专题11 一元二次方程及其应用解析版.docx

1、专题11 一元二次方程及其应用解析版专题11 一元二次方程及其应用1一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。2一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。3一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。4一元二次方程的解法（1）直接开方法：适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。（2）配方法：套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(

2、a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：将已知方程化为一般形式； 化二次项系数为1； 常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q0，方程的根是x=-pq；如果q0,方程无实根（3）公式法：当b2-4ac0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。其中：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母表示，即=b2-4ac。=b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根。，=b2-4ac=0时，

3、方程有两个相等的实数根。=b2-4ac0时，方程无实数根。定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母表示，即=b2-4ac。（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。5.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数；第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程；第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法；第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。第6步：答。【

4、例题1】（2020临沂）一元二次方程x24x80的解是（）Ax12+2，x222 Bx12+2，x222Cx12+2，x222 Dx12，x22【答案】B【分析】方程利用配方法求出解即可【解析】一元二次方程x24x80，移项得：x24x8，配方得：x24x+412，即（x2）212，开方得：x22，解得：x12+2，x222【对点练习】（2019浙江金华）用配方法解方程x2-6x-8=0时，配方结果正确的是（ ）A.(x-3)2=17 B.(x-3)2=14 C.（x-6)2=44 D.(x-3）2=1【答案】A【解析】配方法解一元二次方程x2-6x-8=0，x2-6x+9=8+9，（x-3）

5、2=17.【点拨】本题体现直接配方法解一元二次方程。【对点练习】（2019年山东省威海市）一元二次方程3x242x的解是【答案】x1，x2【解析】直接利用公式法解方程得出答案3x242x3x2+2x40，则b24ac443（4）520，故x，解得：x1，x2【点拨】本题体现求根公式法解一元二次方程。【例题2】（2020菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x24x+k0的两个根，则k的值为（）A3 B4 C3或4 D7【答案】C【分析】当3为腰长时，将x3代入原一元二次方程可求出k的值；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式0，解之可得出k值，利用根与系数的关系可

6、得出两腰之和，将其与3比较后可得知该结论符合题意【解析】当3为腰长时，将x3代入x24x+k0，得：3243+k0，解得：k3；当3为底边长时，关于x的方程x24x+k0有两个相等的实数根，（4）241k0，解得：k4，此时两腰之和为4，43，符合题意k的值为3或4【对点练习】(2019内蒙古包头市)已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，则m的值是（ ）A. 34 B.30 C.30或34 D.30或36【答案】A.【解析】分两种情况讨论：1若4为等腰三角形底边长，则a，b是两腰，方程x2-12x+m+2=0有两个相等实根，=(-

7、12)2-41(m+2)=136-4m=0,m=34.此时方程为x2-12x+36=0，解得x1=x2=6.三边为6，6，4，满足三边关系，符合题意.2若4为等腰三角形腰长，则a，b中有一条边也为4，方程x2-12x+m+2=0有一根为4.42-124+m+2=0，解得，m=30.此时方程为x2-12x+32=0，解得x1=4，x2=8.三边为4，4，8，不满足三边关系，故舍去.综上，m的值为34.【例题3】（2020贵州黔西南）已知关于x的一元二次方程(m1)x22x10有实数根，则m的取值范围是（ ）A. m2 B. m2 C. m2且m1 D. m2且m1【答案】D【解析】根据二次项系数

8、非零及根的判别式0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围解：因为关于x的一元二次方程x22xm0有实数根，所以b24ac224(m1)10，解得m2又因为(m1)x22x10是一元二次方程，所以m10综合知，m的取值范围是m2且m1，因此本题选D【点拨】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键【对点练习】（2019湖北咸宁）若关于x的一元二次方程x22x+m0有实数根，则实数m的取值范围是（）Am1 Bm1 Cm1 Dm1【答案】【解析】关于x的一元二次方程x22x+m0有实数根，（2）24m0

9、，解得：m1【例题4】（2020衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A352035x20x+2x2600 B352035x220x600 C（352x）（20x）600 D（35x）（202x）600【答案】C【分析】若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（352x）米，宽为（20x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解【解析】依题意，得：（352x）（20x）600【对点练习】（2019

10、哈尔滨）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（）A20% B40% C18% D36%【答案】A【解析】本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题，按照公式a（1x）2b对照参数位置代入值即可，公式的记忆与运用是本题的解题关键设降价的百分率为x根据题意可列方程为25（1x）216解方程得，（舍）每次降价得百分率为20%【点拨】本题体现直接开方法解一元二次方程。一、选择题1（2020凉山州）一元二次方程x22x的根为（）Ax0 Bx2 Cx0或x2 Dx0或x2【答案】C【分析】移项后利用因式分解法求解可得【解析】x22x，x22x0

11、，则x（x2）0，x0或x20，解得x10，x22，2（2020怀化）已知一元二次方程x2kx+40有两个相等的实数根，则k的值为（）Ak4 Bk4 Ck4 Dk2【答案】C【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值【解析】一元二次方程x2kx+40有两个相等的实数根，（k）24140，解得：k43（2020黑龙江）已知关于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+2k0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（）Ak1/4 Bk1/4 Ck4 Dk1/4且k0【答案】B【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出

12、k的取值范围【解析】关于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+2k0有两个实数根x1，x2，（2k+1）241（k2+2k）0，解得：k1/44（2020泰安）将一元二次方程x28x50化成（x+a）2b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）A4，21 B4，11 C4，21 D8，69【答案】A【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案【解析】x28x50，x28x5，则x28x+165+16，即（x4）221，a4，b21，5（2020黑龙江）已知2+是关于x的一元二次方程x24x+m0的一个实数根，则实数m的值是（）A0 B1

13、C3 D1【答案】B【分析】把x2+代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值【解析】根据题意，得（2+）24（2+）+m0，解得m16（2020滨州）对于任意实数k，关于x的方程x2/2-（k+5）x+k2+2k+250的根的情况为（）A有两个相等的实数根 B没有实数根 C有两个不相等的实数根 D无法判定【答案】B【分析】先根据根的判别式求出“”的值，再根据根的判别式的内容判断即可【解析】x2/2-（k+5）x+k2+2k+250，（k+5）24（k2+2k+25）/2k2+6k25（k3）216，不论k为何值，（k3）20，即（k3）2160，所以方程没有实数根.7. （2019湖南

14、衡阳）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（）A9（12x）1 B9（1x）21 C9（1+2x）1 D9（1+x）21【答案】B【解析】等量关系为：2016年贫困人口（1下降率）22018年贫困人口，把相关数值代入计算即可设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：二、填空题8（2020辽阳）若关于x的一元二次方程x2+2xk0无实数根，则k的取值范围是 【答案】k1【分析】根据根的判别式即可求出答

15、案【解析】由题意可知：4+4k0，k19（2020烟台）关于x的一元二次方程（m1）x2+2x10有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 【答案】m0且m1【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m10且224（m1）（1）0，然后求出两个不等式的公共部分即可【解析】根据题意得m10且224（m1）（1）0，解得m0且m110（2020扬州）方程（x+1）29的根是 【答案】x12，x24【分析】根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方，再进行计算即可【解析】（x+1）29，x+13，x12，x2411（2020上海）如果关于x的方程x24x+m0有两个相等的实数根，那么m的值是 【

16、答案】4【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式b24ac0，即可求m值【解析】依题意，方程x24x+m0有两个相等的实数根，b24ac（4）24m0，解得m4，12（2020天水）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x28x+120的根，则该三角形的周长为【答案】13【分析】先利用因式分解法解方程x28x+120，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求【解析】x28x+120，（x2）（x6）0，x12，x26，三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x28x+120的根，2+25，2+56，三角形的第三边长是6，该三角形的周长为：2+5+6131

17、3.（2019年江苏省扬州市）一元二次方程x（x2）x2的根是【答案】1或2【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可x（x2）x2，x（x2）（x2）0，（x2）（x1）0，x20，x10，x12，x2114.（2019湖北十堰）对于实数a，b，定义运算“”如下：ab（a+b）2（ab）2若（m+2）（m3）24，则m【答案】3或4【解析】根据题意得（m+2）+（m3）2（m+2）（m3）224，（2m1）2490，（2m1+7）（2m17）0，2m1+70或2m170，所以m13，m2415. （2019吉林长春）一元二次方程x2-3x+1=0根的判别式的值为_.【

18、答案】5【解析】a=1，b=-3，c=1，=b2-4ac=(-3)2-411=516.（2019年甘肃省天水市）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元则该地区居民年人均收入平均增长率为（用百分数表示）【答案】40%【解析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率，本题得以解决设该地区居民年人均收入平均增长率为x，20000（1+x）239200，解得，x10.4，x22.4（舍去），该地区居民年人均收入平均增长率为40%17.（2019年江苏省连云港市）已知关于x的

19、一元二次方程ax2+2x+2c0有两个相等的实数根，则+c的值等于【答案】2 【解析】根据“关于x的一元二次方程ax2+2x+2c0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a和c的等式，整理后即可得到的答案根据题意得：44a（2c）0，整理得：4ac8a4，4a（c2）4，方程ax2+2x+2c0是一元二次方程，a0，等式两边同时除以4a得：c2，则+c2三、解答题18（2020河北）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果已知A，B两区初始显示的分别是25和16，如图如，第一次按键后，A，B两区分别显示：（1）从初始状态

20、按2次后，分别求A，B两区显示的结果；（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由【答案】见解析。【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）根据题意得到25+4a2+（1612a），根据整式加减的法则计算，然后配方，根据非负数的性质即可得到结论【解析】（1）A区显示的结果为：25+2a2，B区显示的结果为：166a；（2）这个和不能为负数，理由：根据题意得，25+4a2+（1612a）25+4a21612a4a212a+9；（2a3）20，这个和不能为负数19（2020孝感）已知关于x的一元二次方程x2（2k+1）xk220（1）求证：无论k为何实数，

21、方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1x23，求k的值【答案】见解析。【分析】（1）根据根的判别式得出（2k+1）241（k22）2（k+1）2+70，据此可得答案；（2）先根据根与系数的关系得出x1+x22k+1，x1x2k22，由x1x23知（x1x2）29，即（x1+x2）24x1x29，从而列出关于k的方程，解之可得答案【解析】（1）（2k+1）241（k22）4k2+4k+12k2+82k2+4k+92（k+1）2+70，无论k为何实数，2（k+1）20，2（k+1）2+70，无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系得出x1+

22、x22k+1，x1x2k22，x1x23，（x1x2）29，（x1+x2）24x1x29，（2k+1）24（k22）9，化简得k2+2k0，解得k0或k220（2020重庆）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个玉米品种进行实验种植对比研究去年A、B两个品种各种植了10亩收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，

23、预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加a%求a的值【答案】见解析。【分析】（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；根据题意列方程组即可得到结论；（2）根据题意列方程即可得到结论【解析】（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；根据题意得，解得：，答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；（2）2.440010（1+a%）+2.4（1+a%）50010（1+2a%）21600（1a%），解得：a

24、10，答：a的值为1021.（2019北京市）关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根【答案】m=1，此方程的根为【解析】先由原一元二次方程有实数根得判别式进而求出m的范围；结合m的值为正整数，求出m的值，进而得到一元二次方程求解即可.关于x的方程有实数根，又m为正整数，m=1，此时方程为解得根为，m=1，此方程的根为22.（2019湖南衡阳）关于x的一元二次方程x23x+k0有实数根（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m1）x2+x+m30与方程x23x+k0有一个相同的根，求此时m的值【答案】见解析。【解析】（1）根据题意得（3）24k

25、0，解得k；（2）k的最大整数为2，方程x23x+k0变形为x23x+20，解得x11，x22，一元二次方程（m1）x2+x+m30与方程x23x+k0有一个相同的根，当x1时，m1+1+m30，解得m；当x2时，4（m1）+2+m30，解得m1，而m10，m的值为23. （2019湖南长沙）近日，长沙市教育局出台长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？【答案】见解析。【解析】设增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解；用2.42（1+增长率），计算即可求解（1）设增长率为x，根据题意，得2（1+x）22.42，解得x12.1（舍去），x20.110%答：增长率为10%（2）2.42（1+0.1）2.662（万人）答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次