数理经济学具有约束方程的最优化.docx

1、数理经济学具有约束方程的最优化max f(x)s.t. g(x) b h(x) amin f (x)s.t. g(x) b h(x) a第 10 章 具有约束方程的最优化10.1基本约束优化问题10.2一阶必要条件10.3二阶充分条件10.4最优解的比较静态分析10.5Lagrange 乘子的数学含义10.6目标函数最优值的比较静态分析10.1 基本约束优化问题 一般标准的极大化问题： max f (x1,x2,L ,xn) 或者：s.t.g j (x1,x2,L ,xn) bjhi (x1,x2,L ,xn) ai一般标准的极小化问题：min f (x1,x2,L ,xn) 或者：s.t.g

2、 j (x1,x2,L ,xn) bjhi (x1,x2,L ,xn) ai10.2+10.3：一阶必要条件和二阶充分条件1、等式约束优化问题(1)两个变量一个等式约束的情形极大化问题：max f ( x, y)s.t. h(x, y) c例：消费者的效用最大化问题maxU (x1, x2)s.t. p1x1 p2x2 I构造拉格朗日函数：L(x, y, ) f (x,y) h(x,y) c f (x,y) c h(x, y)一阶必要条件：L c h( x, y) 0Lx f x hx 0Ly f y hy 0注：通过将 L 视为三个选择变量的自由函数，将约束优化转 化为了无约束优化。拉格朗日

3、乘数的解释：*是 Z* (最优值)对约束变化敏感性的度量。 特别的， c 增加(预算增加)的影响表明约束条件的放 宽如何影响最优解。 设：根据一阶必要条件得到的最优解为 *，x*，y* ，则Lc h(x*, y*)0Lxfx(x*, y*)* hx(x*, y*) 0Lyfy(x*, y*)*hy(x*, y*) 0最优值为：L*f (x*, y*)* c h(x*, y*)x* , y*满足:由三个必要条件，可以确定:因此，L*对c的导数:x* x*( c),y* y*(c)dL*dcf dx*x dcf dy*dc,dx*hx-dcdx* hx) dcc h(x*, y*)-dc*(1c

4、h(x*, y*)hy竽(fx(fyd *dcdy* h )1 y / .dc结论：拉格朗日乘数的解值是由参数 c引起的约束条件变化对目标函数最优值影响的度量。二阶条件：约束条件 h(x, y) c意味着x和y不是自由变化的，而应该满足：dh(x,y) hxdx hydy dc 0，即：dx , hx ,Dh(x,y) dy 0，或者 dy 匸 dx。目标函数的二阶全微分:dzfxdx fydyd2zd(dz) d (fxdx fydy) (fxdx fydy)dx (fxdx fydy)dy x yfxxdx2 fxydydx fy dxxfyxdxdy fyydy2 fy dy2fxxdx

5、 2 fxydydx根据约束条件 h(x, y) c，hxxdx2 2hxydydx2 2fyydy fyd yd2hhyydy2 hyd2y 0得到:d2y汁 2tdydx代入上式:d2z(f2(fxyh；fy)dydx (fyy 和曲根据一阶必要条件:fy /hyhxy)dydx (fyy hyy)dy2d2z (fxx hxx)dx2 2(fXy二阶必要条件:对于Z的极大值：d2Z为半负定，满足dh 0，对于Z的极小值：d2Z为半正定，满足dh 0 ；二阶充分条件:对于Z的极大值：d2Z为负定，满足dh 0，对于Z的极小值：d2Z为正定，满足dh 0 ；汪意:d2Z的有定性不等于xx x

6、x xy xyh f h 的有定性xy xy yy yy因为：约束规划问题转化为无约束规划，即拉格朗日函数的无约束极值，拉格朗日函数 L(x, y,)是选择变量x, y,2 2(fxx hxx)dx 2(fxy hxy)dydx (fyy hyy)dy的函数，而不仅仅是 x, y的函数。d2zdh0 dyh dx，代入上式: yd2zLxxdx222Lxydydx LyydyLxxdx2hx hx 22Lxy( g)dxdx Lyy( =dx)2hy hy2Lxyhxhy Lyyh：)(乎 rhy0hxhyhxLxxLyxhyLxyLyy海塞加边矩阵0 hx hyhxLxxxyhyLxyyy因

7、此，d2Z为正定，满足dh 0 ；d2Z为负定，满足dh 0 ；冋0 d2z正定满足dh=o当且仅当|H | 0 d2Z负定(2)多个变量和多个等式约束的情形maxfgK丄 x)s.t h(Xi,X2丄,Xn) c i 1,L ,m拉格朗日函数：L(X“X2 丄，Xn； !, 2,L , m)iCi hi(Xi,X2,L ,Xn)mf(Xi,X2,L ,xn)一阶必要条件:XjXjm|丄0I 1 Xj1,L ,nh(Xi,X2 丄，Xn) 01,L,m二阶充分条件:海塞加边矩阵|H |00L0h1h2Lh：00L0h2h；Lh：MMOMMMOM00L0hmhmLkmhnh；h2LhmL11L1

8、2LL1 nh2h；LhmL21L22LL2nMMOMMMOMh；hfLhmLn1Ln2LLnn二阶充分条件:（n-m）个加边顺序主子式:|H |）对于极大值，充分条件是这些加边顺序主子式的符号交替变IHmil，|Hm2|，|Hmn|(换，1 Hm 1 1的符号为（1）m 1。对于极小值，充分条件是这 些加边顺序主子式均取相同符号，即都为 （1）m。2、不等式约束优化问题(1)非负约束max f (x)s.t. x 0假设f(x)是可微的，由于约束条件 x 0，极值有三种可能的情况：00a.内解：f (x)0，且x0b.边界解：f (x)0，且x0c.边界解：f (x)0，且x0将三种情况合并

9、成一种情况：f (x)0，x0且xf(x) 0xf (x) 0表示X和f(X)至少有一个为零，因此两者的乘积一定为0。这个特点指x和f (x)互补松弛。推广到n个选择变量：max f(xx2 丄，xn)s.t. Xj 0 ( j 1 丄，n)相应的一阶条件：fj 0， xj 0 且 xj fj 0( j 1,L ,n)2)不等式约束max f (x1,x2, x3)Stg1(x1, x2,x3) r1 g2(x1, x2,x3) r2x1,x2, x3 0引入两个虚拟变量 s1 和 s2 ，将上述问题变成等式约束和非负 约束形式：maxf (x1,x2, x3)Stg1(x1, x2,x3)

10、s1 r1 g2(x1, x2, x3) s2 r2 x1, x2, x3,s1,s2 0构造拉格朗日函数：1L f (x1, x2,x3) 1r1 g (x1,x2,x3) s12r2 g2(x1,x2, x3) s2得到一阶条件：Xi X2 X3由于Xj和Si是非负的，Xj0，Xj0，SiL L L L_ 02S1 S2 1因此一阶条件必须修改为:Xj 丄 0.Xj ；s+ 0 ；1,2, j 1,2,3把虚拟变量去掉，将L换成L :L f (Xi,X2,X3)ii g1(Xi,X2,X3)2 r2上 fj (igiXj2g2) 0XjLXj Xjg2(Xi,X2,X3)0.Li gi(X

11、i,X2,X3) 0i库恩一塔克条件。推广：n个变量、m个约束的情形maxf(%,X2丄,xj1,L ,ms.t.gi(Xi,X2丄,xj r 拉格朗日函数：L f（为，X2丄,Xn） ii gi（Xi,X2 丄，Xn）i 1极大化库恩一塔克条件：LLXj0, Xj0 XjXj0; j 1,L ,nLL0 .i0, i-0; i 1,L ,mi i极小化库恩一塔克条件:LLXj0, Xj0 XjXj0; j 1,L ,nLL0 .i0, i-0; i 1,L ,mi i库恩一塔克条件的解释:0 XjXj ， J0L 门0 .ii0L 门L cXj 0Xj j ，i 0 （互补松弛条件）iLc

12、LXi0和 0i:边际条件；L0 :约束条件i互补松弛条件则意味着对于每一个 Xj ,其最优解要么 满足边际条件等式成立（0），要么变量Xj 0， 或者两式同时成立。对i而言，其最优解要么满足边一 L c际条件等式成立（0），这说明第i个约束恰好完i全满足，要么变量i 0，或者两式同时成立。例题：生产问题（厂商利润最大化）max f（Xi,X2丄,Xn）st gi （Xi,X2丄,Xn） ri， i 1,L ,mXj 0， j 1,L ,n那么：fj第j种产品的边际毛利；i第i种资源的影子价格（使用每单位i种资 源的机会成本）；g；生产第j种产品的边际单位所消耗的第i种资源的量；igj生产第j

13、种产品的边际单位所消耗的第i 种资源的边际投入成本；igj生产第j种产品的总边际成本；LXj因此：边际条件igj 0要求第j种产品的边际毛利不能大于它总体边际投入 成本，即不允许出现投入不足的情况。L0XjXj0LXjXjXj0LXjLi00，最优解0，最终减产至停产 丄0， i 0，资源没有用完，则第i种资源的 i影子价格为0；L0， i 0，若第i种资源有正的影子价格，则资源完全使用；注：影子价格影子价格 ( Shadow Price )通常是指一种资源的影子 价格，因此影子价格可以定义为：某种资源处于最佳分配 状态时，其边际产出价值就是这种资源的影子价格。 用线性规则方法计算出来的反映资

14、源最优使用效果的价格。 用微积分描述资源的影子价格，即当资源增加一个数量而得 到目标函数新的最大值时，目标函数最大值的增量与资源的 增量的比值，就是目标函数对约束条件(即资源)的一阶偏 导数。用线性规划方法求解资源最优利用时，即在解决如何 使有限资源的总产出最大的过程中，得出相应的极小值，其 解就是对偶解，极小值作为对资源的经济评价，表现为影子 价格。这种影子价格反映劳动产品、自然资源、劳动力的最 优使用效果。二、约束规范只有满足特定条件时，库恩塔克条件才是必要 条件。这条件叫约束规范( constraint qualification ) 约束规范是对非线性规划中的约束函数施加的某些限 制，

15、目的是为了排除可行集边界上的某些不规则性， 这些不规则性可能会违背能够产生最优解的库恩塔 克条件。1、边界点的不规则性例1:max x1s.t x2 (1 x1)3 0x1,x2 0要是人最大，最优解是点(1, 0),但是不满足库恩一 塔克极大化条件。拉格朗日函数：L X1 J X2 (1 x,)3第一个边际条件：L 21 3 1(1 X1)2 0根据互补松弛条件:X 0，2 0 ；L 彳但，不满足库恩一塔克条件。入X1 1这种异常产生的原因在于本例的最优解（1, 0） 出现向外指的岐点（cusp）。它构成了使库恩一塔克条 件在边界的最优解失效的一种不规则性。当曲线突然反向，使得该点一边的斜率

16、等于该点 另一边的斜率时，所形成的尖点（Sharp point）就是 岐点。岐点是最经常引用的使库恩一塔克条件失效的原 因，但事实上岐点的出现既不是库恩一塔克条件在最 优解失效的必要条件，也不是充分条件。例2:对例1的问题加上新的约束条件2x1 x2 2其边界为X2 2 2x1。显然，可行区域仍然同以前一样，最优解也出现在岐 点。但其满足库恩一塔克条件。其拉格朗日函数：L X1 J X2 （1 xj3 2【2 2人 X?和边际条件:LX11(1X1)2 2 2 0显然，*X1X2X2(12 2x11,X；0, 1 1,X1)3 0X22,满足上面的不等式，而且也满足非负限制和互补松弛条件。事实

17、上，1可以取任意的非负值，所有的条件仍 然满足。这说明拉格朗日乘数的最优值不一定是唯一 的。同时也说明，尽管有岐点，但库恩一塔克条件仍 然成立。例3： 最优化问题max x2 Xs.t （10 x： x2）3 0x1 2x1,x2 0可行区域如图所示，任何地方都不含岐点。但在最优解（2, 6）处，库恩一塔克条件仍然不成立L1(10 x2 x2)3X22( 2 Xi)第二个边际条件:丄X21 3 1(10 x2 x2)2*因为X26为正，10 x2 X2=0，因此无论1取何值，都得到$=1。因此，库恩一塔克条件在没有岐点时也2可能不成立原因?2、约束规范如果满足某一约束规范，则边界的不规则性（有

18、岐点或没有岐点的不规则性）就不可能出现令x* （X；,X2丄，）是可行区域边界上的一个（可 能的解）点，令dx （dx,dx2丄，dXn）表示由所提到的边 界点移动的特定的方向。要求:，如果第j个选择变量在点X*处取零值，那么只允 许在Xj轴上有非负变化，即*如果Xj 0，那么dXj 0 （ 1），如果在点x*处恰好满足第i个约束条件的等式约 束，那么将只允许dXi，dX2，L ,dxn的取值使约束函数值 gi（x*）不增加（对极大化问题），或不减少（对极小化 问题），即 士 i * i i idg (X ) gidXi g2dX2 L gndXn0 （极大化）0 （极小化）如果 gi(x*)

19、 ri ( 2)i *其中所有的偏导数gj都在x处计算。如果向量dx满足（1）和（2），则我们称其为测 试向量 （test vector）。如果存在满足下列条件的可微弧：（1）从点x*出 发；（2）整个包含在可行区域内；（3）与已知测试向 量相切，贝蛾们把这样的弧段称为该测试向量的 规范约束规范：如果对可行区域边界上的任意点 x , 对每一测试向量dx，存在一规范弧，那么就满足约束 规范。练习：验证例1和例3中的最优解不满足约束规范。3、线性约束条件如果可行区域是仅由线性约束形成的凸集，那么约束规范总是满足，且库恩-塔克条件在最优解处总成x a2 x?a?i 片 a?2 x?ri讨论边界上的点

20、是否满足约束规范课后习题1、已知最优化问题：max x1s.t. x12 x22 1x1 , x2 0试用图解法解此题。 并检验最优解点是否满足 （1）约 束规范；（2）库恩 -塔克极大化条件。2、已知最优化问题：min C x1s.t. x12 x22 0x1 , x2 0试用图解法解此题。最优解在岐点出现吗？并检验最 优解点是否满足（ 1）约束规范；（2）库恩 -塔克极小 化条件。经济应用1、战争时期配额供应假设有两件物品： x 和 y 被定量供应。消费者的效 用函数为U=U（x,y）。消费者有固定的货币预算B，并 面临着外生的价格px和Py。并且，消费者有消费券的配额C,可以按消费券价格

21、Cx和Cy购买X和yo消费 者的问题：maxU U(x, y)s.t.Px xPy y BCx xCy y Cx,y0问题的拉格朗日函数：L U(x, y) 1(B Pxx Pyy) 2(C Cxx Cyy)因为约束为线性的，约束规范被满足，库恩-塔克必要条件为：LxUx1Px2Cx 0， x 0，xLx0，LyUy1Py2Cy 0， y 0，yLy0，L1BPxxPy y 0， 1 0， 1L10，L2CCxxC y y 0 ， 2 0，2 L 20，例 1 ：假设效用函数U xy2 ， B=100， Px= Py=1 ， C=120，CX =2, Cy =1 ,求最优解2、尖峰价格市场的划

22、分：主要市场和次级市场尖峰市场和非尖峰市场如果次级市场的需求和主要市场的规模接近时，那么能力的约束就是问题，特别是在非尖峰时期进行 价格歧视和收取低价时。即使次级市场比只要市场的 规模小，它还是有可能由于更低的(利润最大化)价 格使非尖峰需求超过产能。在这种情况下，产能的选 择必须同时考虑这两个市场，从而形成一个经典的非 线性规划问题。考虑面对一个有以下平均收益曲线的利润最大化 企业：P1 P1(Q1) ，白天(尖峰)P2 P2(Q2) ，晚上(非尖峰) 不管白天还是晚上，企业必须为每单位产品支付 b。此外，企业必须用单位成本c来购买产能。用K表示 以 Q 的单位数度量的总产能。企业的最大化问

23、题： M ax P1Q1 P2Q2 b(Q1 Q2 ) cKQ1,Q2,Ks.t. Q1 K， Q2 K，其中 P1 P1(Q1)，P2 P2 (Q2 )Q1，Q2， K 0Qi 的总收益Ri PiQi Pi(Qi )Qi是只有 Qi 的函数，我们将问题简化为：M ax R1(Q1) R2(Q2) b(Q1 Q2 ) cKQ1,Q2 ,Ks.t. Q1 K， Q2 K，Q1，Q2， K 0注意两个约束都是线性的。因而约束规范能够满足，库恩-塔克条件是必要条件。其(KT)条件：L1MR1 b10， Q10，Q1L10，L2MR2 b20， Q20，Q2L20LKc120，K0，KLK0，L1K

24、Q10，1 0，1L10，L2K Q20，2 0，2L2 0，其中MR是Qi的边际收益。采用试错法求解： 因为非尖峰市场是一个次级市场，因此它的边际 收益应位于主要市场的边际收益函数之下。而且，对 以次级市场而言，产能约束更可能是不发挥限制作用， 因此2更可能为0。首先尝试 2=0。假设Qi, Q2和K0。由互补松弛条件可得：MR1 b cMR2 b 结果： Q1 K， Q2 K 。现在假设拉格朗日乘子为正， 那么 Q1 Q2 K 。此 时：MR1 b 1MR2 b 2 c12例 2 ： 假设尖峰时期的平均收益函数是5P1 22 10 5Q1， 那么在非尖峰时期的平均收益函数是P2 18 10

25、 5Q2 每半天生产单位产出要求单位产能成本是每天 8 分。 无论是在尖峰时期使用还是在非尖峰时期使用，每单 位产能成本是一样的。在产能本身之外，每半天生产 一单位的产出（无论是白天还是夜晚） ，它都花费 6 分的营业成本（劳动力和燃料） 。求该企业的最优解。凹规划（非线性规划中的充分性定理） 库恩塔克充分性定理：凹规划 对于极大化问题，库恩和塔克给出了下面的充分 条件 （充分性定理）。给定非线性规划：M ax f （ x）s.t. gi （ x） ri （i 1,2,L m） x0如果满足下列诸条件：（1） 目标函数 f（x） 可微，且为凹函数；（2） 每个约束函数 gi（x） 可微，且为凸

26、函数；（ 3） 点 x* 满足库恩塔克极大化条件 那么， x* 为 f （x） 的整体极大值点。注：在这个定理中，我们没有提到约束规范，是因为 在（ 3）中我们已经假设库塔克条件在 x 处满足。上述定理可以表述为：如果满足约束规范，且满足条件（ 1）和（2），那 么库恩塔克极大化条件就是极大化的充分必要条 件。充分性定理对极小化问题同样适用。我们只需将 条件（ 1）和（2）中的“凹”“凸”两字互换，在（ 3） 中使用库恩塔克极小化条件即可。阿罗恩索文充分性定理：拟凹规划 已知非线性规划：M ax f （ x）s.t. gi （ x） ri （i 1,2,L m）x0如果满足下列条件：（1） 目

27、标函数 f（x） 可微且是拟凹函数；（2） 每个约束函数 gi（x） 可微且是拟凸函数；（3） 点 x* 满足库恩塔克极大值条件；（4） 满足下列诸条件中任意一个：（a） 至少对某个变量 xj 有 fj（x*） 0。（b） 对某个可取正值而不违背约束的变量 x j有 f j （ x*） 0 。（c） n 个导数 fj（x*） 不全为 0，函数 f（x） 在 x* 的邻域内二阶可微（即在X*处f（X）的所有 二阶偏导数都存在） 。（d） 函数 f（X） 为凹函数。那么，X*为 f （x）的整体极大值点。定理可以解释为：当满足条件（ 1）、（ 2）和（ 4） 时，那么库恩塔克极大化条件变为极大化的充分条 件。而且，如果又满足约束规范，那么库恩塔克极 大化条件变为极大化的充分条件。阿罗恩索文充分性定理对极小化问题：只需将 条件（ 1）、（ 2）中互换“拟凹”和“拟凸”这两个词，用极小化条