版高三新课标版数学理总复习课件第八章立体几何88Word文档格式.docx
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2的夹角（或其补角）的大小就是二面角的平面角的大小（如图②③）.
②点面距的求法
如图，设AB为平面a的一条斜线段，〃为平面a的法向量,则B到平面a的距离d=^p.
R
I夯实双基I
1.判断下面结论是否正确（打“丁”或“X”）.
（1）两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.
（2）直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.
（3）两个平面的法向量所成的角就是这两个平面所成的角.
（4）两异面直线夹角的范围是（0,y],直线与平面所成角的
范围是[0,y],二面角的范围是[0,TT].
（5）若直线1的方向向量与平面幺的法向量夹角为］20。
，则］和a所成角为30。
.
（6）若二面角a_a—卩的两个半平面％p的法向量场，血所成角为B,则二面角a_a_卩的大小是盯—q
N-CtttL矢III«
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2^0Q
答案A
解析Vcos（m,n}=_*,/.（m,n）=120°
.•••1与a
所成的角为120°
-90°
=30
3.
（2016-课标全国I,理）平面a过正方体ABCD—AiBiCQi的顶点A,a〃平面CBQi，aQ平面ABCD=m,aQ平面
解析因为过点A的平面a与平面CBQ1平行，平面ABCD〃平面A1B1CQ1，所以m〃BiDi〃BD,又A】B〃平面CBQ],所以n〃A]B,则BD与AjB所成的角为所求角，所以m,n所成角的正弦值为2，选A.
4.已知两平面的法向量分别为加=（0,1,0）,n=（0,1,
1）,则两平面所成的二面角为（）
A.45。
B・135。
D.90°
C・45。
或135。
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j弓玄彳逐仝舉丁・.
【解析】以D为原点，分别以DA,DC,DD］为x轴，y
轴，z轴建立空间直角坐标系,
B
F（1,0,0）,Di（0,0,2）,O（bL0）,E（0,2,1）.
AFDi=（-b0,2）,OE=（-1,1,1）.
/.cos（f5po6）
【答案】学
1+2寸15
a/5^3=5•
★状元笔记
（1）求异面直线所成角的思路：
1选好基底或建立空间直角坐标系;
2求出两直线的方向向量5;
3代入公式IcOSVP],
T翳求解.
（2）两异面直线所成角的关注点：
两异面直线所成角的范围是9^（0,y],两向量的夹角a的范围是[0,TT],当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；
当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.
r思考题1（2017•江苏涟水中学）如图所示，三棱锥P-
ABC中，已知PA丄平面ABC,AABC是边长为2的正三角形,
D,E分别为PB,PC的中点.若PA=2,求直线AE与PB所成角的余弦值.
P
【解析】如图所示，取AC的中点F,连接BF,则BF丄AC.以A为坐标原点，过A且与FB平行的直线为x轴，AC为y轴,AP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
贝ljA（0,0,0）,B（V3,1,0）,C（0,2,0）,P（0,0,2）,E（0,
1,1）,
从而西=（书，1,-2）,AE=（0,1,1）.
设直线AE与PB所成的角为e,
则COS0=
PBAE1
11=-
IPBMAEI
则直线AE与PB所成角的余弦值为占
【答案】
题型二线面角
PA丄平面ABCD,PA=AD=2,AB=1,BM丄PD于点M.
（1）求证：
AM丄PD；
（2）求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值.
【解析】
（l）VPA丄平面ABCD,ABU平面ABCD,
・・・PA丄AB.
VAB丄AD,ADQPA=A,ADU平面PAD,PAU平面PAD,
AAB丄平面PAD.
TPDU平面PAD,AAB丄PD.
VBM丄PD,ABABM^B,ABC平面ABM,BMC平面ABM,
・・・PD丄平面ABM.
AMC平面ABM,丄PD.
（2）方法一：
由
（1）知，AM丄PD,又PA=AD,则M是PD的中点.
在RtAPAD中，得AM=^2・
在RtACDM中，得MC=^MD2+DC2=©
AMC2+AM2=AC2=5,即厶AMC为直角三角形.
设点D到半面ACM的距禺为h,由Vd_acm=Vm-acd’得爭
设直线CD与平面ACM所成的角为0,
•••直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为¥
方法二：
如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标
系A—xyz,
2,0）,M（0,1,1）.
AC=（1,2,0）,AM=（0,b
1）,CD=（-1,0,0）.
设平面ACM的一个法向量为
n=（x9y,z）,
由孔丄At,h±
aK4,可得
[x+2y=0,
[y+z=0.
令z=1,得x=2,y=—1.
An=（2,-1,1）.
设直线CD与平面ACM所成的角为％则
・iCt）切心•a/3
sina=.cosa=〒・
\Cb\-\n\°
°
a/3
•••直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为于.
【答案】⑴略⑵晋
向量法求线面角的两大途径
（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）.
（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.
提醒：
在求平面的法向量时，若能找出平面的垂线，则垂线
上取两个点可构成一个法向量.
思考题2（2016-新课标全国III,理）如图，四棱锥P—
ABCD中，PA丄底面ABCD,AD〃BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点，AM=2MD,N为PC的中点.
⑴证明：
MN〃平面PAB；
⑵求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
2
（1）由已知得AM=〒AD=2.
取BP的中点T,连接AT,TN.
由N为PC的中点知TN〃BC,TN=|bC=2.
又AD〃BC,故TN続AM,所以四边形AMNT为平行四边
形，于是MN〃AT・
因为ATU平面PAB,MNQ平面PAB,所以MN〃平面PAB.
（2）取BC的中点E,连接AE•由AB=AC得AE丄BC,从而
以A为坐标原点，应的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.由题意知,P（0,0,4）,M（0,2,0）,C（厉，2,0）,N（誓，1,2）,PM=（0,2,-4）,PN=（^,1，-2）,血=（¥
，1,2）.
n-PM=O,
设宛=（x,y,z）为平面PMN的法向量，贝I」］即
n•怀J=0,
2y一4z=0,
a/5
*x+y—2z=0,
可取7/=（0,2,1）.于是Icos<
n,1=力AZ
IwIIa5ji
题型三二面角
（2016•新课标全国I,理）如图，在以A,B,C,D,
E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD,ZAFD=90°
，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°
・
（1）证明：
平面ABEF丄平面EFDC；
⑵求二面角E-BC-A的余弦值.
【解析】⑴由已知可得AF丄DF,AF丄FE,所以AF丄平面EFDC.
又AFU平面ABEF,故平面ABEF丄平面EFDC.
⑵过D作DG丄EF,垂足为G,由⑴知DG丄平面ABEF.
以G为坐标原点，苛的方向为x轴正方向,IGFI为单位长,建立如图所不的空间直角坐标系G—xyz.
Dt
由
（1）知ZDFE为二面角D-AF-E的平面角，故ZDFE=60°
则DF=2,DG=^3,可得A（l,4,0）,B（—3,4,0）,E（-3,0,0）,D（0,0,y/3）.
由已知，AB〃EF,所以AB//平面EFDC.
又平面ABCDA平面EFDC=CD,故AB〃CD,CD〃EF・
由BE〃AF,可得BE丄平面EFDC,所以ZCEF为二面角C—BE-F的平面角，ZCEF=60°
•从而可得C（—2,0,羽）.
连接AC,则EC=（1,0,羽），EB=（0,4,0）,AC=（—
3,-4,a/3）,AB=（-4,0,0）.
设n=（x,y,z）是平面BCE的法向量，则ziEt=0,Jx+书z=0,
n-EB=0,卩by=0,
所以可取n=（3,0,—羽）・
同理可取加=（0,书,4）.
【答案】⑴略⑵-誓
【讲评】
（1）当空间直角坐标系容易建立时，用向量法较为简洁明快.
（2）用法向量求二面角的大小时，有时不易判断两法向量夹角的大小就是二面角的大小（相等或互补），但我们完全可以根据图形得出结论，这是因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是比较明显的.
利用向量法确定二面角大小的常用方法
（1）找法向量法：
分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.
（2）找与棱垂直的方向向量法：
分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
△AEF为等边三角形，平面AEF丄平面EFCB,
EF〃BC,BC=4,EF=2a,ZEBC=ZFCB=60°
O为EF的中点.
AO丄BE；
⑵求二面角F-AE-B的余弦值;
⑶若BE丄平面AOC,求“的值.
【解析】⑴因为AAEF是等边三角形，O为EF的中点,所以AO丄EF.
又因为平面AEF丄平面EFCB,AOC平面AEF,
所以AO丄平面EFCB,所以AOXBE.
（2）取BC中点G,连接OG由题设知EFCB是等腰梯形,所以OG丄EF.
由
（1）知AO丄平面EFCB,
又OGU平面EFCB,所以OA丄OG.
厂:
ZO
如图建立空间直角坐标系O—xyz,
PIljE（a,0,0）,A（0,0,V3a）,B（2,书（2—小0）,
EA=（—a,0,羽a）,BE=（a—2，帝（“一2）,0）.设平面AEB的法向量为h=（x,y,z）,
w-EA=0,
可得
n•b£
=0,
一ax+^/3az=0,
（a—2）x+书（a—2）y=0.
令z=l,贝iJx=a/3,y=—l.
于是〃=—1,1）.
平面AEF的法向量为p=（0,1,0）.
所以cossP>
=髓一
由题知二面角F-AE-B为钝角,所以它的余弦值为一晋.
（3）因为BE丄平面AOC,所以BE丄OC,即貳•OC=0.因为Bfe-（a-2,羽（a—2）,0）,Ot=（—2,帝（2—a）,0）,所以匪•OC=-2（a-2）-3（a-2）2.
由匪・O&
=0及0vav2,解得a=|.
、54
【答案】⑴略⑵―专（3）a=§
题型四空间的距离
已知正方形ABCD的边长为4，CG丄平面ABCD,CG
=2,E,F分别是AB,AD的中点，求点B到平面GEF的距离.
【解析】如图建立空间直角坐标系，贝IJB（O,4,0）,
E（2,4,0）,F（4,2,0）,G（0,0,
Ef=（2,-2,0）,Gfe
=（2,4,—2）,
2），
G
设平面EFG的一个法向量是n=（x,y,1）,
则由〃丄胡，〃丄Gfe,得
（x,y,1）
（2,-2,0）=0,
（2,4,-2）=0
x_y=0,
x+2y=l
y
1
3?
11
]所以兀=（矛亍1）-
3-
则点B到平面GEF的距离为d=晋吕=斗¥
【答案】警
【讲评】空间中的距离问题一般都可以转化成点到点的距离、点到线的距离和点到面的距离.其中点到点的距离、点到线的距离可用空间向量的模来求解，点到面的距离可借助于平面的法向量求解.
（1）求点到平面距离是重点，其方法有：
1直接作出点到面的垂线段，再计算；
2平行转移法.即通过线面平行，转化到其他点到平面的距离；
3等体积法；
④利用向量.
（2）已知AB为平面a的一条斜线段，〃为平面a的法向量，
思考题4如图所示，ABCD与厶MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD丄平面BCD,AB±
平面BCD,AB=2书•求点A到平面MBC的距离.
C
【解析】方法一：
取CD中点6连接OB,OM,则OB=OM=羽，OBICD,MO丄CD.又平面MCD丄平面BCD,则MO丄平面BCD,所以MO〃AB,MO〃平面ABC.M,O到平面ABC的距离相等.
作OH丄BC于H,连接MH,则MH丄EC.
mh=aJ（弟）2+（¥
）2=誓.
设点A到平面MBC的距离为d,由Va-mbc=Vm—ABC，得
•Sambc*
•d=〒•Saabc•OH.
取CD中点0,连接OB,0M,贝lj0B丄CD,0M丄CD.又平面MCD丄平面BCD,则M0丄平面BCD•取0为原点,直线OC,BO,0M为x轴，y轴，z输建立空间直角坐标系,如图所示，OB=OM=羽，则各点坐标分别为C（l,0,0）,M（0,0,审），B（0,―书,0）,A（0,一书,2^3）.
v
设n=（x,y,z）是平面MBC的一个法向量，则BC=（1,a/3,0）,BM=（0,a/3,书）.
由zi丄就，得x~\~\[3y=0.
由〃丄麻1,得书y+书z=0・
取n=（晶-1,1）,BA=（0,0,2羽），贝I」
IBA-nl2羽2^15
d=^T=y[5=5•
■“亠.2\/15
恕本课总结\
1.角的计算与度量总要进行转化，这体现了转化的思想，主要将空间角转化为平面角或两向量的夹角.
2.用向量的数量积来求解两异面直线所成的角，简单、易掌握.其基本程序是选基底，表示两直线方向向量，计算数量积,若能建立空间直角坐标系，则更为方便.
3.找直线和平面所成的角常用方法是过线上一点作面的垂线或找线上一点到面的垂线，或找（作）垂面，将其转化为平面角,或用向量求解，或解直角三角形.
4.二面角的求解方法一般有作垂面法、三垂线定理法、面积射影法、向量法等，特别是对“无”棱（图中没有棱）的二面角,应先找出棱或借助平面法向量夹角求解.
5.空间的距离主要掌握点面距离的求法.
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尸IfiIZS侶ll◎色iMJ彳D丈丿，沪去•PU.JQ也石冷“丿I丘
（2017傑定模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平
面ABCD,PA=AB=AD=2,四边形ABCD满足AB丄AD,BC
〃AD且BC=4,点M为PC中点，点E为BC边上的动点，且II=九・
平面ADM丄平面PBC；
（2）是否存在实数儿使得二面角P-DE-B的余弦值为亍?
若存在，试求出实数九的值；
若不存在，说明理由.
取PB中点N,连接MN,AN.
TM是PC中点，.・・MN〃BC,MN=|bC=2.
XVBC/7AD,•••MN〃AD,MN=AD,
・•・四边形ADMN为平行四边形.
VAP丄AD,AB丄AD,AAD丄平面PAB
AAD±
AN,AAN±
MN.VAP=AB,
AAN丄PB,•'
•AN丄平面PBC.
VANU平面ADM,•••平面ADM丄平面PBC.
⑵存在符合条件的九•以A为原点，AB方向为x轴，AD方向为y轴，AP方向为z轴，建立空间直角坐标系A—xyz.设玖2,t,0）（0WtW4）,P（0,0,2）,D（0,2,0）,B（2,0,0）,贝ljPD=（0,2,-2）,DE=（2,t-2,0）.二平面PDE的法向量为W1=（2—t,2，2）.
又•••平面DEB即为xAy平面，其一个法向量为n2=（0,0,
ACOS〈〃1，〃2〉
Ml*
InJ•咧
（2-t）2+4+4
=亍解得t=3
或t=1,•:
入=3或Z=o.
2（2016-北京，理）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面
PAD丄平面ABCD,PAIPD,PA=PD,AB丄AD,AB=1,AD=2,AC=CD=逅・
PD丄平面PAB；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（3）在棱PA上是否存在点M,使得BM〃平面PCD?
若存在,求勢的值；
【解析】⑴因为平面PAD丄平面ABCD,AB±
AD,所以AB丄平面PAD,所以AB丄PD.
又PA丄PD,所以PD丄平面PAB.
⑵取AD的中点6连接PO,CO.
因为PA=PD,所以PO丄AD.
因为POU平面PAD,平面PAD丄平面ABCD,
所以PO丄平面ABCD・
因为COU平面ABCD,所以PO丄CO.
因为AC=CD,所以CO±
AD.
如图，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意得，A（0,1,0）,
B（l,b0）,C（2,0,0）,D（0,-b0）,P（0,0,1）.
__n-PD=0,
设平面PCD的法向量为n=（x,y,z）,贝%_即
n•PC=0,
f—y—z=0,
|2x—z=0,
令z=2,则x=1,y=—2.所以w=（l,—2,2）.
又囲=（1，1,~~1）,所以cos{n,PS）=纟•西=—迈所IwllPfil3°
以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为申.
（3）设M是棱PA上一点，则存在疋[0,1],使得如=入Ak因此点M（0,1—入，入），BM=（—1,—入，入）.
因为BMG平面PCD,所以要使BM〃平面PCD,则丽・n=0,即（一1,—九，入）・（1,-2,2）=0,解得入=£
所以在棱PA上存在点M,使得BM〃平面PCD,此时器=£
（1）略⑵专⑶略
（二）咼考中立体几何人题的答题策略
1线面位置关系与二面角的大小问题
（2016•新课标全国II,理）如
图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上，AE=CF=扌，EF交BD于
点H・将ZXDEF沿EF折到△DEF的位置，OD‘=y[ld.
D‘H丄平面ABCD；
⑵求二面角B-DzA-C的正弦值.
解题思路——研读信息•快速破题
（1）|看到|ABCD为菱形，|想到|AC丄BD,|看到|AE=CF,想至U|EF〃AC,|看到|将厶DEF沿EF折到ZXD'
EF|想到翩折过程中的不变量D‘H丄EF,|看到|OD，=丽,|想到|判断2X7OH的形状.
（2）|看到|»
H丄平面ABCD,|想到|如何建立空间直角坐标系，看到求二面角B-DzA-C的正弦值•廉租副二面角余弦公
式cos吐土航［•
规范解答阅卷标准•体会规范
（1）由已知得AC丄BD,AD=CD・又由AE=CF得器=器，故AC〃EF.
1分得分点①因此EF丄HD,从而EF丄D'
H.
2分得分点②由AB=5,AC=6MDO=BO=^AB2-AO2=4.
由EF〃AC得-
所以OH=l,DfH=DH=3.
于是D，H2+OH2=32+12=10=D,O2,故D‘H1OH.
4分|得分点③
又D‘H丄EF,而OHAEF=H,所以D‘H丄平面ABCD.
5分|得分点④
（2）如图，以H为坐标原点，丽的方向为
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