版高三新课标版数学理总复习课件第八章立体几何88Word文档格式.docx

1、2的夹角（或其补角）的大小就是二面角的平面角 的大小（如图）.点面距的求法如图，设AB为平面a的一条斜线段，为平面a的法向量, 则B到平面a的距离d=p.RI夯实双基I1.判断下面结论是否正确（打“ 丁 ”或“ X ”）.（1）两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.（2）直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平 面所成的角.（3）两个平面的法向量所成的角就是这两个平面所成的角.（4）两异面直线夹角的范围是（0, y ,直线与平面所成角的范围是0, y,二面角的范围是0, TT .（5）若直线1的方向向量与平面幺的法向量夹角为20。，则和 a所成角为30。.（6）若二面角a_a卩

2、的两个半平面 p的法向量场，血所 成角为B,则二面角a_a_卩的大小是盯qN - CtttL 矢 I I I J 厂i I：Anrt 耳寺20 Q答案A解析 Vcos （m, n = _*, /. （m, n） =120 .1 与 a所成的角为120 -90 =303.（2016-课标全国I ,理）平面a过正方体ABCD AiBiCQi 的顶点A, a 平面CBQi，a Q平面ABCD = m, a Q平面解析 因为过点A的平面a与平面CBQ1平行，平面 ABCD平面 A1B1CQ1，所以 mBiDiBD,又 A】B平面 CBQ,所以nAB,则BD与AjB所成的角为所求角，所以m, n所成角的

3、正弦值为2，选A.4.已知两平面的法向量分别为加=（0, 1, 0）, n = （0, 1,1）,则两平面所成的二面角为（）A. 45。 B 135。D. 90C 45。或135。獺c:二晰或IF. t fl i I * r /V r 儿比 Il勺：mspu p -r 詹& Kx 3S/n Iri H2 J =|二亠 mu止 nj “匚、 m PWA VJd Jazrc2r a . /a 门勺 匸|二丿豪 91U 5nr- i fi i JEpro ri/T川比 nj rij 弓玄 彳逐 仝舉 丁 .【解析】以D为原点，分别以DA, DC, DD为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,BF（ 1

4、, 0, 0）, Di（0, 0, 2）, O（b L 0）, E（0, 2, 1）.AFDi = （-b 0, 2）, OE=（-1, 1, 1）./.cos （f5p o6）【答案】学1+2 寸 15a/53= 5 状元笔记（1）求异面直线所成角的思路：1选好基底或建立空间直角坐标系;2求出两直线的方向向量5;3代入公式IcOSVP,T翳求解.（2）两异面直线所成角的关注点：两异面直线所成角的范围是9（0, y,两向量的夹角a的 范围是0, TT,当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时， 就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角 时，其补角才是异面直线的夹角.r思考题1 （

5、2017江苏涟水中学）如图所示，三棱锥P-ABC中，已知PA丄平面ABC, AABC是边长为2的正三角形,D, E分别为PB, PC的中点.若PA = 2,求直线AE与PB所成 角的余弦值.P【解析】 如图所示，取AC的中点F,连接BF,则BF丄AC. 以A为坐标原点，过A且与FB平行的直线为x轴，AC为y轴, AP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.贝lj A（0, 0, 0）, B（V3, 1, 0）, C（0, 2, 0）, P（0, 0, 2）, E（0,1,1）,从而西=（书，1, -2）, AE = （0, 1, 1）.设直线AE与PB所成的角为e,则 COS 0 =PBAE 11

6、 1=-IPBMAEI则直线AE与PB所成角的余弦值为占【答案】题型二线面角PA丄平面 ABCD, PA = AD = 2, AB = 1, BM丄PD 于点 M.（1）求证：AM丄PD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值.【解析】（l）VPA丄平面ABCD, ABU平面ABCD,PA丄AB.VAB丄AD, ADQPA=A, ADU平面 PAD, PAU平面 PAD,A AB丄平面PAD.TPDU 平面 PAD, A AB 丄 PD.VBM丄PD, ABABMB, ABC平面 ABM, BMC平面 ABM,PD丄平面ABM.AMC平面 ABM, 丄PD.（2）方法一：由（1）知，AM

7、丄PD,又 PA=AD, 则M是PD的中点.在RtAPAD中，得AM=2在 RtACDM 中，得 MC=MD2+DC2=AMC2+AM2=AC2 = 5,即厶AMC为直角三角形.设点D到半面ACM的距禺为h,由Vd_acm = Vm-acd得爭设直线CD与平面ACM所成的角为0,直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为方法二：如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系 Axyz,2,0）, M（0, 1, 1）.AC = （1, 2, 0）, AM=（0, b1）, CD = （-1, 0, 0）.设平面ACM的一个法向量为n = （x9 y, z）,由孔丄At, haK4,可得x+2y=0

8、,y+z = 0.令 z = 1,得 x = 2, y = 1.An = （2, -1, 1）.设直线CD与平面ACM所成的角为则 iCt）切心 a/3sin a = .cos a =Cb-n a/3直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为于.【答案】略晋向量法求线面角的两大途径（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转 化为求两个方向向量的夹角（或其补角）.（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的 法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.提醒：在求平面的法向量时，若能找出平面的垂线，则垂线上取两个点可构成一个法向量.思考题2 （2016-新课标全国III

9、,理）如图，四棱锥PABCD 中，PA丄底面ABCD, ADBC, AB =AD=AC = 3, PA=BC=4, M为线段AD上 一点，AM = 2MD, N为PC的中点.证明：MN平面PAB； 求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.2（1）由已知得AM=AD = 2.取BP的中点T,连接AT, TN.由N为PC的中点知TNBC, TN = |bC = 2.又ADBC,故TN続AM,所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT因为ATU平面PAB, MNQ平面PAB,所以MN平面PAB. （2）取BC的中点E,连接AE由AB=AC得AE丄BC,从而以A为坐标原点，应的方向为x轴正方向，建立如

10、图所示的 空间直角坐标系A-xyz.由题意知,P（0, 0, 4）, M（0, 2, 0）, C（厉，2, 0）, N（誓，1, 2）, PM=（0, 2, -4）, PN=（, 1，-2）,血=（，1, 2）.n-PM = O,设宛= （x, y, z）为平面PMN的法向量，贝I 即n 怀J = 0,2y一4z = 0,a/5*x + y2z = 0,可取7/ = （0, 2, 1）. 于是Icos =髓一由题知二面角F-AE-B为钝角, 所以它的余弦值为一晋.（3）因为BE丄平面AOC,所以BE丄OC,即貳 OC = 0. 因为Bfe-（a-2,羽（a2）, 0）, Ot = （ 2,帝（

11、2 a）, 0）, 所以匪 OC=-2（a-2）-3（a-2）2.由匪O& = 0及0vav2,解得a=|.、5 4【答案】略专（3）a=题型四空间的距离已知正方形ABCD的边长为4，CG丄平面ABCD, CG=2, E, F分别是AB, AD的中点，求点B到平面GEF的距离.【解析】 如图建立空间直角坐标系，贝IJB（O, 4, 0）,E（2, 4, 0）, F（4, 2, 0）, G（0, 0,Ef =（2, -2, 0）, Gfe= （2, 4, 2）,2），G设平面EFG的一个法向量是n = （x, y, 1）,则由丄胡，丄Gfe,得（x, y, 1）（2, -2, 0） =0,（2,

12、 4, -2） =0x_y=0,x + 2y=ly13? 1 1 所以兀=（矛亍1）-3-则点B到平面GEF的距离为d=晋吕=斗【答案】警【讲评】 空间中的距离问题一般都可以转化成点到点的距 离、点到线的距离和点到面的距离.其中点到点的距离、点到线 的距离可用空间向量的模来求解，点到面的距离可借助于平面的 法向量求解.（1）求点到平面距离是重点，其方法有：1直接作出点到面的垂线段，再计算；2平行转移法.即通过线面平行，转化到其他点到平面的距 离；3等体积法；利用向量.（2）已知AB为平面a的一条斜线段，为平面a的法向量，思考题4如图所示，ABCD与厶MCD都是边长为2的正 三角形，平面MCD丄

13、平面BCD, AB平面BCD, AB = 2书求 点A到平面MBC的距离.C【解析】 方法一：取CD中点6 连接OB, OM,则OB = OM=羽，OBI CD, MO丄CD.又平面MCD丄平面BCD,则 MO丄平面BCD,所以MOAB, MO平面ABC.M, O到平面 ABC的距离相等.作OH丄BC于H,连接MH,则MH丄EC.mh=aJ （弟）2+（）2=誓.设点A到平面MBC的距离为d,由Va-mbc =VmABC， 得 Sambc * d= Saabc OH.取CD中点0,连接OB, 0M,贝lj 0B丄CD, 0M 丄CD.又平面MCD丄平面BCD,则M0丄平面BCD取0为原点, 直

14、线OC, BO, 0M为x轴，y轴，z输 建立空间直角坐标系, 如图所示，OB=OM=羽，则各点坐标分别为C（l, 0, 0）, M（0, 0,审），B（0,书,0）, A（0, 一书,23）.v设n = （x, y, z）是平面MBC的一个法向量，则 BC = （1, a/3, 0）, BM = （0, a/3,书）.由zi丄就，得x3y=0.由丄麻1,得书y+书z = 0取n =（晶-1, 1）, BA = （0, 0, 2羽），贝IIBA-nl 2 羽 215d=T= y5= 5 “亠. 2/15恕本课总结1.角的计算与度量总要进行转化，这体现了转化的思想， 主要将空间角转化为平面角或两

15、向量的夹角.2.用向量的数量积来求解两异面直线所成的角，简单、易 掌握.其基本程序是选基底，表示两直线方向向量，计算数量积, 若能建立空间直角坐标系，则更为方便.3.找直线和平面所成的角常用方法是过线上一点作面的垂 线或找线上一点到面的垂线，或找（作）垂面，将其转化为平面角, 或用向量求解，或解直角三角形.4.二面角的求解方法一般有作垂面法、三垂线定理法、面 积射影法、向量法等，特别是对“无”棱（图中没有棱）的二面角, 应先找出棱或借助平面法向量夹角求解.5.空间的距离主要掌握点面距离的求法.j 八 j l|r,J I v 畑己 N次i： etx 丿 L.十 J I riJ jmw I XK

16、I；J 皿也千 M :;亍 II* 41 J Nl 1 6 f Tr- JllL |V/J -步 pg 二卜 I I H!aL N N S |: 尸I fi I ZS 侶ll 色i MJ 彳D丈丿，沪去 PU. J Q也石冷“丿I 丘（2017傑定模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面 ABCD, PA=AB = AD = 2,四边形 ABCD 满足 AB丄AD, BCAD且BC=4,点M为PC中点，点E为BC边上的动点，且II =九平面ADM丄平面PBC；（2）是否存在实数儿使得二面角P-DE-B的余弦值为亍?若存在，试求出实数九的值；若不存在，说明理由.取PB中点N,连接MN, A

17、N.TM是PC中点，.MNBC, MN = |bC = 2.XVBC/7AD, MNAD, MN=AD,四边形ADMN为平行四边形.VAP丄 AD, AB 丄 AD, A AD丄平面PABA AD AN, AANMN.VAP=AB,AAN丄PB, AN丄平面PBC.VANU平面ADM, 平面ADM丄平面PBC.存在符合条件的九以A为原点，AB方向为x轴，AD方向 为y轴，AP方向为z轴，建立空间直角坐标系Axyz.设玖2, t, 0）（0WtW4）, P（0, 0, 2）, D（0, 2, 0）, B（2, 0, 0）,贝lj PD = （0, 2, -2）, DE=（2, t-2, 0）.二

18、平面PDE的法向量为W1 = （2 t, 2，2）.又平面DEB即为xAy平面，其一个法向量为n2 = （0, 0,A COS1，2Ml *InJ 咧（2-t） 2+4+4=亍解得t=3或 t= 1, :入=3 或 Z=o.2 （2016-北京，理）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD丄平面 ABCD, PAIPD, PA=PD, AB丄AD, AB = 1, AD =2, AC = CD=逅PD丄平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在点M,使得BM平面PCD?若存在, 求勢的值；【解析】因为平面PAD丄平面ABCD, ABAD, 所以AB丄平面P

19、AD,所以AB丄PD.又PA丄PD,所以PD丄平面PAB.取AD的中点6连接PO, CO.因为PA=PD,所以PO丄AD.因为POU平面PAD,平面PAD丄平面ABCD,所以PO丄平面ABCD因为COU平面ABCD,所以PO丄CO.因为AC=CD,所以COAD.如图，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意得，A（0, 1, 0）,B（l, b 0）, C（2, 0, 0）, D（0, -b 0）, P（0, 0, 1）._ n-PD = 0,设平面PCD的法向量为n = （x, y, z）,贝% _ 即n PC = 0,f yz = 0,|2xz = 0,令 z = 2,则 x= 1, y= 2

20、.所以 w = （l, 2, 2）.又囲= （1，1, 1）,所以cos n, PS）=纟西=迈所 IwllPfil 3 以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为申.（3）设M是棱PA上一点，则存在疋0, 1,使得如=入Ak 因此点M（0, 1入，入），BM = （1,入，入）.因为BMG平面PCD,所以要使BM平面PCD,则丽n =0,即（一1,九，入）（1, -2, 2） = 0,解得入=所以在棱PA 上存在点M,使得BM平面PCD,此时器=（1）略专略（二）咼考中立体几何人题的答题策略1线面位置关系与二面角的大小问题（2016新课标全国II,理）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于 点

21、O, AB=5, AC = 6,点E, F分别在 AD, CD上，AE = CF=扌，EF交BD于点H将ZXDEF沿EF折到 DEF的位置，OD =yld.D H丄平面ABCD； 求二面角B-Dz A-C的正弦值.解题思路研读信息快速破题（1）|看到| ABCD为菱形，|想到| AC丄BD, |看到| AE = CF, 想至U|EFAC, |看到|将厶DEF沿EF折到ZXD EF|想到翩折过程 中的不变量D H丄EF, |看到|OD，=丽,|想到|判断2X7 OH 的形状.（2）|看到| H丄平面ABCD, |想到|如何建立空间直角坐标 系，看到求二面角B-Dz A-C的正弦值廉租副二面角余弦公式cos吐土航规范解答 阅卷标准体会规范（1）由已知得AC丄BD, AD=CD 又由AE = CF得器=器，故ACEF.1分得分点 因此EF丄HD,从而EF丄D H.2分得分点 由 AB = 5, AC = 6 M DO = BO=AB2-AO2=4.由 EFA C 得 -所以 OH=l, Df H=DH=3.于是 D，H2+OH2 = 32+12=10=D, O2,故 D H1OH.4分|得分点又D H丄EF,而O HAEF=H,所以D H丄平面ABCD.5分|得分点（2）如图，以H为坐标原点，丽的方向为