数理经济学具有约束方程的最优化.docx
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数理经济学具有约束方程的最优化
maxf（x）
s.t.g（x）bh（x）a
minf（x）
s.t.g（x）bh（x）a
第10章具有约束方程的最优化
10.1基本约束优化问题
10.2一阶必要条件
10.3二阶充分条件
10.4最优解的比较静态分析
10.5Lagrange乘子的数学含义
10.6目标函数最优值的比较静态分析
10.1基本约束优化问题一般标准的极大化问题：
maxf（x1,x2,L,xn）或者：
s.t.gj（x1,x2,L,xn）bj
hi（x1,x2,L,xn）ai
一般标准的极小化问题：
minf（x1,x2,L,xn）或者：
s.t.gj（x1,x2,L,xn）bj
hi（x1,x2,L,xn）ai
10.2+10.3：
一阶必要条件和二阶充分条件
1、等式约束优化问题
（1）两个变量一个等式约束的情形
极大化问题：
maxf（x,y）
s.t.h（x,y）c
例：
消费者的效用最大化问题
maxU（x1,x2）
s.t.p1x1p2x2I
构造拉格朗日函数：
L（x,y,）f（x,y）[h（x,y）c]f（x,y）[ch（x,y）]
一阶必要条件：
Lch（x,y）0
Lxfxhx0
Lyfyhy0
注：
通过将L视为三个选择变量的自由函数，将约束优化转化为了无约束优化。
拉格朗日乘数的解释：
*是Z*（最优值）对约束变化敏感性的度量。
特别的，c增加（预算增加）的影响表明约束条件的放宽如何影响最优解。
设：
根据一阶必要条件得到的最优解为*，x*，y*，则
L
ch（x*,y*）
0
Lx
fx（x*,y*）
*hx（x*,y*）0
Ly
fy（x*,y*）
*hy（x*,y*）0
最优值为：
L*
f（x*,y*）
*[ch（x*,y*）]
x*,y*满足:
由三个必要条件，可以确定:
因此，L*对c的导数:
x*x*（c）,
y*y*（c）
dL*
dc
fdx*
xdc
fdy*
dc
dx*
hx-
dc
dx*
*hx）—
dc
[ch（x*,y*）]-
dc
*（1
[ch（x*,y*）]
hy竽
（fx
（fy
d*
dc
dy*
*h）^~
1'y/.
dc
结论：
拉格朗日乘数的解值是由参数c引起的约束条件变化
对目标函数最优值影响的度量。
二阶条件：
约束条件h（x,y）c意味着x和y不是自由变化的，
而应该满足：
dh（x,y）hxdxhydydc0，即：
dx,hx,
Dh（x,y）dy0，或者dy匸dx。
目标函数的二阶全微分:
dz
fxdxfydy
d2z
d（dz）d（fxdxfydy）
—（fxdxfydy）dx—（fxdxfydy）dyxy
fxxdx2fxydydxfydx
x
fyxdxdyfyydy2fydy
2
fxxdx2fxydydx
根据约束条件h（x,y）c，
hxxdx22hxydydx
22
fyydyfydy
d2h
hyydy2hyd2y0
得到:
d2y
汁2tdydx
代入上式:
d2z
（f
2（fxy
h；fy）dydx（fyy和曲
根据一阶必要条件:
fy/hy
hxy）dydx（fyyhyy）dy2
d2z（fxxhxx）dx22（fXy
二阶必要条件:
对于Z的极大值：
d2Z为半负定，满足dh0，
对于Z的极小值：
d2Z为半正定，满足dh0；
二阶充分条件:
对于Z的极大值：
d2Z为负定，满足dh0，
对于Z的极小值：
d2Z为正定，满足dh0；
汪意:
d2Z的有定性不等于
xxxxxyxy
hfh的有定性
xyxyyyyy
因为：
约束规划问题转化为无约束规划，即拉格朗日函数
的无约束极值，拉格朗日函数L（x,y,）是选择变量x,y,
22
（fxxhxx）dx2（fxyhxy）dydx（fyyhyy）dy
的函数，而不仅仅是x,y的函数。
d2z
dh
0dy
hdx，代入上式:
y
d2z
Lxxdx2
2
2LxydydxLyydy
Lxxdx2
hxhx2
2Lxy（g）dxdxLyy（=dx）2
hyhy
2LxyhxhyLyyh：
）（乎r
hy
0
hx
hy
hx
Lxx
Lyx
hy
Lxy
Lyy
海塞加边矩阵
0hxhy
hx
Lxx
xy
hy
Lxy
yy
因此，d2Z为正定，满足dh0；
d2Z为负定，满足dh0；
冋0d2z正定满足dh=o
当且仅当
|H|0d2Z负定
（2）多个变量和多个等式约束的情形
maxfgK丄x）
s.th（Xi,X2丄,Xn）ci1,L,m
拉格朗日函数：
L（X“X2丄，Xn；!
2,L,m）
i[Cihi（Xi,X2,L,Xn）]
m
f（Xi,X2,L,xn）
一阶必要条件:
Xj
Xj
m
|丄0
I1Xj
1,L,n
h（Xi,X2丄
，Xn）0
1,L
m
二阶充分条件:
海塞加边矩阵
|H|
0
0
L
0
h1
h2
L
h：
0
0
L
0
h2
h；
L
h：
M
M
O
M
M
M
O
M
0
0
L
0
hm
hm
L
km
hn
h；
h2
L
hm
L11
L12
L
L1n
h2
h；
L
hm
L21
L22
L
L2n
M
M
O
M
M
M
O
M
h；
hf
L
hm
Ln1
Ln2
L
Lnn
二阶充分条件:
（n-m）个加边顺序主子式:
|H|）
对于极大值，充分条件是这些加边顺序主子式的符号交替变
IHmil，|Hm2|，
|Hm
n|（
换，1Hm11的符号为
（1）m1。
对于极小值，充分条件是这些加边顺序主子式均取相同符号，即都为
（1）m。
2、不等式约束优化问题
（1）非负约束
maxf（x）
s.t.x0
假设f（x）是可微的，由于约束条件x0，极值有三种可能
的情况：
0
0
a.内解：
f（x）
0，且x
0
b.边界解：
f（x）
0，且
x
0
c.边界解：
f（x）
0，且
x
0
将三种情况合并成一种情况：
f（x）
0，x
0且xf
（x）0
xf（x）0表示X和f（X）至少有一个为零，因此两者的乘积
一定为0。
这个特点指x和f（x）互补松弛。
推广到n个选择变量：
maxf（x^x2丄，xn）
s.t.Xj0（j1丄，n）
相应的一阶条件：
fj0，x
j0且xjfj0（j1,L,n）
2）不等式约束
maxf（x1,x2,x3）
S．t．
g1（x1,x2,x3）r1g2（x1,x2,x3）r2
x1,x2,x30
引入两个虚拟变量s1和s2，将上述问题变成等式约束和非负约束形式：
max
f（x1,x2,x3）
S．t．
g1（x1,x2,x3）s1r1g2（x1,x2,x3）s2r2x1,x2,x3,s1,s20
构造拉格朗日函数：
1
Lf（x1,x2,x3）1[r1g（x1,x2,x3）s1]
2[r2g2（x1,x2,x3）s2]
得到一阶条件：
XiX2X3
由于Xj和Si是非负的，
Xj
0，Xj
0，Si
LLLL_0
2
S1S21
因此一阶条件必须修改为:
Xj丄0.
Xj；
s+0；
1,2,j1,2,3
把虚拟变量去掉，将
L换成L:
Lf（Xi,X2,X3）
i[「ig1（Xi,X2,X3）]
2[r2
上fj（igi
Xj
2g2）0
Xj
L
Xj—
Xj
g2（Xi,X2,X3）]
0.
L「igi（Xi,X2,X3）0
i
库恩一塔克条件。
推广：
n个变量、m个约束的情形
maxf（%,X2丄,xj
1,L,m
s.t.gi（Xi,X2丄,xjr拉格朗日函数：
Lf（为，X2丄,Xn）i［「igi（Xi,X2丄，Xn）］
i1
极大化库恩一塔克条件：
L
L
Xj
0,Xj
0Xj
Xj
0;j1,L,n
L
L
0.
i
0,i-
0;i1,L,m
ii
极小化库恩一塔克条件:
L
L
Xj
0,Xj
0Xj
Xj
0;j1,L,n
L
L
0.
i
0,i-
0;i1,L,m
ii
库恩一塔克条件的解释:
①
0Xj
Xj，J
0
L门
②
0.
i
i
0
L门
Lc
③
Xj0
Xjj，
i0（互补松弛条件）
i
L
cL
Xi
0和0
i
:
边际条件；
L
—0:
约束条件
i
互补松弛条件则意味着对于每一个Xj,其最优解要么满足边际条件等式成立（—0），要么变量Xj0，或者两式同时成立。
对i而言，其最优解要么满足边
一Lc
际条件等式成立（—0），这说明第i个约束恰好完
i
全满足，要么变量i0，或者两式同时成立。
例题：
生产问题（厂商利润最大化）
maxf（Xi,X2丄,Xn）
stgi（Xi,X2丄,Xn）ri，i1,L,m
Xj0，j1,L,n
那么：
fj第j种产品的边际毛利；
i第i种资源的影子价格（使用每单位i种资源的机会成本）；
g；生产第j种产品的边际单位所消耗的第i种
资源的量；
igj生产第j种产品的边际单位所消耗的第i种资源的边际投入成本；
igj生产第j种产品的总边际成本；
L
Xj
因此：
边际条件
igj0
要求第j种产品的边际毛利不能大于它总体边际投入成本，即不允许出现投入不足的情况。
L
0
Xj
Xj
0
L
①
Xj
Xj
②
Xj
0
L
Xj
L
i
0
0，最优解
0，最终减产至停产
①丄0，i0，资源没有用完，则第i种资源的i
影子价格为0；
L
②—0，i0，若第i种资源有正的影子价格，
则资源完全使用；
注：
影子价格
影子价格（ShadowPrice）通常是指一种资源的影子价格，因此影子价格可以定义为：
某种资源处于最佳分配状态时，其边际产出价值就是这种资源的影子价格。
用线性规则方法计算出来的反映资源最优使用效果的价格。
用微积分描述资源的影子价格，即当资源增加一个数量而得到目标函数新的最大值时，目标函数最大值的增量与资源的增量的比值，就是目标函数对约束条件（即资源）的一阶偏导数。
用线性规划方法求解资源最优利用时，即在解决如何使有限资源的总产出最大的过程中，得出相应的极小值，其解就是对偶解，极小值作为对资源的经济评价，表现为影子价格。
这种影子价格反映劳动产品、自然资源、劳动力的最优使用效果。
二、约束规范
只有满足特定条件时，库恩—塔克条件才是必要条件。
这条件叫约束规范（constraintqualification）约束规范是对非线性规划中的约束函数施加的某些限制，目的是为了排除可行集边界上的某些不规则性，这些不规则性可能会违背能够产生最优解的库恩—塔克条件。
1、边界点的不规则性
例1:
maxx1
s.tx2（1x1）30
x1,x20
要是人最大，最优解是点（1,0）,但是不满足库恩一塔克极大化条件。
拉格朗日函数：
LX1JX2（1x,）3]
第一个边际条件：
L2
131（1X1）20
根据互补松弛条件:
X0，20；
L彳
但，，不满足库恩一塔克条件。
入X11
这种异常产生的原因在于本例的最优解（1,0）出现向外指的岐点（cusp）。
它构成了使库恩一塔克条件在边界的最优解失效的一种不规则性。
当曲线突然反向，使得该点一边的斜率等于该点另一边的斜率时，所形成的尖点（Sharppoint）就是岐点。
岐点是最经常引用的使库恩一塔克条件失效的原因，但事实上岐点的出现既不是库恩一塔克条件在最优解失效的必要条件，也不是充分条件。
例2:
对例1的问题加上新的约束条件
2x1x22
其边界为X222x1。
显然，可行区域仍然同以前一样，最优解也出现在岐点。
但其满足库恩一塔克条件。
其拉格朗日函数：
LX1JX2（1xj3]2【22人X?
]
和边际条件:
L
X1
1（1
X1）2220
显然，
*
X1
X2
X2
（1
22x1
1,X；
0,11,
X1）30
X2
2,满足上面的不等式，而且
也满足非负限制和互补松弛条件。
事实上，1可以取任意的非负值，所有的条件仍然满足。
这说明拉格朗日乘数的最优值不一定是唯一的。
同时也说明，尽管有岐点，但库恩一塔克条件仍然成立。
例3：
最优化问题
maxx2X
s.t（10x：
x2）30
x12
x1,x20
可行区域如图所示，任何地方都不含岐点。
但在
最优解（2,6）处，库恩一塔克条件仍然不成立
L
1（10x2x2）3
X2
2（2Xi）
第二个边际条件:
丄
X2
131（10x2x2）2
*
因为X2
6为正，10x2X2=0，因此无论
1取何值，
都得到$=1。
因此，库恩一塔克条件在没有岐点时也
2
可能不成立
原因?
2、约束规范
如果满足某一约束规范，则边界的不规则性（有
岐点或没有岐点的不规则性）就不可能出现
令x*（X；,X2丄，£）是可行区域边界上的一个（可能的解）点，令dx（dx^,dx2丄，dXn）表示由所提到的边界点移动的特定的方向。
要求:
①，如果第j个选择变量在点X*处取零值，那么只允许在Xj轴上有非负变化，即
*
如果Xj0，那么dXj0
（1）
②，如果在点x*处恰好满足第i个约束条件的等式约束，那么将只允许dXi，dX2，L,dxn的取值使约束函数值gi（x*）不增加（对极大化问题），或不减少（对极小化问题），即
■士・■■
i*iii
dg（X）gidXig2dX2LgndXn
0（极大化）
0（极小化）
如果gi（x*）ri
（2）
i*
其中所有的偏导数gj都在x处计算。
如果向量dx满足
（1）和
（2），则我们称其为测试向量（testvector）。
如果存在满足下列条件的可微弧：
（1）从点x*出发；
（2）整个包含在可行区域内；（3）与已知测试向量相切，贝蛾们把这样的弧段称为该测试向量的规范
约束规范：
如果对可行区域边界上的任意点x,对每一测试向量dx，存在一规范弧，那么就满足约束规范。
练习：
验证例1和例3中的最优解不满足约束规范。
3、线性约束条件
如果可行区域是仅由线性约束形成的凸集，那么
约束规范总是满足，且库恩-塔克条件在最优解处总成
x〔a〔2x?
a?
i片a?
2x?
ri
讨论边界上的点是否满足约束规范
课后习题
1、已知最优化问题：
maxx1
s.t.x12x221
x1,x20
试用图解法解此题。
并检验最优解点是否满足
（1）约束规范；
（2）库恩-塔克极大化条件。
2、已知最优化问题：
minCx1
s.t.x12x220
x1,x20
试用图解法解此题。
最优解在岐点出现吗？
并检验最优解点是否满足
（1）约束规范；
（2）库恩-塔克极小化条件。
经济应用
1、战争时期配额供应
假设有两件物品：
x和y被定量供应。
消费者的效用函数为U=U（x,y）。
消费者有固定的货币预算B，并面临着外生的价格px和Py。
并且，消费者有消费券的
配额C,可以按消费券价格Cx和Cy购买X和yo消费者的问题：
maxUU（x,y）
s.t.
Pxx
PyyB
Cxx
CyyC
x,y
0
问题的拉格朗日函数：
LU（x,y）1（BPxxPyy）2（CCxxCyy）
因为约束为线性的，
约束规范被满足，
库恩-塔克必要
条件为：
Lx
Ux
1Px
2Cx0，x0，
xLx
0，
Ly
Uy
1Py
2Cy0，y0，
yLy
0，
L1
B
Pxx
Pyy0，10，1
L1
0，
L2
C
Cxx
Cyy0，20，
2L2
0，
例1：
假设效用函数
Uxy2，B=100，Px
=Py
=1，C=120，
CX=2,Cy=1,求最优解
2、尖峰价格
市场的划分：
主要市场和次级市场
尖峰市场和非尖峰市场
如果次级市场的需求和主要市场的规模接近时，
那么能力的约束就是问题，特别是在非尖峰时期进行价格歧视和收取低价时。
即使次级市场比只要市场的规模小，它还是有可能由于更低的（利润最大化）价格使非尖峰需求超过产能。
在这种情况下，产能的选择必须同时考虑这两个市场，从而形成一个经典的非线性规划问题。
考虑面对一个有以下平均收益曲线的利润最大化企业：
P1P1（Q1），白天（尖峰）
P2P2（Q2），晚上（非尖峰）不管白天还是晚上，企业必须为每单位产品支付b。
此外，企业必须用单位成本c来购买产能。
用K表示以Q的单位数度量的总产能。
企业的最大化问题：
MaxP1Q1P2Q2b（Q1Q2）cK
Q1,Q2,K
s.t.Q1K，Q2K，
其中P1P1（Q1），P2P2（Q2）
Q1，Q2，K0
Qi的总收益
RiPiQiPi（Qi）Qi
是只有Qi的函数，我们将问题简化为：
MaxR1（Q1）R2（Q2）b（Q1Q2）cK
Q1,Q2,K
s.t.Q1K，Q2K，
Q1，Q2，K0
注意两个约束都是线性的。
因而约束规范能够满足，
库恩-塔克条件是必要条件。
其（KT）条件：
L1
MR1b
1
0，Q1
0，
Q1L1
0，
L2
MR2b
2
0，Q2
0，
Q2L2
0
LK
c1
2
0，K
0，
KLK
0，
L1
KQ1
0，
10，
1L1
0，
L2
KQ2
0，
20，
2L
20，
其中MR是Qi的边际收益。
采用试错法求解：
因为非尖峰市场是一个次级市场，因此它的边际收益应位于主要市场的边际收益函数之下。
而且，对以次级市场而言，产能约束更可能是不发挥限制作用，因此2更可能为0。
首先尝试2=0。
假设Qi,Q2和
K>0。
由互补松弛条件可得：
MR1bc
MR2b结果：
Q1K，Q2K。
现在假设拉格朗日乘子为正，那么Q1Q2K。
此时：
MR1b1
MR2b2c12
例2：
假设尖峰时期的平均收益函数是
5
P122105Q1，那么在非尖峰时期的平均收益函数是
P218105Q2每半天生产单位产出要求单位产能成本是每天8分。
无论是在尖峰时期使用还是在非尖峰时期使用，每单位产能成本是一样的。
在产能本身之外，每半天生产一单位的产出（无论是白天还是夜晚），它都花费6分的营业成本（劳动力和燃料）。
求该企业的最优解。
凹规划（非线性规划中的充分性定理）库恩—塔克充分性定理：
凹规划对于极大化问题，库恩和塔克给出了下面的充分条件（充分性定理）。
给定非线性规划：
Maxf（x）
s.t.gi（x）ri（i1,2,Lm）x0
如果满足下列诸条件：
（1）目标函数f（x）可微，且为凹函数；
（2）每个约束函数gi（x）可微，且为凸函数；
（3）点x*满足库恩—塔克极大化条件那么，x*为f（x）的整体极大值点。
注：
在这个定理中，我们没有提到约束规范，是因为在（3）中我们已经假设库—塔克条件在x处满足。
上述定理可以表述为：
如果满足约束规范，且满足条件
（1）和
（2），那么库恩—塔克极大化条件就是极大化的充分必要条件。
充分性定理对极小化问题同样适用。
我们只需将条件
（1）和
（2）中的“凹”“凸”两字互换，在（3）中使用库恩—塔克极小化条件即可。
阿罗—恩索文充分性定理：
拟凹规划已知非线性规划：
Maxf（x）
s.t.gi（x）ri（i1,2,Lm）
x0
如果满足下列条件：
（1）目标函数f（x）可微且是拟凹函数；
（2）每个约束函数gi（x）可微且是拟凸函数；
（3）点x*满足库恩—塔克极大值条件；
（4）满足下列诸条件中任意一个：
（a）至少对某个变量xj有fj（x*）0。
（b）对某个可取正值而不违背约束的变量xj
有fj（x*）0。
（c）n个导数fj（x*）不全为0，函数f（x）在x*的邻域内二阶可微（即在X*处f（X）的所有二阶偏导数都存在）。
（d）函数f（X）为凹函数。
那么，X*为f（x）的整体极大值点。
定理可以解释为：
当满足条件
（1）、
（2）和（4）时，那么库恩—塔克极大化条件变为极大化的充分条件。
而且，如果又满足约束规范，那么库恩—塔克极大化条件变为极大化的充分条件。
阿罗—恩索文充分性定理对极小化问题：
只需将条件
（1）、
（2）中互换“拟凹”和“拟凸”这两个词，
用极小化条
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