微专题正态分布.docx

微专题正态分布.docx

《微专题正态分布.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微专题正态分布.docx（18页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

微专题正态分布

—、内容回顾

1.正态分布

称M的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.

（2）正态曲线的特点：

1曲线位于X轴上方，与X轴不相交；

2曲线是单峰的，它关于直线“对称：

3曲线在x=“处达到峰值一：

4曲线与x轴之间的面积为1：

5当。

一定时，曲线的位置由“确泄，曲线随着“的变化而沿x轴平移；

6当“一上时，曲线的形状由"确定，"越小，曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中，。

越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.

7若g〜N（“,刊,则砖=“,毋=/

（3）正态分布中的3g原则：

3。

准则又称为拉依达准则，它是先假设一组检测数据只含有随机误差，对苴进行计算处理得到标准偏差，按一立概率确左一个区间，认为凡超过这个区间的误差，就不属于随机误差而是粗大误差，含有该误差的数据应予以剔除。

且3。

适用于有较多组数据的时候。

Y的取值几乎全部集中在（u-3u+3o）区间内，超出这个范用的可能性仅占不到0.3%.在正态分布中o代表标准差，u代表均值。

x二p即为图像的对称轴

1P（"—火辰“+。

）=0・6826：

2P3—2（YXW”+2。

）=0・9544；

3尸（“一3火辰”+3。

）=0・9974

二、典型例题

题型一：

正态分布的概念与性质

1.

（1）（2018年河北衡水调研）衡水市组织一次高三调研考试，考试后统汁的数学成绩服从正

（x-80）2

1200

态分布，其密度函数为卩（力=存厅（xeR）,则下列命题不正确的是（）

A.该市这次考试的数学平均成绩为80分

B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同

C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同

D.该市这次考试的数学成绩标准差为10

【解析】由密度函数知，均值（期望）“=80,标准差<7=10.因为曲线关于直线x=80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以选项B是错误的.故选B.

⑵已知三个正态分布密度函数

（V-/6）2

12a；八

%）=了需°（xWR,,=1,2,3）的图彖如图3所示，贝ij（）

A・“1V“2=“3,6=<72>O3

B・“1>“2=“3,<7]=<72«73

C・“1=“2<“3，（7]«72=<73

D・“1V“2=“3,6=<72

【解析】由于曲线关于x=“对称,由图知，“1<“2=“3,

T<7越小曲线越瘦商,

/.（71=（72<<73・

【答案】D

1一0.6826

2

题型二：

正态分布的计算问题

陀>4）=（）

A.0.1588

B.0.1587

C.0.1586

D・0.1585

解析：

由正态分布曲线性质知，

其图象关于直线x=3对称，P（>4）='4-=

2.（2019年广东佛山一模）已知随机变量X服从正态分布N（3J）,且P（2WgW4）=0・6826,则

=0.1587•故选B.

答案:

B

题型三：

正态分布及其应用

3.

（1）（2019年安徽A10联盟3月模拟）某小区有1000户，

各户每月的用电疑近似服从正态分布M3OO.1O2）,则用电量在320度以上的户数约为（）

（参考数据：

若随机变量$服从」F态分布N（jW,O2）,则P（JA—+（7）=68.26%,P（“一+2a）=95.44%,P（“-3a

A・17B・23C・34D・46

解析：

P（c>320）=|X[1-P（280

.•.用电量在320度以上的户数约为0.0228X1000=22.8~23,故选B.

答案：

B

（2）（2019年湖北武汉模拟）某市一次全市髙中男生身高统汁调査数据显示，全ih100000名男生的身高服从正态分布

Ml68.16）.现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身髙，测量发现被测学生身髙全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组，第1组[160.164）,第2组[164.168）,…,第6组[180,184],如图6是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

（1）由频率分布直方图估计该校高三年级男生平均身髙状况.

（2）求这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数.

（3）在这50名男生身髙在172cm以上（含172cm）的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名（从髙到低）在全市前130名的人数记为£求§的数学期望.

参考数据：

若g〜N@,

P（j.t—+a）=0.6826,

+2（j）=0.9544,

P（j.t-+3a）=0.9974.

解析：

（1）由频率分布直方图，经过计算得该校离三年级男生平均身鬲为（162X0.05+166X0.074-170X0.08+174X0.02+178X0.02+182X0.01）X4=16&72（cm）・

（2）由频率分布直方图知，后3组频率为（0.02+0.02+0.01）X4=0.2,人数为0.2X50=10,即这50名男生中身离在172cm以上（含172cm）的人数为10.

（3）VP（168-3X4<^168+3X4）=0.9974,

B.P（XWcrjWHXWq）

c.对任意正数/,p（xWf）2P（yWf）

D.对任意正数f,P（XMf）MP（YMf）

【答案】C

【解析】由正态分布密度曲线的性质可知，X〜N（“,b；）,Y〜N（“2，&）的密度曲线分别关于直线x=A,x=//2对称，因此结合题中所给图象可得，"<“2，所以P（Y»2）vP（Y»J，故A错误•又x~Ngb；）得密度曲线较Y〜N（“2，b；）的密度曲线"瘦髙"，所以6<6,所以P（XW6）>P（XWbJ,B错误.对任意正数/,P（XWf）MP（YWt）,P（X/）2P（yMr）,C正确，D错误.

2.（2015山东）已知某批零件的长度误差（单位：

亳米）服从正态分布N（0,32）,从中随

机取一件，苴长度误差落在区间（3,6）内的概率为

（附：

若随机变量纟服从正态分布NS，/）,则P（“—b

P（“一2b<歹v“+2b）=95.44%）

A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%

【答案】B

【解析】P（3<<<6）=-（95.44%-6&26%）=13.59%.

2

4.（2011湖北）已知随机变量§服从正态分布NQ&）,且P（^<4）=0.8,则

P（0vgv2）=

A.0.6B.0.4C・0.3D.0.2

【答案】C

【解析】如图，正态分布的密度函数示意图所示，

函数关于直线x=2对称，所以P（§v2）=0.5,并且

P（0<^<2）=P（2<

<4）—

则P（0<4<2）=P（<<4）一<2）

=0.8—0.5=0.3

所以选c.

5.（2017新课标I）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线

上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：

cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（“,b2）.

⑴假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（“-3b,"+3b）

之外的零件数，求P（X$1）及X的数学期望；

⑵一天内抽检零件中，如果岀现了尺寸在（“-3b,“+3b）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

（i）试说明上述监控生产过程方法的合理性：

（ii）下而是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

1“ni6n16

经计算得X=—=9.97's=J—元）、（£才j6亍）

10（-1Vior.iyioj-i

a0.212，其中壬为抽取的第i个零件的尺寸>/=1>2,・・・，16.

用样本平均数丘作为“的估计值〃，用样本标准差s作为b的估计值利用

估计值判断是否需对当天的生产过程进行检査？

剔除僅-3孑点+3血之外的数据，用剩下的数拯估计“和CT（稱确到0・01）.

附：

若随机变量Z服从正态分布Ngb、则P（“—3b

0.997416a0.9592,>/0.008=0.09.

【解析】

（1）抽取的一个零件的尺寸在（“—3b,“+3b）之内的概率为0・9974,从而零件的尺寸在（“-3b,“+3b）之外的概率为0.0026,故X~B（16,0.0026）.因此P（X>l）=l-P（X=0）=1-0.9974=0.0408.

X的数学期望为EX=16x0.0026=0.0416.

（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（“―3b,“+3b）之外的概率只有0.0026,

一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（“-3b,“+3b）之外的零件的概率只有0.040&发生的概率很小.I天1此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.

（ii）由元=9.97,0.212,得“的估计值为=9.97,o•的估计值为

<7=0.212,由样本数搦可以看出有一个零件的尺寸在（&-3&,〃+3&）之外，因此需对当天的生产过程进行检查.

剔除（〃一3&〃+3&）之外的数据9.22.剩下数据的平均数为

右（16x9.97—9.22）=10.02,

因此〃的估计值为10.02.

工兀2=16x0.2122+16x9.9723591.134,

1-1

剔除（〃一3&/+3&）之外的数据9.22,剩下数拯的样本方差为

£（1591.134-9.222-15x10.022）«0.008,

因此b的估计值为V0.0080.09・

6.（2014新课标1）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质呈:

指标值,

由测量结果得如下频率分布直方图：

（I）求这500件产品质虽指标值的样本平均数I和样本方差$2（同一组数据用该区

间的中点值作代表）；

（II）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布Ngb、

其中“近似为样本平均数X,近似为样本方差”.

（i）利用该正态分布，求P（187.8

（ii）某用戸从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX.

附：

>/150^12.2.若Z〜N（/ACT2）,则P（“-bvZ<“+b）=0・6826,

P（“-2bVZV“+2b）=0.9544・

【解析】（I）抽取产品的质量指标值的样本平均数匚和样本方差〃分别为

1=170x0.02+180x0.09+190x0.22+200x0.33

+210x0.24+220x0.08+230x0.02=200

r=（_30）2X0.02+（—20）2x009+（_10）2x0.22

+0X0.33+1O'X0.24+202x0.08+302x0.02=150.

（II）（i）由（I）知，Z〜N（200、150）,从而

P（187.8

（ii）由（i）知,一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826,依题意知X-B（1OO,0.6826）,所以EX=100x0.6826=68.26.

五、巩固提高

1、（2019届山东省潍坊模拟）

某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布

N（105,/）9>0）,试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人

1

数占总人数的5则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）

A.150B.200C.300D.400

【解析】

123

P（X<90）=P（X>120）=一P（90

3

P（90

所以io,

1000X—=300所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为10

故选：

C.

2、（2019届广西南宇模拟）已知随机变量&服从正态分布N（"）,若>-1）=0.9772,则

P（-l<^<3）=（）

A.0.6827b.0.8522c.0.9544D>0.9772

【解析】

因为随机变量E服从正态分布NCM）,所以P（E<1）=05,

所以P=（l<^<3）=p（E>-1）-P（E<1）=0.4772.

因此P（・1<£<3）=2P（1

故应选C

3、（2019届吉林省长春外国语模拟）

设随机变量匕服从正态分布N34）,若P（g<2a-3）=P（E>a+2）,则a的值为（）

【解析】由正态曲线的对称性知（2a-3）+（a+2）=2x3,八3'

4、（2018-2019学年湖北荆门检测）设两个正态分布N（M，b；）（“>0）和

Nd®云）（勺>0）的密度函数图像如图所示。

则有（）

C.“I><6D・“I>“2。

>6

【解析】根据正态分布N.心）函数的性质：

正态分布曲线是一条关于x=p对称，在

x=p处取得最大值的连续钟形曲线：

0■越大，曲线的最高点越底IL弯曲较半缓；反过來，O■越小，曲线的最高点越高II弯曲较陡峭，选A。

5、（2019届广西柳州模拟）在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布

（100,a2）（a>0）,若&在（85,115）内的概率为0.75,则任意选取一名学生，该生成绩高于

115的概率为（）

A.0.25B.0.1C.0.125D-0.5

【解析】

由题意得,区间（85X5）关于pi=100对称,

所以

即该生成绩高于115的概率为0・125.故选C.

6、假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800,502）的随机变量，若一

天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0,则p0的值为（）

A.0.9544B.0.6826C.0.9974D.0.9772

【试题來源】人教版高中数学选修2-3同步练习：

2.4正态分布

【解析】

由于随机变量X服从正态分布N（800,503）,故有H=800,o=50,P（700VXW900）

二0・9544.

11

由正态分布的对称性,可得po=（P（XW900）=P（XW800）+P（800VXW900）=2+2p（700

VXW900）二0.9772

故选：

D.

7、下面给出了关于正态曲线的4个叙述：

①曲线在x轴上方■且与x轴不相交;②当x>U时，曲线下降，当x

越大，总体分布越集中;④曲线关于直线对称，且当x=p时，曲线的值位于最高点.其中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D・4

【解析】只有③不正确，因为曲线的形状由o确定，当U一定时，o越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中；。

越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散.

故选：

C

8、（2018届山东省德州市模拟）

设X〜N（l,l）,其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷100000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）

注：

若X〜叫山内，贝vX

y

1

A

B

0

12x

A.60380B.65870C・70280D.75390

【解析】

解：

•・•X〜」］P（uvX

•••向正方形ABCD中随机投掷1个点，则点落入阴影部分的概率为

1

P=1--P（0

•••向正方形ABCD中随机投掷100000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是

100000X0.6587=65870

■

故选：

B.

9、（2018-2019学年黑龙江牡丹江市模拟）

若随机变量X〜N（3凸,且P（X>5）=0.2,贝,JP（KX<5）=

【解析】

解：

因为随机变量X~N（3,/）,所以正态分布曲线关于直线x二3对称

所以P（1VXV5）=2P（3VXV5）=2（0.5一P（X>5））=0.6

故答案为：

0.6.

10、（2019届安徽省六安模拟）

已知某次数学考试的成绩服从正态分布"（102,梓），则H4分以上的成绩所占的百分比

P（“一2。

+2a）=0.9544,

为

（附:

P（“一（7<+a）=0.6826

一％

【解析】因为数学考试的成绩服从正态分布"（102,42）,

所如=102,a=4,“一3（1=90.“+3（?

=114,

因为变量在（90,114）内取值的概率约为0.9974,

所以成绩在（90,114）内的考生所占的白分比约为99.74%,

1

-（1-0.9974）=0.13%

所以成绩在114分以上的考生所占的白分比为2o

11、为了了解某地区高三男生的身体发冇状况,抽査了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽査结果表明他们的体重X（kg）服从正态分布N（U,22）,且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况■

则这1000名男生中属于正常情况的人数约为.

【解析】

由题意，P（58.5

・•.在这1000名男生中不属于正常情况的人数是1000X0.683二683,故答案为:

683.

12、（2019届重庆市第一中学模拟）

某地区高二女生的体重X（单位:

炖）服从正态分布N（50,25）,若该地区共有高二女生2000人则体重在区间（50,65呐的女生人数约为

【解析】

由题意可得M=50.a=5,所以体重在区间（50,65）内概率

在区间（50,65）内的女生人数为2000X0.4987«99713、为调査某校学生每周课外阅读的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周课外阅读时间的样本数据（单位：

小时）•根据这100个数据，制作出学生每周课外阅读时间的频率分布直方图（如图）•

（1）估计这100名学生每周课外阅读的平均数%和样本方差/（同一组数据用该组区间的中点值作代表）;

（2）由频率分布直方图知，该校学生每周课外阅读时间Z近似服从正态分布

其中“近似为样本平均数天卅近似为样本方差代

1求P（0・8VZV8・3）；

2若该校共有10000名学生，记每周课外阅读时间在区间（088.3）的人数为试求％.参数数据：

肠・16=2.5,若Z〜N（j/,a2）,P（“一VZV“+oj=0.6827,

一VZV“+2。

）=0.9545.【解析】

（1）x=1x0.05+3x0.2-

F5x0.3+7X0.25+9X0.15+11X0.05=5.8,

s2=（1-5.8）2X0.05+（3-5.8）2X0.2+（5-5.8）2X0.3+（7-5.8）2X0.25

（9-5.8广X0.15+（11-5.8）'X0.05=6.16

（2）①由

（1）知X服从正态分布N（5.8,6.16）,£L。

=斗議"2・5,

11

=-X0.9545+-X0.6827=

•••P（0・8VXW&3）220.8186；

②依题意§服从二项分布，即f~B（10*.8186）,^=np=8186

14、（2019届湖南省长沙市长郡模拟）为了改善市民的生活环境，长沙某大型工业城市决定对长沙市的1万家中小型化工企业进行污染情况摸排，并出台相应的整治措施.通过对这些企业的排污口水质，周边空气质量等的检验，把污染情况综合折算成标准分100分，发现长沙市的这些化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N（50,162）,分值越低，说明污染越严重；如果分值在［50,60］内，可以认为该企业治污水平基本达标.

（I）如图为长沙市的某工业区所有被调査的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，请计算这个工业区被调査的化工企业的污染情况标准分的平均值，并判断该工业区的化工企业的治污平均值水平是否基本达标；

（U）大量调査表明，如果污染企业继续生产，那么标准分低于18分的化工企业每月对周边造成的直接损失约为10万元，标准分在［18,34）内的化工企业每月对周边造成的直接损失约为4万元•长沙市决定关停80%的标准分低于18分的化工企业和60%的标准分在［18,34）内的化工企业，每月可减少的直接损失约有多少？

（附：

若随机变量X〜贝|JP（H-O

P（ji-3o

频率/组距f

0.0150………•…—

0.0125f—

0.010

0.0075

矗分

00050一

020406080100

【解析】

（I）该工业区被调査的化工企业的污染情况标准分的平均值:

（10X0.0050+30X0.0125+50x0.0150十70x0.010+90x0.0075）x20=51,

故该工业区的化工企业的治污平均值水平基本达标：

（II）化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N（50,16:

）

0.954•0.683

P（18SX<34）二=0.1355

标准分在［18,34）内的概率，2

•••60%的标准分在［18,34）内的化工企业，每月可减少的直接损失为:

10000X0.6X0.1355x4=3252万元,

1-0.954

P（X<18）==0.023

标准分低于18分的概率，2,

•••10000X0.8X0.023x