中考经典几何模型及常规辅助线.docx

1、中考经典几何模型及常规辅助线中点模型【模型1】倍长1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行线延长相交【模型2】遇多个中点，构造中位线1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中，ZABC=60。，G是DF的中点，连接GC、GE.（1） 如图1,当点E在BC边上时，若AB=10, BF=4,求GE的长；（2） 如图2,当点F在AB的延长线上时，线段G、GC有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想，并给 予证明；（3） 如图3,当点尸在CB的延长线上时，（2）问中的关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明.易证明 BCE竺AFIE,则是等边三角形，GE=*GC,

2、且GE丄GC(3)【例2】如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接DE、EF, AE=AF, ZDAE =ZBAF.(1)求证：CE=CF；(2)若ZABC= 120，点G是线段AF的中点，连接DG、EG,求证：DG丄EG.【解答(1)证明 ABEAADF 即可；(2)延长DG与AB相交于点乩连接证明 HBE丝AEFD即可为什么为什么为什么？【例3】如图，在凹四边形ABCD中，AB=CD, E、F分别为BC、AD的中点，BA交EF延长线于G点, CD交EF于H点,求证：ZBGE=ZCHE角平分线模型【模型1构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构等腰三角形【例4】如图，平行四边

3、形ABCD中，平分ZBAD交BC边于E, EF丄AE交边CD于F点,交4D边TH,延长BA到G点，使AG=CF9连接GF 若B C=7, DF=3, EH=3AE,则GF的长为 【解答】延长 F、AB 交于点 I,易得 CE=CF, BA=BE，设 CE=x,则 BA = CD=3+x, BE=7x,3+x=7x, x=2, AB=BE=5, A=v/10 作 A/丄BC,连接 AC,求得 GF=AC=3近手拉手模型【条件】OA = OB, OC=OD, ZAOBZCOD【结论】 OACAOBD, ZAEB=ZAOB=ZCOD （即都是旋转角）；0平分ZAED【例6】如图，ABC中，ZBAC=

4、90,【例5 （2014重庆市A卷）如图，正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、3D的交点，点E在CD,且DE = 2CE,连接BE.过点C作CF丄BE,垂足是F,连接OF,则OF的长为 AB=AC, AD丄BC于点D,点E在AC边上，连接AGBE于凡交BC于点G,求ZDFG.【答案】45。【例7 （2014重庆E卷）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线一点，BE=DG,连接EG, CF丄EG交EG于点、H,交AD于点F,连接CE、BH.若BH=&则FG【答案】52邻边相等对角互补模型【模型1】【条件】如图，四边形 ABCD 中，AB=AD, ZBAD+

5、ZBCD= ZABC+ ZADC= 180。【结论】AC平分ZBCD【模型2】【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD, ZBAD = ZBCD=90。【结论】 ZACB=ZACD=45。； BC+CD=2AC【例8】如图，矩形ABCD中，AB=6, AD=5, G为CD中点,DE=DG, FG丄BE于F,则DF为 .【答案】|/5【例9】如图，正方形ABCD的边长为3,延长CB至点M,使BM= 1,连接AM,过点B作BN丄AM, 垂足为N, 0是对角线AC、BD的交点，连结ON,则ON的长为 .【答案】|5【例10】如图，正方形ABCD的面枳为64,氐BCE是等边三角形，F是CE的中点，A

6、E. BF交于点G, 则DG的长为 .【答案】4少+4半角模型【模型1】【条件】如图，四边形 ABCD 中，AB=AD ZBAD+ ZBCD=ZABC+ ZADC= 180, ZEAF= -ZBAD.点E在直线BC上,点尸在直线CD上2【结论】BE、DF、EF满足截长补短关系【模型2】【条件】如图，在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足ZE4F=45。，AE. AF分别与对角线BD交于点M、N.【结论】BE+DF=EF； Swe + ； AH=AB； Ccf=2AB；BW+DN2=册；ANMsDNFsBEMsAEFsBNAsDAMJ 由 AO： AH=AO： AB=1：

7、 血 可得到 ANM和厶AEF相似比为1：忑）比皿少=Spq边形杯也:AOMsadf； AONsABE；心则 为等腰直角三角形，ZAEN=45 LAFM为等腰直角三角形，ZAFM=45；4、M、F、D四点共圆,A、B、E、N四点共圆，M、N、F、C、E五点共圆.【模型2变形】【条件】在正方形ABCD中，已知E、F分别是CB、DC延长线上的点，且满足ZEAF=450【结论】BE+EF=DF【模型2变形】【条件】在正方形ABCD中，已知E、F分别是BC、CD延长线上的点，且满足ZEAF=45【结论】DF+EF=BE【例11】如图，AABC和是两个全等的等腰直角三角形，ZBAC=ZEDF=90 ,

8、的顶点E与AABC的斜边BC的中点重合，将ADEF绕点E旋转,旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P, 射线EF与线段AB相交于点G,与射线CA相交于点0若AQ=12, BP=3,则PG= 【解答】连接A&题目中有一线三等角模型和半角模型设AC=x,由厶BPCsMEQ得誓=卷，3/（芈）=芈“（兀+12）,解得x=12设 PG=y,由 AG2BP2=PG2 得 32+（123x）2=x2,解得 x=5【例12】如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F在AB、AD , RAE=DF连接BF与DE交于点G,连接CG与BD交于点若CG=1,则S 叫边sq= 【解答】半一线三等角模型【条件】ZE

9、DF=ZB=ZC, fi DE=DF【结论】/BDE丝5CFD【例13】如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点，EB=3, GC=4,连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边为 【解答】如图，构造一线三等角模型，4EFH空HFG1则 BC=BF+CF=HF-BH+FICI=GI-BH+HE-CI=ft弦图模型【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段【结论】新构成了同心的正方形【例14】如图，点E为正方形ABCD边加上一点，点F在DE的延长线上，AF=AB. AC与FD交于点G, ZFAB的平分线交FG于点H,过点D作HA的垂线交HA的延长线于点/.若A

10、H=3Ah FH=2y2,则 DG= 【解答】押【例15】如图，AABC中，ZBAC=90 , AB=AC. AD丄BC于点D,点E是AC中点，连接BE,作AG 丄BE于F,交BC于点G,连接EG,求证：AG+EG=BE【解答】过点C作CH丄AC交AG的延长线于点易证最短路径模型【两点之间线段最短】U将军饮马2费马点【垂线段最短】【两边之差小于第三边】【例16】如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入I I,现拟在货场内建一 个收费站P,在铁路线BC段上建一个发货站台设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为I,求/的最 小值.【解答】600 +500VL 点线为最短

11、.【解答】如图，取AB中点P,连接PH、PD,易证PH$PDPH即0胎巧1怎样才能找到这样的P 点：实际上是某个圆的 圆心【例18】如图所示，在矩形ABCD中，AB=4, AD= 42 , E是线段AB的中点，F是线段BC上的动点,BEF沿直线EF翻折到EF,连接DBS DB最短为 【解答】4哪个点是圆心？应该将 圆心与哪个点相连？用 谁减去谁呢？【例19】女口图1, UABCD中，AE丄BC于& AE=AD. EG丄AB于G,延长GE、DC交于点F,连接AF(1)若 BE=2EC, 求 AD 的长；(2)求证：EG=BG+FC；(3)如图2,若AF= 5y2 , EF=2,点M是线段AG上一

12、动点，连接ME,将ZGME沿ME翻折到GME, 连接DG试求当QG取得最小值时GM的长.【解答】(1)3(2)如图所示(3)当ZX7最小时D、E、G三点共线3 3解得 GM =GN + MN = 4课后练习题【练习1】如图，以正方形的边4B为斜边在正方形内作直角三角形ABE, ZAEB=90 ,AC.BD交于0.已 知AE、BE的长分别为3、5,求三角形OBE的面积【解答】I乙【练习2】问题1：如图1,在等腰梯形ABCD中，AD/BC. AB=BC=CD,点M, N分别在AD, CD上，ZMBN=- 2ZABC,试探究线段MN, AM, CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；问题2：如图2

13、,在四边形ABCD中，AB=BC, ZABC+ZADC= 180 ,点M, N分别在DA, CD延长线，若ZMBN= - ZABC仍然成立，请你进一步探究线段MN, AM. CN又有怎么样的关量关系？写出你 2的猜想，并给予证明。【解答】问题一方法一：如图所示方法二：如图所示问题二 方法一：方法二：【练习3】已知：如图1,正方形ABCD中，为对角线BD上一点，过E点作EF丄BD交BC于F,连接 DF, G为DF中点,连接EG, CG.（1） 求证：EG=CG 且 EG丄CG；（2） 将图1中ABEF绕B逆时针旋转45 ,如图2所示，取DF中点G,连接EG, CG,问（1）中的结 论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.（3） 将图1中ABEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然 成立？ADD團2A【解答】略(2)方法一：如图所示B C方法二：如图所示(3)方法一:方法二: