概率与数理统计习题集含答案Word格式文档下载.docx

1、2f （x）cx ,0 x 20,其他求：（1） c 的值；（2） P（ 1 X 1）求常数A,B,C （x ）,（y ）-14.设随机变量X的分布函数为0, x1Fx（x）In x, 1xe1, x求 PX 2, P0 X3, P2X5 2 ； （2）求概率密度fX（x）15.设随机变量X的概率密度为f（x）0,2（1 -）,1 x 2,其他16.设随机变量X的概率密度为f（x）x 1x01 x 0 x 1，求 E（X） , D（X）。0 其它，试求|X|的数学期望。18.搜索沉船，在时间t内发现沉船的概率为1 e t （入0）,求为了发现沉船所需的平 均搜索时间。19.设x服从参数为 的指

2、数分布，即x有密度函数e x, x 00, 其他E （X） , E （X2）。* X E （x） * *20. X 称为对随机变量 X的标准化随机变量，求 E（X ）及D（X ）。二、计算题221.已知XB（n,p），试求参数n,p的矩法估计值。22.设总体X在a,b上服从均匀分布f（x,a,b） a x a,b，试求参数a,b的矩法估计量。0 x a,b23.设X1, ,Xn是来自N （ , 的样本，求,2的最大似然估计。24.设有一批产品。为估计其废品率 p,随机取一样本 X1, X2,，X,其中1 n则？ X Xi是p的一致无偏估计量。n i 1今有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命

3、波动性较大。为判断这种想法是否合乎实际，随机取了 26只这种电池测出其寿命的样本方差 s2=7200 （小时2）。问根据这个数字能 N（0,1）否断定这批电池的波动性较以往的有显著变化（取 a=0.02，查表见后面附表）？概率论与数理统计附表标准正态分布部分表Z345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99322.50.99380.

4、99400.99410.99430.99450.99460.99480.9949兀2分布部分表na=0.995a=0.99a=0.05a=0.025a=0.01a=0.005249.88610.85636.41539.36442.98045.5592510.52011.52437.65240.64644.31446.9282611.16012.19838.88541.92345.64248.290常用抽样分布T S/nt（n 1）2（n 1）（n 1）S27.某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为 0.8，且各户用电量多少是相互独立的。1、 同一时刻有8100户以上用电的概

5、率；2、 若每户用电功率为 100W则电站至少需要多少电功率才能保证以 0.975的概率供应居民用电？（查表见后面的附表）X 2分布部分表U n N（0,1）T t（n 1） S/、n28.某种电子元件的寿命 x（以小时计）服从正态分布，卩,d2均未知，现测得16只元件, 其样本均值为X 241.5，样本标准方差为 S=98.7259。问是否有理由认为元件的平均寿 命大于225 （小时）？T分布表Na=0.25a=0.10130.9881.5021.77092.1604140.69241.34501.76132.1448151.34061.75312.1315160.69011.33681.7

6、4592.119929.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下有正态分布 N（4.55，0.108 2）。现在测了五炉铁水，其含碳量分别为 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。问：若标准差不改变，总体平均值有无变化？（ a=0.05）U X N（0,1） T X t（n 1） 2 （n 12）S 2（n 1）n S / n30.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下有正态分布 N（4.55，0.108 2）。若标准差不改变，总体平均值有无变化？nN（0,1）答案、计算题11.解：（1） ABC ; （2） ABC ; （3） ABC ; （4） A+B+C ; （5） AB+BC+C

7、A （每个 3 分）2.解：（1） AB=2 , 4; （2） A+B=1 , 2, 3, 4, 5, 6, 8;（3） B =1 , 3, 5, 7 ; （4） A-B=1 , 3 ; （5） BC =1,2,3,4,5,6,7,8（每个 3 分）3.解：（1） （ HH ） （HT ） （TH ） （TT） （2）4, 5, 6,（3）（12,0）（0,12）（1,2）（2,1 ）其中：1 为一号球，2 为二号球（每个 5 分）4.解：（1）利用事件的运算定义，该事件可表示为 ABC。（2）同理，该事件可表示为 ABC。（3）Ab bc Ac （每小题5分）5.解：（1） A B C（2）

8、ABC（3）BCAC AB（每小题3分）解：基本事件的总数 n C8 ;基本事件数k C；。故所求的概率C； 5 0.375 147.解：任取一零件，设B1, B2分别表示它是第一、 二台车床的产品，A表示它是合格品。（4分）则P（Bi）2 13, P（B2） 3P（A|Bi） 1 0.03 0.97 , P（A|B2）1 0.02 0.98 （10 分） 由全概率公式得P（A） P（B1）P（A| B1） P（B2）P（A| B2） 0.97 0.98 0.973（ 15 分）338.解：第一位数字不能是 0，这时，基本事件的总数为 1069（3分）A表示“任选的电话号码的前两位数字恰好为

9、24”。由于电话号码的前两个数字为 24,后五个数字中每一个可以由 0,1,2,9中任取，故对A有利事件的数目为10。（6分）于是（15 分）909.解：一个基本事件是由两个数字组成的排列（ i , j ）, i,j=1,2,3,4,5,6 ，而i,j可以重复，故基本事件的总数为 62。（ 5分）A表示“两颗骰子掷得的点数不同”。对A有利的 基本事件数等于所有i工j排列方式的数目，即从 1, 2, 3, 4, 5, 6这六个数字任取其二11.解:（i）由于 F（ ） lim F（x） 1，所以有 lim （A Be 2） A 1。又由于X XX为连续型随机变量， F（x）应为x的连续函数，应有

10、所以 A+B=0 , B=-A=-1 ,代入 A、B 之值得 F （x） 1 e 2 x 0 （5 分）（2）对函数F（x）求导得x的概率密度为f（x） F（x）xex 0 （10 分）x 0b（3）由 Pa X b f （x）dx F（b） F（a）式有aP1 X 2 F（2） F（1） e 2 e 2 0.4712（ 15分）12.解：（1）因为f（x）是一密度函数，所以必须满足 f（x）dx 1，于是有（5分）2dx 3解得c （10分）81 0 1P（ 1 X 1） 1 f （x）dx dx o f （x）dx（2） 13 1 1 1 0 （15 分） 3x2dx 108 813.解：

11、由分布函数的性质得:lim A（B arctanx）（C arctany）ylim A（B arctanx）（Carctan y） A（B arctanx）（C ） 0 （12 分）1 八, A 2。（1$ 分）由此可解得c -.,B -x 114.解：（1）In x,1 x e1, x ePX 2 FX（2） In 2 （3 分）P0 X 3 Fx （3） Fx（10） 1 0 1 （6 分）5 5 5P2 X 5 2 Fx（） Fx （2） In In 2 In （9 分）2 2 4（2）fx（X） Fx （x） 1 （15 分）,1 x e15.解：因概率密度 f （x）在x 1,x2处

12、等于零，即知当 x 1 时，F（x）x xf （x）dx 0dx 0, （ 3分）当x 2时，f（x）dx 1 f（x）dxx （ 8 分）1 0dx 1.当1 x 2时，f （x）dx2（x 丄）x i1 x 10dx 2（1 ）dx1 x 八（12 分）2（x - 2）.故所求分布函数是0,x 1,F（x） 2（x 2）,1 x 2,（ 15 分）1,x 2.16.E（X）xf （x）dx1x（1x） dx0x（1x）dx0 （7 分）17.分）18.2 2D（x） E（X ） E（X）令Y=|X|，所以：x f （x）dx（1x2（1x）dx 6 （15 分）|x| f（x）dxe .x

13、 dxx dx 1（ 15设发现沉船所需要的搜索时间为X。由题设知PX tt F（t） （t0）（5分）故X的概率密度为 f （t）E（X）=1/19.解:20.0，可见 X服从参数为入的指数分布，因此入，即发现沉船所需要的平均搜索时间为E （X2）E（X ）、计算题21/入。（15分）xdxxdexdx -（7 分）x2e0xe2 （ 15、D（X）E（X）0；D（X ）D（XE（X）D（X）21.解：因为E（X）=np , D（X）=np（1-p），由样本的一阶原点矩和二阶中心矩及矩估计法知可解得：?22.解：（Xi X）2n?（i ?） （ 10 分）1 nXii 1S2（n）-（Xi所

14、以可建立方程:X）2 （10分）b?S2（ n）a?但b）212解得：？ X , 3S（ n） , b?23.解：x的密度函数为L（ ） I?-对数似然函数为：、n）el（）ln（2似然方程为（-1（20 分）X .3S（n）,fx（X）（Xi ）22lnXi）2（b a）2这就是参数a,b（6分）0； （14 分）（xX）2Xi ,的矩法估计值。2_，故似然函数为（2分）（Xi ） （10 分）（18 分）24. 解:由题设条件E（Xi）p 1 （1 p） 0 p（2分）D（Xi）E（Xi2） E（Xi）2p2 1（1 p）02p p（1 p） （4 分）1 nE（?）E（X） E（- Xi

15、）p p （6 分）n i由定义知p是p的无偏估计量,又- 1 nn 1D（D（X） D（ Xi）2p（1 p） =n p（1解得:iP）（10 分）由契比雪夫不等式，任给X, 2 S2，可以验证使似然函数达到最大。 （20分）P（1 P）Pl ?p| P| Xp|Ad（X）p）所以:lim pl （17 分）Xi是废品率p的一致估计量。从而,Xi是废品率p的一致无偏估计量。25. 解:E（X2）D（X） E（X）2解得2 （14 分）分别以A,A2代替2，得的矩估计量分别为A X,A2 A21 Xi21 n 2-（Xi X）2. （20 分）因为 i2a/2（n 1） 120.02/2（25

16、） 11.524 , （8 分）a/2（n 1） 0.02/2 （25） 44.314 （ 12 分）性较以往的并无显著的变化。27.解：（1）设随机变量Yn表示10000户中在同一时刻用电的户数， 则YnB（10000,0.8），（2分）于是np=10000X0.8=8000, . np（1 p） .10000 0.8 0.2 40（ 6 分）8100 np Yn np 10000 np所以概率为 P8100 Yn 1000C P n Jnp（1 p） Jn p（1 p） Jn p（1 p）28.解：按题意需检验 H）:225，取a=0.05，由于此检验的拒绝域ta（n-1）=t 0.05

17、（15）=1.7531（8 分） 7 ta（n 1），可查表得:S/ . n所以T X 0 241.5 225 0.6685 1.7531，由于落在拒绝域外（接受域内）S/J n 98.7259/J16故接受即认为元件的平均寿命不大于 225小时。29.解2=0.1082，已知未变，因此用 U检验法。检验假设H）:卩=卩0=4.55计算统计量的值x 丄（4.284.40 4.42 4.35 4.37） 4.364 （8 分）u J4.364 4.55 3.85 （14 分）0.1082.n 5U检验法，查附表，a=0.05，有 （1.96） 1 0.975所以 Za/2=1.96比较统计量 u与Za/2，因|u|=3.85 Za/2=1.96故u落入否定域。在 a=0.05下，拒绝 H。认 为含碳量比原来有显著变化。30.解2=0.1082，已知未变，因此用 U检验法。卩=卩0=4.55 （4分）x （4.284364 4.55 3.85 （12 分）0.1082 5U检验法，查附表，a=0.05，有 （1.96） 1 - 0.975 （16 分）所以 Za/2=1.96 （ 18 分）比较统计量u与Za/2，因|u|=3.85在 a=0.05下，拒绝 耳。