一元二次方程知识点汇总.docx

1、一元二次方程知识点汇总一元二次方程知识点汇总一、 一元二次方程的定义及一般形式：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程。一元二次方程的一般形式：ax2bx+c =0 (a0)，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。因此，一元二次方程必须满足以下3个条件：1 方程两边都是关于未知数的等式2 只含有一个未知数3 未知数的最高次数为2如：2x2-4x+3=0，3x2=5为一元二次方程，而像就不是一元二次方程。二、 一元二次方程的特殊形式（1）当b=0，c=0时，有：ax2=0，x2=0，x=0 （2）当b=0，00时，有：ax2+c=0，a0，此

2、方程可转化为：当a与c异号时，根据平方根的定义可知，即当b=0，c0，且a与c异号时，一元二次方程有两个不相等的实数根，这两个实数根互为相反数。当a与c同号时，负数没有平方根，方程没有实数根。（3）当b0，c0时，有ax2+bx=0，此方程左边可以因式分解，使方程转化为x（ax+b）=0，即x=0或ax+b=0，所以x1=0，x2=-b/a。由此可见，当b0，c0时，一元二次方程ax2+bx=0有两个不相等的实数根，且两实数根中必有一个为0。三、 一元二次方程解法：1. 第一步：解一元二次方程时，如果给的不是一元二次方程的一般式，首先要化为一元二次方程的一般式，再确定用什么方法求解。2. 解一

3、元二次方程的常用方法：（1）直接开方法：把一元二次方程化为一般式后，如果方程中缺少一次项，是一个形如ax2+c=0的方程时，可以用此方法求解。解法步骤：把常数项移到等号右边，ax2=-c；方程中每项都除以二次项系数，；开平方求出未知数的值：（2）因式分解法：把一元二次方程化为一般式后，如果方程左边的多项式可以因式分解的话，可以使用此方法求解。解法步骤：把方程的左边因式分解，转化为两个因式乘积的形式；令每个因式分别等于0，进而求出方程的两个根；例：解关于x的方程：x2-（m+n）x+mn=0解：把方程左边因式分解成：（x-m）（x+n）=0 x1=m，x2=n（3）配方法：当一元二次方程化为一般

4、式后，不能用直接开方和因式分解的方法求解时，可以使用此方法。解法步骤：若方程的二次项系数不是1，方程中各项同除以二次项系数，使二次项系数为1；把常数项移到等号右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；方程左边变成一个完全平方式，右边合并同类项，变为一个实数；方程两边同时开平方，从而求出方程的两个根；例：解方程：3x2+12x-6=0 解：方程两边同除以3得： x2+4x-2=0 移项，得：x2+4x=2 x2+4x+（2）2=2+（2）2即：（x+2）2=6 x+2=6（4）公式法：利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程，适用于所有的一元二次方程。求根公式：，其中a0。解法步骤：先把一元二

5、次方程化为一般式；找出方程中a、b、c等各项系数和常数值；计算出b2-4ac的值；把a、b、b2-4ac的值代入公式；求出方程的两个根；例：解方程：x2-4x+4=0解：（1）方程中：a=1，b=-4，c=4 =b2-4ac=（-4）2-414=0 x=-（-4）0/21=2，原方程根为x1=x2=2四、一元二次方程根的判别式1.把=b2-4ac叫做一元二次方程ax2bx+c =0（a0）的根的判别式。当0时，方程有两个不相等的实数根；利用根的判别式可以判断根的情况：当0时，方程有两个相等的实数根；（1）当0时方程有两个实数根，（2）当0时，方程无实数根。例：关于x的一元二次方程（m-1）2-

6、2（m-3）x+m+2=0有实数根，求m的取值范围。解：当m-10时，即：m1时，该方程是关于x的一元二次方程。 0，即=-2（m-3）2-4（m-1）（m+2）=-28m+440，解得：m11/7 m的取值范围是m11/7且m1。五、一元二次方程根与系数的关系：1.定理：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a0且b2-4ac0）的两个根分别为x1和x2，则：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a特别地：对于一元二次方程x2+px+q=0，根与系数的关系为：x1+x2=-p，x1x2=q注：此定理成立的前提是0，也就是说方程必须有实根时才可以使用。此定理又叫韦达定理。2.根与系数关系的应用举例

7、：练习1 解一元二次方程1.用直接开方法解一元二次方程x2+1=2 （2x-1）2=7 x2-36=0（3x-4）2=（3-4x）2 25x2-36=0 （x-3）2-144=02.用因式分解法解一元二次方程x2-5x+6=0 x2+4x-5=0 5x（x-3）=6-2x（x-5）（x-6）=x-5 （2x-5）2-（x+4）2=0 4（x-1）2-9（x+2）2=03.用配方法解一元二次方程x2-3x+1=0 x2+x-1=0 4x2-12x+3=0x（x+4）=8x+12 x2-4x+2=0 6x2-x-12=04.用公式法解一元二次方程3x2-5x+2=0 2x2-10x=3 3x2+5（2x+1）=03x2-4x-1=0 2x2-7x-4=0 4x2-12x+3=05.选择适当的方法解一元二次方程3x2+1=4x （x-2）2=9x2 2x2=x+6x（3x-7）=2x t2-4t=5 4（x+1）2=4（2x-5）2练习2 根与系数关系1、填空题2、选择题3、解答题