽指标值的样本平均数I和样本方差$2 （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（II）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布Ngb、

13、其中“近似为样本平均数X, 近似为样本方差”.(i)利用该正态分布，求P(187.8Z/150 12.2.若Z N (/ACT2),则 P(“-bvZ“ + b)=06826,P(“-2b VZ V “ +2b) =0.9544 【解析】(I)抽取产品的质量指标值的样本平均数匚和样本方差分别为1 = 170x0.02 +180x0.09 +190x0.22 + 200x0.33+210x0.24+220x 0.08+230 x 0.02 =200r =(_30)2 X 0.02 + (20)2 x 009 +(_ 10)2 x 0.22+0X 0.33 +1 O X 0.24 + 202 x

14、0.08 + 302 x 0.02 = 150.(II) (i)由(I)知，Z N(200、150),从而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z0）,试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人1数占总人数的5则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A. 150 B. 200 C. 300 D. 400【解析】1 2 3P(X 120) = 一 P(90 X120) = l-=- V 5, 55,3P(90X-1)= 0.9772,则P(-l 0.9772【解析】因为随机变量E服从正态分布NCM),所以P(E 1) = 05,所以 P = (l-1

15、) - P(E 1) = 0.4772.因此P( 1 3) = 2P(1 E 3) = 0.9544.故应选C3、 (2019届吉林省长春外国语模拟)设随机变量匕服从正态分布N34),若P(ga + 2),则a的值为()【解析】由正态曲线的对称性知(2a-3) + (a + 2) = 2x3,八34、( 2018-2019学年湖北荆门检测)设两个正态分布N(M，b；)(“0)和Nd 云)(勺0)的密度函数图像如图所示。则有( )C. “I “2。 6【解析】根据正态分布N.心)函数的性质：正态分布曲线是一条关于x = p对称，在x = p处取得最大值的连续钟形曲线：0越大，曲线的最高点越底IL

16、弯曲较半缓；反过 來，O越小，曲线的最高点越高II弯曲较陡峭，选A。5、(2019届广西柳州模拟)在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布(100,a2)(a0),若&在(85,115)内的概率为0.75,则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为()A. 0.25B. 0.1 C. 0.125 D- 0.5【解析】由题意得,区间(85X5)关于pi =100对称,所以即该生成绩高于115的概率为0125. 故选C.6、假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800, 502)的随机变量，若一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0,则p0的值为 ()A. 0.9

17、54 4 B. 0.682 6 C. 0.997 4 D. 0.977 2【试题來源】人教版高中数学选修2-3同步练习：2.4正态分布【解析】由于随机变量X服从正态分布N (800, 503),故有H =800, o=50, P (700VXW900)二0 9544.1 1由正态分布的对称性,可得 po= (P (XW900) =P (XW800) +P (800VXW900) =2+2p(700VXW900)二0.9772故选：D.7、下面给出了关于正态曲线的4个叙述：曲线在x轴上方且与x轴不相交;当xU时，曲线下降，当xU时，曲线上升;当 U 一定时，0越小，总体分布越分散，。越大，总体分

18、布越集中;曲线关于直线对 称，且当x=p时，曲线的值位于最高点.其中正确的个数为 ()A. 1 B. 2 C. 3 D 4【解析】只有不正确，因为曲线的形状由o确定，当U 一定时，o越小，曲线越“瘦 高”，总体分布越集中；。越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散.故选：C8、(2018届山东省德州市模拟)设XN(l,l),其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷100000个 点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是()注：若X叫山内，贝v X u + 0)二 0.6826, P(p - 2a X p + 2o) - 0.9544y1AB01 2 xA. 60380 B. 658

19、70 C 70280 D. 75390【解析】解： X P(u vXu + o) = 0.6826,向正方形ABCD中随机投掷1个点，则点落入阴影部分的概率为1P = 1-P(0 X 5) = 0.2,贝,JP(KX 5) = 0.6故答案为：0. 6.10、 (2019届安徽省六安模拟)已知某次数学考试的成绩服从正态分布(102,梓)，则H4分以上的成绩所占的百分比P(“一2。 X。+ 2a) = 0.9544 ,为 ( 附 : P(“一(7 + a) = 0.6826一 X + 3a) = 0.9974)【解析】 因为数学考试的成绩服从正态分布(102,42),所如=102, a = 4,

20、 “一3(1 = 90. “ + 3(? = 114,因为变量在(90,114)内取值的概率约为0.9974,所以成绩在(90,114)内的考生所占的白分比约为99.74%,1-(1 -0.9974) = 0.13%所以成绩在114分以上的考生所占的白分比为2 o11、为了了解某地区高三男生的身体发冇状况,抽査了该地区1000名年龄在17. 5岁至 19岁的高三男生的体重情况，抽査结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(U,22), 且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况则这1000名男生中属于正常情况的人数约为.【解析】由题意，P (58.

21、 5X62.5) =0. 683,.在这1000名男生中不属于正常情况的人数是1000X0. 683二683, 故答案为:683.12、(2019届重庆市第一中学模拟)某地区高二女生的体重X(单位:炖)服从正态分布N(50,25),若该地区共有高二女生2000 人则体重在区间(50,65呐的女生人数约为 【解析】由题意可得M = 50. a = 5 ,所以体重在区间(50,65)内概率在区间(50, 65)内的女生人数为2000 X 0.4987 997 13、为调査某校学生每周课外阅读的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周 课外阅读时间的样本数据(单位：小时)根据这100个数据，制

22、作出学生每周课外阅 读时间的频率分布直方图(如图)(1)估计这100名学生每周课外阅读的平均数%和样本方差/ (同一组数据用该组区间 的中点值作代表);(2)由频率分布直方图知，该校学生每周课外阅读时间Z近似服从正态分布其中“近似为样本平均数天卅近似为样本方差代1求P(08VZV83)；2若该校共有10000名学生，记每周课外阅读时间在区间(088.3)的人数为试求. 参数 数据： 肠16 = 2.5 , 若 ZN(j/,a2) , P(“一V Z V “ + oj = 0.6827 ,一V Z V “ + 2。)= 0.9545. 【解析】(1) x= 1 x 0.05 + 3 x 0.2

23、-F 5 x 0.3 + 7 X 0.25 +9 X 0.15 + 11 X 0.05 = 5.8,s2 = (1 - 5.8)2 X 0.05 + (3 - 5.8)2 X 0.2 + (5 - 5.8)2 X 0.3 + (7 - 5.8)2 X 0.25(9 - 5.8广 X 0.15 + (11 - 5.8) X 0.05 = 6.16(2)由(1)知X服从正态分布N(5.8, 6. 16), L。=斗議25,1 1=-X 0.9545 +-X 0.6827 =P(08VXW& 3) 2 2 0.8186；依题意服从二项分布，即fB(10*.8186), = np=818614、(20

24、19届湖南省长沙市长郡模拟)为了改善市民的生活环境，长沙某大型工业城市 决定对长沙市的1万家中小型化工企业进行污染情况摸排，并出台相应的整治措施.通 过对这些企业的排污口水质，周边空气质量等的检验，把污染情况综合折算成标准分 100分，发现长沙市的这些化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N(50, 162), 分值越低，说明污染越严重；如果分值在50, 60内，可以认为该企业治污水平基本 达标.(I )如图为长沙市的某工业区所有被调査的化工企业的污染情况标准分的频率分布直 方图，请计算这个工业区被调査的化工企业的污染情况标准分的平均值，并判断该工业 区的化工企业的治污平均值水平是否基本达标；

25、(U)大量调査表明，如果污染企业继续生产，那么标准分低于18分的化工企业每月 对周边造成的直接损失约为10万元，标准分在18, 34)内的化工企业每月对周边造 成的直接损失约为4万元长沙市决定关停80%的标准分低于18分的化工企业和60% 的标准分在18, 34)内的化工企业，每月可减少的直接损失约有多少？(附：若随机变量X 贝|JP(H-Oxu + O)= 68.3%t P(|1-2g X + 2a) = 95.4%,P(ji-3o X h + 3a) = 99.7%)频率/组距f0.01500.0125 f 0.010 0.0075 矗分0 0050一0 20 40 60 80 100【解

26、析】(I)该工业区被调査的化工企业的污染情况标准分的平均值:(10 X 0.0050 +30X 0.0125 + 50 x 0.0150 十 70 x 0.010 + 90 x 0.0075) x 20 = 51,故该工业区的化工企业的治污平均值水平基本达标：(II)化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N (50, 16:)0.954 0.683P(18 S X 34)二 =0.1355标准分在18, 34)内的概率， 260%的标准分在18, 34)内的化工企业，每月可减少的直接损失为:10000 X 0.6 X 0.1355 x4 = 3252万元,1 - 0.954P(X 18) = = 0.023标准分低于18分的概率， 2 ,10000 X 0.8 X 0.023 x