专题11 一元二次方程及其应用解析版.docx

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专题11一元二次方程及其应用解析版

专题11一元二次方程及其应用

1．一元二次方程的定义：

等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

2．一元二次方程的一般形式：

ax2+bx+c=0（a≠0）。

其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

3．一元二次方程的根：

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

4．一元二次方程的解法

（1）直接开方法：

适用形式：

x2=p、（x+n）2=p或（mx+n）2=p。

（2）配方法：

套用公式a2+2ab+b2=（a+b）2；a2-2ab+b2=（a-b）2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：

①将已知方程化为一般形式；

②化二次项系数为1；

③常数项移到右边；

④方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为（x+p）2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．

（3）公式法：

当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：

的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。

这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

其中：

b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。

①Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。

，

②Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。

③Δ=b2-4ac＜0时，方程无实数根。

定义：

b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。

（4）因式分解法：

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

主要用提公因式法、平方差公式。

5.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤

第1步：

审题。

认真读题，分析题中各个量之间的关系；

第2步：

设未知数。

根据题意及各个量的关系设未知数；

第3步：

列方程。

根据题中各个量的关系列出方程；

第4步：

解方程。

根据方程的类型采用相应的解法；

第5步：

检验。

检验所求得的根是否满足题意。

第6步：

答。

【例题1】（2020•临沂）一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（　　）

A．x1＝﹣2+2

，x2＝﹣2﹣2

B．x1＝2+2

，x2＝2﹣2

C．x1＝2+2

，x2＝2﹣2

D．x1＝2

，x2＝﹣2

【答案】B

【分析】方程利用配方法求出解即可．

【解析】一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0，

移项得：

x2﹣4x＝8，

配方得：

x2﹣4x+4＝12，即（x﹣2）2＝12，

开方得：

x﹣2＝±2

，

解得：

x1＝2+2

，x2＝2﹣2

．

【对点练习】（2019•浙江金华）用配方法解方程x2-6x-8=0时，配方结果正确的是（   ）

A. （x-3）2=17    B. （x-3）2=14     C. （x-6）2=44    D. （x-3）2=1

【答案】A

【解析】配方法解一元二次方程

∵x2-6x-8=0，

∴x2-6x+9=8+9，

∴（x-3）2=17.

【点拨】本题体现直接配方法解一元二次方程。

【对点练习】（2019年山东省威海市）一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是　　．

【答案】x1＝

，x2＝

．

【解析】直接利用公式法解方程得出答案．

3x2＝4﹣2x

3x2+2x﹣4＝0，

则b2﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，

故x＝

，

解得：

x1＝

，x2＝

．

【点拨】本题体现求根公式法解一元二次方程。

【例题2】（2020•菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（　　）

A．3B．4C．3或4D．7

【答案】C

【分析】当3为腰长时，将x＝3代入原一元二次方程可求出k的值；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式△＝0，解之可得出k值，利用根与系数的关系可得出两腰之和，将其与3比较后可得知该结论符合题意．

【解析】当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：

32﹣4×3+k＝0，

解得：

k＝3；

当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，

∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，

解得：

k＝4，此时两腰之和为4，4＞3，符合题意．

∴k的值为3或4．

【对点练习】（2019内蒙古包头市）已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，则m的值是（）

A.34B.30C.30或34D.30或36

【答案】A.

【解析】分两种情况讨论：

1若4为等腰三角形底边长，则a，b是两腰，

∴方程x2-12x+m+2=0有两个相等实根，

∴△=（-12）2-4×1×（m+2）=136-4m=0,

∴m=34.

此时方程为x2-12x+36=0，解得x1=x2=6.

∴三边为6，6，4，满足三边关系，符合题意.

2若4为等腰三角形腰长，则a，b中有一条边也为4，

∴方程x2-12x+m+2=0有一根为4.

∴42-12×4+m+2=0，

解得，m=30.

此时方程为x2-12x+32=0，解得x1=4，x2=8.

∴三边为4，4，8，不满足三边关系，故舍去.

综上，m的值为34.

【例题3】（2020贵州黔西南）已知关于x的一元二次方程（m－1）x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（）

A.m＜2B.m≤2C.m＜2且m≠1D.m≤2且m≠1

【答案】D

【解析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．

解：

因为关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，所以b2－4ac＝22－4（m－1）×1≥0，解得m≤2．又因为（m－1）x2＋2x＋1＝0是一元二次方程，所以m－1≠0．综合知，m的取值范围是m≤2且m≠1，因此本题选D．

【点拨】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．

【对点练习】（2019湖北咸宁）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　）

A．m＜1B．m≤1C．m＞1D．m≥1

【答案】

【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，

∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0，

解得：

m≤1．

【例题4】（2020•衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？

若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　）

A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600

B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600

C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600

D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600

【答案】C

【分析】若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解析】依题意，得：

（35﹣2x）（20﹣x）＝600．

【对点练习】（2019哈尔滨）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（　　）

A．20%B．40%C．18%D．36%

【答案】A．

【解析】本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题，按照公式

a（1﹣x）2＝b对照参数位置代入值即可，公式的记忆与运用是本题的解题关键．

设降价的百分率为x

根据题意可列方程为25（1﹣x）2＝16

解方程得

，

（舍）

∴每次降价得百分率为20%

【点拨】本题体现直接开方法解一元二次方程。

一、选择题

1．（2020•凉山州）一元二次方程x2＝2x的根为（　　）

A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x＝﹣2

【答案】C

【分析】移项后利用因式分解法求解可得．

【解析】∵x2＝2x，

∴x2﹣2x＝0，

则x（x﹣2）＝0，

∴x＝0或x﹣2＝0，

解得x1＝0，x2＝2，

2．（2020•怀化）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）

A．k＝4B．k＝﹣4C．k＝±4D．k＝±2

【答案】C

【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值．

【解析】∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，

∴△＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，

解得：

k＝±4．

3．（2020•黑龙江）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（　　）

A．k＜1/4B．k≤1/4C．k＞4D．k≤1/4且k≠0

【答案】B

【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．

【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，

∴△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+2k）≥0，

解得：

k≤1/4．

4．（2020•泰安）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　）

A．﹣4，21B．﹣4，11C．4，21D．﹣8，69

【答案】A

【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．

【解析】∵x2﹣8x﹣5＝0，

∴x2﹣8x＝5，

则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，

∴a＝﹣4，b＝21，

5．（2020•黑龙江）已知2+

是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是（　　）

A．0B．1C．﹣3D．﹣1

【答案】B

【分析】把x＝2+

代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．

【解析】根据题意，得

（2

+）2﹣4×（2+

）+m＝0，

解得m＝1

6．（2020•滨州）对于任意实数k，关于x的方程x2/2-（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情况为（　　）

A．有两个相等的实数根B．没有实数根

C．有两个不相等的实数根D．无法判定

【答案】B

【分析】先根据根的判别式求出“△”的值，再根据根的判别式的内容判断即可．

【解析】x2/2-（k+5）x+k2+2k+25＝0，

△＝[﹣（k+5）]2﹣4（k2+2k+25）/2＝﹣k2+6k﹣25＝﹣（k﹣3）2﹣16，

不论k为何值，﹣（k﹣3）2≤0，

即△＝﹣（k﹣3）2﹣16＜0，

所以方程没有实数根.

7.（2019•湖南衡阳）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（　　）

A．9（1﹣2x）＝1B．9（1﹣x）2＝1C．9（1+2x）＝1D．9（1+x）2＝1

【答案】B．

【解析】等量关系为：

2016年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2018年贫困人口，把相关数值代入计算即可．

设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：

二、填空题

8．（2020•辽阳）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是　　．

【答案】k＜﹣1

【分析】根据根的判别式即可求出答案．

【解析】由题意可知：

△＝4+4k＜0，

∴k＜﹣1

9．（2020•烟台）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　　．

【答案】m＞0且m≠1．

【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．

【解析】根据题意得m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，

解得m＞0且m≠1．

10．（2020•扬州）方程（x+1）2＝9的根是　　．

【答案】x1＝2，x2＝﹣4．

【分析】根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方，再进行计算即可．

【解析】（x+1）2＝9，

x+1＝±3，

x1＝2，x2＝﹣4．

11．（2020•上海）如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是　　．

【答案】4

【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，即可求m值．

【解析】依题意，

∵方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，

∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，

12．（2020•天水）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，则该三角形的周长为　　．

【答案】13

【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣8x+12＝0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求．

【解析】∵x2﹣8x+12＝0，

∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，

∴x1＝2，x2＝6，

∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，2+2＜5，2+5＞6，

∴三角形的第三边长是6，

∴该三角形的周长为：

2+5+6＝13．

13.（2019年江苏省扬州市）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是　　．

【答案】1或2．

【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

x（x﹣2）＝x﹣2，

x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，

（x﹣2）（x﹣1）＝0，

x﹣2＝0，x﹣1＝0，

x1＝2，x2＝1

14.（2019湖北十堰）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：

a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝　　　．

【答案】﹣3或4　

【解析】根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，

（2m﹣1）2﹣49＝0，

（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，

2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，

所以m1＝﹣3，m2＝4．

15.（2019吉林长春）一元二次方程x2-3x+1=0根的判别式的值为________.

【答案】5．

【解析】∵a=1，b=-3，c=1，

∴△=b2-4ac=（-3）2-4×1×1=5

16.（2019年甘肃省天水市）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为　　．（用百分数表示）

【答案】40%．

【解析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率，本题得以解决．

设该地区居民年人均收入平均增长率为x，

20000（1+x）2＝39200，

解得，x1＝0.4，x2＝﹣2.4（舍去），

∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%

17.（2019年江苏省连云港市）已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，则

+c的值等于　　．

【答案】2

【解析】根据“关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a和c的等式，整理后即可得到的答案．

根据题意得：

△＝4﹣4a（2﹣c）＝0，

整理得：

4ac﹣8a＝﹣4，

4a（c﹣2）＝﹣4，

∵方程ax2+2x+2﹣c＝0是一元二次方程，

∴a≠0，

等式两边同时除以4a得：

c﹣2＝﹣

，

则

+c＝2

三、解答题

18．（2020•河北）有一电脑程序：

每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16，如图．

如，第一次按键后，A，B两区分别显示：

（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；

（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？

说明理由．

【答案】见解析。

【分析】

（1）根据题意列出代数式即可；

（2）根据题意得到25+4a2+（﹣16﹣12a），根据整式加减的法则计算，然后配方，根据非负数的性质即可得到结论．

【解析】

（1）A区显示的结果为：

25+2a2，B区显示的结果为：

﹣16﹣6a；

（2）这个和不能为负数，

理由：

根据题意得，25+4a2+（﹣16﹣12a）＝25+4a2﹣16﹣12a＝4a2﹣12a+9；

∵（2a﹣3）2≥0，

∴这个和不能为负数．

19．（2020•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x

k2﹣2＝0．

（1）求证：

无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．

【答案】见解析。

【分析】

（1）根据根的判别式得出△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（

k2﹣2）＝2（k+1）2+7＞0，据此可得答案；

（2）先根据根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2

k2﹣2，由x1﹣x2＝3知（x1﹣x2）2＝9，即（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，从而列出关于k的方程，解之可得答案．

【解析】

（1）∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（

k2﹣2）

＝4k2+4k+1﹣2k2+8

＝2k2+4k+9

＝2（k+1）2+7＞0，

∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0，

∴2（k+1）2+7＞0，

∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2

k2﹣2，

∵x1﹣x2＝3，

∴（x1﹣x2）2＝9，

∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，

∴（2k+1）2﹣4×（

k2﹣2）＝9，

化简得k2+2k＝0，

解得k＝0或k＝﹣2．

20．（2020•重庆）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．

（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？

（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加

a%．求a的值．

【答案】见解析。

【分析】

（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；根据题意列方程组即可得到结论；

（2）根据题意列方程即可得到结论．

【解析】

（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；

根据题意得，

，

解得：

，

答：

A、B两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；

（2）2.4×400×10（1+a%）+2.4（1+a%）×500×10（1+2a%）＝21600（1

a%），

解得：

a＝10，

答：

a的值为10．

21.（2019北京市）关于x的方程

有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．

【答案】m=1，此方程的根为

【解析】先由原一元二次方程有实数根得判别式

进而求出m的范围；结合m的值为正整数，求出m的值，进而得到一元二次方程求解即可.

∵关于x的方程

有实数根，

∴

∴

又∵m为正整数，∴m=1，

此时方程为

解得根为

，

∴m=1，此方程的根为

22.（2019•湖南衡阳）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．

【答案】见解析。

【解析】

（1）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k≥0，

解得k≤

；

（2）k的最大整数为2，

方程x2﹣3x+k＝0变形为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，

∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，

∴当x＝1时，m﹣1+1+m﹣3＝0，解得m＝

；

当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1，

而m﹣1≠0，

∴m的值为

．

23.（2019•湖南长沙）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．

（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；

（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？

【答案】见解析。

【解析】设增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解；用2.42×（1+增长率），计算即可求解．

（1）设增长率为x，根据题意，得

2（1+x）2＝2.42，

解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．

答：

增长率为10%．

（2）2.42（1+0.1）＝2.662（万人）．

答：

第四批公益课受益学生将达到2.662万人次．