中考经典几何模型及常规辅助线.docx

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中考经典几何模型及常规辅助线

中点模型

【模型1】倍长

1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行线延长相交

【模型2】遇多个中点，构造中位线

1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连

【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中，ZABC=60。

，G是DF的中点，连接GC、GE.

（1）如图1,当点E在BC边上时，若AB=10,BF=4,求GE的长；

（2）如图2,当点F在AB的延长线上时，线段G£、GC有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想，并给予证明；

（3）如图3,当点尸在CB的延长线上时，

（2）问中的关系还成立吗？

写出你的猜想，并给予证明.

易证明△BCE竺AFIE,则是等边三角形，GE=*GC,且GE丄GC

（3）

【例2】如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接DE、EF,AE=AF,ZDAE=ZBAF.

（1）求证：

CE=CF；

（2）若ZABC=120°，点G是线段AF的中点，连接DG、EG,求证：

DG丄EG.

【解答］

（1）证明△ABE^AADF即可；

（2）延长DG与AB相交于点乩连接证明△HBE丝AEFD即可

为什么为什么为什么？

【例3】如图，在凹四边形ABCD中，AB=CD,E、F分别为BC、AD的中点，BA交EF延长线于G点,CD交EF于H点,求证：

ZBGE=ZCHE・

角平分线模型

【模型1］构造轴对称

【模型2】角平分线遇平行构等腰三角形

【例4】如图，平行四边形ABCD中，平分ZBAD交BC边于E,EF丄AE交边CD于F点,交4D边

TH,延长BA到G点，使AG=CF9连接GF•若BC=7,DF=3,EH=3AE,则GF的长为・

【解答】

延长F£、AB交于点I,易得CE=CF,BA=BE，设CE=x,则BA=CD=3+x,BE=7~x,

3+x=7—x,x=2,AB=BE=5,A£=v/10»作A/丄BC,连接AC,求得GF=AC=3近

手拉手模型

【条件】OA=OB,OC=OD,ZAOB^ZCOD

【结论】△OAC^AOBD,ZAEB=ZAOB=ZCOD（即都是旋转角）；0£平分ZAED

【例6】如图，'ABC中，ZBAC=90°,

【例5]（2014重庆市A卷）如图，正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、3D的交点，点E在

CD±,且DE=2CE,连接BE.过点C作CF丄BE,垂足是F,连接OF,则OF的长为・

AB=AC,AD丄BC于点D,点E在AC边上，连接AG±BE

于凡交BC于点G,求ZDFG.

【答案】45。

【例7]（2014重庆E卷）如图，在边长为6©的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线

一点，BE=DG,连接EG,CF丄EG交EG于点、H,交AD于点F,连接CE、BH.若BH=&则FG

【答案】5^2

邻边相等对角互补模型

【模型1】

【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD+ZBCD=ZABC+ZADC=180。

【结论】AC平分ZBCD

【模型2】

【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=ZBCD=90。

【结论】①ZACB=ZACD=45。

；®BC+CD=^2AC

【例8】如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=5,G为CD中点,DE=DG,FG丄BE于F,则DF为.

【答案】|>/5

【例9】如图，正方形ABCD的边长为3,延长CB至点M,使BM=1,连接AM,过点B作BN丄AM,垂足为N,0是对角线AC、BD的交点，连结ON,则ON的长为.

【答案】|^5

【例10】如图，正方形ABCD的面枳为64,氐BCE是等边三角形，F是CE的中点，AE.BF交于点G,则DG的长为.

【答案】4少+4

半角模型

【模型1】

【条件】如图，四边形ABCD中，AB=ADZBAD+ZBCD=ZABC+ZADC=180°,ZEAF=-ZBAD.点E在直线BC上,点尸在直线CD上

2

【结论】BE、DF、EF满足截长补短关系

【模型2】

【条件】如图，在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足ZE4F=45。

，AE.AF分别与对角线BD交于点M、N.

【结论】①BE+DF=EF；②Swe+；®AH=AB；®C^cf=2AB；⑤BW+DN2

=册；©'ANMs'DNFs'BEMs'AEFs'BNAs'DAMJ由AO：

AH=AO：

AB=1：

血可得到

△ANM和厶AEF相似比为1：

忑）⑦比皿少=Spq边形杯也:

⑧△AOMs^adf；△AONs^ABE；⑨心则为等腰直角三角形，ZAEN=45\LAFM为等腰直角三角形，ZAFM=45°；⑩4、M、F、D四点共圆,

A、B、E、N四点共圆，M、N、F、C、E五点共圆.

【模型2变形】

【条件】在正方形ABCD中，已知E、F分别是CB、DC延长线上的点，且满足ZEAF=450

【结论】BE+EF=DF

【模型2变形】

【条件】在正方形ABCD中，已知E、F分别是BC、CD延长线上的点，且满足ZEAF=45°

【结论】DF+EF=BE

【例11】如图，AABC和是两个全等的等腰直角三角形，ZBAC=ZEDF=90°,的顶点E

与AABC的斜边BC的中点重合，将ADEF绕点E旋转,旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P,射线EF与线段AB相交于点G,与射线CA相交于点0•若AQ=12,BP=3,则PG=・

【解答】连接A&题目中有一线三等角模型和半角模型

设AC=x,由厶BPCsMEQ得

誓=卷，3/（芈¥）=芈“（兀+12）,解得x=12

设PG=y,由AG2^BP2=PG2得32+（12—3—x）2=x2,解得x=5

【例12】如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F在AB、AD±,RAE=DF・连接BF与DE交于点

G,连接CG与BD交于点若CG=1,则S\叫边sq=•

【解答】半

一线三等角模型

【条件】ZEDF=ZB=ZC,fiDE=DF

【结论】/\BDE丝5CFD

【例13】如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点，EB=3,GC=4,连接EF、

FG、GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边为・

【解答】如图，构造一线三等角模型，4EFH空HFG1

则BC=BF+CF=HF-BH+FI—CI=GI-BH+HE-CI=^ft

弦图模型

【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段

【结论】新构成了同心的正方形

【例14】如图，点E为正方形ABCD边加上一点，点F在DE的延长线上，AF=AB.AC与FD交于点

G,ZFAB的平分线交FG于点H,过点D作HA的垂线交HA的延长线于点/.若AH=3AhFH=2y[2,则DG=・

【解答】押

【例15】如图，AABC中，ZBAC=90°,AB=AC.AD丄BC于点D,点E是AC中点，连接BE,作AG丄BE于F,交BC于点G,连接EG,求证：

AG+EG=BE・

【解答】过点C作CH丄AC交AG的延长线于点易证

最短路径模型

【两点之间线段最短】

U将军饮马

2＞费马点

【垂线段最短】

【两边之差小于第三边】

【例16】如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入II,现拟在货场内建一个收费站P,在铁路线BC段上建一个发货站台设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为I,求/的最小值.

【解答】600+500VL点线为最短.

【解答】如图，取AB中点P,连接PH、PD,易证PH$PD—PH即0胎巧・1・

怎样才能找到这样的P点：

实际上是某个圆的圆心•

【例18】如图所示，在矩形ABCD中，AB=4,AD=4^2,E是线段AB的中点，F是线段BC上的动点,

△BEF沿直线EF翻折到"EF,连接DBSDB'最短为・

【解答】4

哪个点是圆心？

应该将圆心与哪个点相连？

用谁减去谁呢？

【例19】女口图1,UABCD中，AE丄BC于&AE=AD.EG丄AB于G,延长GE、DC交于点F,连接AF・

（1）若BE=2EC,求AD的长；

（2）

求证：

EG=BG+FC；

（3）如图2,若AF=5y[2,EF=2,点M是线段AG上一动点，连接ME,将Z\GME沿ME翻折到△G'ME,连接DG\试求当QG'取得最小值时GM的长.

【解答】

（1）3

（2）

如图所示

（3）当ZX7最小时D、E、G'三点共线

3—3

解得GM=G'N+MN=

4

课后练习题

【练习1】如图，以正方形的边4B为斜边在正方形内作直角三角形ABE,ZAEB=90°,AC.BD交于0.已知AE、BE的长分别为3、5,求三角形OBE的面积•

【解答】I

乙

【练习2】

问题1：

如图1,在等腰梯形ABCD中，AD//BC.AB=BC=CD,点M,N分别在AD,CD上，ZMBN=-2

ZABC,试探究线段MN,AM,CN有怎样的数量关系？

请直接写出你的猜想；

问题2：

如图2,在四边形ABCD中，AB=BC,ZABC+ZADC=180°,点M,N分别在DA,CD延长

线，若ZMBN=-ZABC仍然成立，请你进一步探究线段MN,AM.CN又有怎么样的关量关系？

写出你2

的猜想，并给予证明。

【解答】

问题一

方法一：

如图所示

方法二：

如图所示

问题二方法一：

方法二：

【练习3】已知：

如图1,正方形ABCD中，为对角线BD上一点，过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.

（1）求证：

EG=CG且EG丄CG；

（2）将图1中ABEF绕B逆时针旋转45°,如图2所示，取DF中点G,连接EG,CG,问

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

（3）将图1中ABEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问

（1）中的结论是否仍然成立？

A

D

D

團2

A

【解答】

⑴略

（2）方法一：

如图所示

BC

方法二：

如图所示

（3）

方法一:

方法二: