一元二次方程知识点汇总.docx

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一元二次方程知识点汇总

一元二次方程知识点汇总

一、一元二次方程的定义及一般形式：

只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：

ax2＋bx+c=0（a≠0），其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

因此，一元二次方程必须满足以下3个条件：

1方程两边都是关于未知数的等式

2只含有一个未知数

3未知数的最高次数为2

如：

2x2-4x+3=0，3x2=5为一元二次方程，而像

就不是一元二次方程。

二、一元二次方程的特殊形式

（1）当b=0，c=0时，有：

ax2=0，∴x2=0，∴x=0

（2）当b=0，0≠0时，有：

ax2+c=0，∵a≠0，此方程可转化为：

①当a与c异号时，

，根据平方根的定义可知，

，即当b=0，c≠0，且a与c异号时，一元二次方程有两个不相等的实数根，这两个实数根互为相反数。

②当a与c同号时，

，∵负数没有平方根，∴方程没有实数根。

（3）当b≠0，c＝0时，有ax2+bx=0，此方程左边可以因式分解，使方程转化为x（ax+b）=0，即x=0或ax+b=0，所以x1=0，x2=-b/a。

由此可见，当b≠0，c＝0时，一元二次方程ax2+bx=0有两个不相等的实数根，且两实数根中必有一个为0。

三、一元二次方程解法：

1.第一步：

解一元二次方程时，如果给的不是一元二次方程的一般式，首先要化为一元二次方程的一般式，再确定用什么方法求解。

2.解一元二次方程的常用方法：

（1）直接开方法：

把一元二次方程化为一般式后，如果方程中缺少一次项，是一个形如ax2+c=0的方程时，可以用此方法求解。

解法步骤：

①把常数项移到等号右边，ax2=-c；

②方程中每项都除以二次项系数，

；

③开平方求出未知数的值：

（2）因式分解法：

把一元二次方程化为一般式后，如果方程左边的多项式可以因式分解的话，可以使用此方法求解。

解法步骤：

①把方程的左边因式分解，转化为两个因式乘积的形式；

②令每个因式分别等于0，进而求出方程的两个根；

例：

解关于x的方程：

x2-（m+n）x+mn=0

解：

把方程左边因式分解成：

（x-m）（x+n）=0

∴x1=m，x2=n

（3）配方法：

当一元二次方程化为一般式后，不能用直接开方和因式分解的方法求解时，可以使用此方法。

解法步骤：

①若方程的二次项系数不是1，方程中各项同除以二次项系数，使二次项系数为1；

②把常数项移到等号右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④方程左边变成一个完全平方式，右边合并同类项，变为一个实数；

⑤方程两边同时开平方，从而求出方程的两个根；

例：

解方程：

3x2+12x-6=0

解：

方程两边同除以3得：

x2+4x-2=0

移项，得：

x2+4x=2

∴x2+4x+

（2）2=2+

（2）2

即：

（x+2）2=6

∴x+2=±√6

（4）公式法：

利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程，适用于所有的一元二次方程。

求根公式：

，其中a≠0。

解法步骤：

①先把一元二次方程化为一般式；’

②找出方程中a、b、c等各项系数和常数值；

③计算出b2-4ac的值；

④把a、b、b2-4ac的值代入公式；

⑤求出方程的两个根；

例：

解方程：

x2-4x+4=0

解：

（1）方程中：

a=1，b=-4，c=4

△=b2-4ac=（-4）2-4×1×4=0

∴x={-（-4）±√0}/2×1=2，∴原方程根为x1=x2=2

四、一元二次方程根的判别式

1.把△=b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx+c=0（a≠0）的根的判别式。

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；

利用根的判别式可以判断根的情况：

当△＝0时，方程有两个相等的实数根；

（1）当△≥0时

方程有两个实数根，｛

（2）当△＜0时，方程无实数根。

例：

关于x的一元二次方程（m-1）2-2（m-3）x+m+2=0有实数根，求m的取值范围。

解：

当m-1≠0时，即：

m≠1时，该方程是关于x的一元二次方程。

∵△≥0，即△=[-2（m-3）]2-4（m-1）（m+2）=-28m+44≥0，解得：

m≤11/7

∴m的取值范围是m≤11/7且m≠1。

五、一元二次方程根与系数的关系：

1.定理：

设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且b2-4ac≥0）的两个根分别为x1和x2，则：

x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a

特别地：

对于一元二次方程x2+px+q=0，根与系数的关系为：

x1+x2=-p，x1·x2=q

注：

①此定理成立的前提是△≥0，也就是说方程必须有实根时才可以使用。

②此定理又叫韦达定理。

2.根与系数关系的应用举例：

练习1解一元二次方程

1.用直接开方法解一元二次方程

①x2+1=2②（2x-1）2=7③x2-36=0

④（3x-4）2=（3-4x）2⑤25x2-36=0⑥（x-3）2-144=0

2.用因式分解法解一元二次方程

①x2-5x+6=0②x2+4x-5=0③5x（x-3）=6-2x

④（x-5）（x-6）=x-5⑤（2x-5）2-（x+4）2=0⑥4（x-1）2-9（x+2）2=0

3.用配方法解一元二次方程

①x2-3x+1=0②x2+x-1=0③4x2-12x+3=0

④x（x+4）=8x+12⑤x2-4x+2=0⑥6x2-x-12=0

4.用公式法解一元二次方程

①3x2-5x+2=0②2x2-10x=3③3x2+5（2x+1）=0

④3x2-4x-1=0⑤2x2-7x-4=0⑥4x2-12x+3=0

5.选择适当的方法解一元二次方程

①3x2+1=4x②（x-2）2=9x2③2x2=x+6

④x（3x-7）=2x⑤t2-4t=5⑥4（x+1）2=4（2x-5）2

练习2根与系数关系

1、填空题

2、选择题

3、解答题