概率与数理统计习题集含答案Word格式文档下载.docx
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2
f（x）
cx,0x2
0,其他
求：
（1）c的值；
（2）P（1X1）
求常数A,B,C（
x）,（
y）-
14.设随机变量X的分布函数为
0,x
1
Fx（x）
Inx,1
x
e
1,x
求P{X2},P{0X
3},P{2
X
52}；
（2）求概率密度fX（x）
15.设随机变量X的概率密度为
f（x）
0,
2（1-）,1x2,
其他•
16.设随机变量X的概率密度为f（x）
x1x0
1x0x1，求E（X）,D（X）。
0其它
，试求|X|的数学期望。
18.搜索沉船，在时间t内发现沉船的概率为1et（入＞0）,求为了发现沉船所需的平均搜索时间。
19.设x服从参数为的指数分布，即x有密度函数
ex,x0
0,其他
E（X）,E（X2）。
*XE（x）**
20.X称为对随机变量X的标准化随机变量，求E（X）及D（X）。
二、计算题2
21.已知X~B（n,p），试求参数n,p的矩法估计值。
22.设总体X在[a,b]上服从均匀分布
f（x,a,b）「~ax[a,b]，试求参数a,b的矩法估计量。
0x[a,b]
23.设X1,,Xn是来自N（,｝的样本，求,2的最大似然估计。
24.设有一批产品。
为估计其废品率p,随机取一样本X1,X2,…，X,其中
—1n
则？
X—Xi是p的一致无偏估计量。
ni1
今有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命波动性较大。
为判断这种想法是否合乎实
际，随机取了26只这种电池测出其寿命的样本方差s2=7200（小时2）。
问根据这个数字能
~N（0,1）
否断定这批电池的波动性较以往的有显著变化（取a=0.02，查表见后面附表）？
概率论与数理统计附表
标准正态分布部分表
Z
3
4
5
6
7
1.8
0.9641
0.9648
0.9656
0.9664
0.9671
0.9678
0.9686
0.9693
1.9
0.9713
0.9719
0.9726
0.9732
0.9738
0.9744
0.9750
0.9756
2.4
0.9918
0.9920
0.9922
0.9925
0.9927
0.9929
0.9931
0.9932
2.5
0.9938
0.9940
0.9941
0.9943
0.9945
0.9946
0.9948
0.9949
兀2分布部分表
n
a=0.995
a=0.99
a=0.05
a=0.025
a=0.01
a=0.005
24
9.886
10.856
36.415
39.364
42.980
45.559
25
10.520
11.524
37.652
40.646
44.314
46.928
26
11.160
12.198
38.885
41.923
45.642
48.290
常用抽样分布
TS/n~t（n1）
2（n1）
（n1）S
27.某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8，且各户用电量多
少是相互独立的。
1、同一时刻有8100户以上用电的概率；
2、若每户用电功率为100W则电站至少需要多少电功率才能保证以0.975的概率
供应居民用电？
（查表见后面的附表）
X2分布部分表
Un~N（0,1）
T—~t（n1）S/、n
28.某种电子元件的寿命x（以小时计）服从正态分布，卩,d2均未知，现测得16只元件,其样本均值为X241.5，样本标准方差为S=98.7259。
问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）？
T分布表
N
a=0.25
a=0.10
13
0.988
1.502
1.7709
2.1604
14
0.6924
1.3450
1.7613
2.1448
15
1.3406
1.7531
2.1315
16
0.6901
1.3368
1.7459
2.1199
29.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下有正态分布N（4.55，0.1082）。
现在测了五
炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。
问：
若标准差不改变，总体平
均值有无变化？
（a=0.05）
UX~N（0,1）TX~t（n1）2（n12）S~2（n1）
nS/n
30.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下有正态分布N（4.55，0.1082）。
若标准差不改变，
总体平均值有无变化？
n~N（0,1）
答案
—、计算题1
1.解：
（1）ABC;
（2）ABC;
（3）ABC;
（4）A+B+C;
（5）AB+BC+CA（每个3分）
2.解：
（1）AB={2,4};
（2）A+B={1,2,3,4,5,6,8};
（3）B={1,3,5,7};
（4）A-B={1,3};
（5）BC={1,2,3,4,5,6,7,8}（每个3分）
3.解：
（1）{（HH）（HT）（TH）（TT）}
（2）{4,5,6,…}
（3）{（12,0）（0,12）（1,2）（2,1）}其中：
1为一号球，2为二号球（每个5分）
4.解：
（1）利用事件的运算定义，该事件可表示为ABC。
（2）同理，该事件可表示为ABC。
（3）AbbcAc（每小题5分）
5.解：
（1）ABC
（2）
ABC
（3）
⑷
BC
ACAB
（每小题
3分）
解：
基本事件的总数nC8;
基本事件数kC；
。
故所求的概率
C；
50.375
14
7.解：
任取一零件，设B1,B2分别表示它是第一、二台车床的产品，A表示它是合格品。
（4分）则
P（Bi）
21
3,P（B2）3
P（A|Bi）10.030.97,P（A|B2）10.020.98（10分）由全概率公式得
P（A）P（B1）P（A|B1）P（B2）P（A|B2）0.970.980.973（15分）
33
8.解：
第一位数字不能是0，这时，基本事件的总数为1069（3分）
A表示“任选的电话号码的前两位数字恰好为24”。
由于电话号码的前两个数字为24,
后五个数字中每一个可以由0,1,2,…,9中任取，故对A有利事件的数目为10。
（6分）于
是
（15分）
90
9.解：
一个基本事件是由两个数字组成的排列（i,j）,i,j=1,2,3,4,5,6，而i,j可以
重复，故基本事件的总数为62。
（5分）A表示“两颗骰子掷得的点数不同”。
对A有利的基本事件数等于所有i工j排列方式的数目，即从1,2,3,4,5,6这六个数字任取其二
11.解:
（i）由于F（）limF（x）1，所以有lim（ABe2）A1。
又由于
XX
X为连续型随机变量，F（x）应为x的连续函数，应有
所以A+B=0,B=-A=-1,代入A、B之值得F（x）1e2x0（5分）
（2）对函数F（x）求导得x的概率密度为f（x）F'
（x）
xe
x0（10分）
x0
b
（3）由P{aXb}f（x）dxF（b）F（a）式有
a
P{1X2}F
（2）F
（1）e2e20.4712（15分）
12.解：
（1）因为f（x）是一密度函数，所以必须满足f（x）dx1，于是有（5分）
\2dx3
解得c—（10分）
8
101
P（1X1）1f（x）dx』dxof（x）dx
（2）131110（15分）3x2dx1
088
13.解：
由分布函数的性质得:
limA（Barctanx）（Carctany）
y
limA（Barctanx）（C
arctany）A（Barctanx）（C）0（12分）
1八
■,A2。
（1$分）
由此可解得c-.
B-
x1
14.解：
（1）
Inx,
1xe
1,xe
P{X2}FX
（2）In2（3分）
P{0X3}Fx（3）Fx（10）101（6分）
555
P{2X52}Fx（—）Fx
（2）In—In2In—（9分）
224
（2）fx（X）Fx（x）'
1（15分）
1xe
15.解：
因概率密度f（x）在x1,x
2处等于零，即知
当x1时，F（x）
xx
f（x）dx0dx0,（3分）
当x2时，
f（x）dx1f（x）dx
x（8分）
10dx1.
当1x2时，
f（x）dx
2（x丄）
xi
1x1
0dx2（1—）dx
1x八
（12分）
2（x-2）.
故所求分布函数是
0,x1,
F（x）2（x—2）,1x2,（15分）
1,x2.
16.
E（X）
xf（x）dx
1x（1
x）dx
0x（1
x）dx
0（7分）
17.
分）
18.
22
D（x）E（X）[E（X）]
令Y=|X|，所以：
xf（x）dx
（1
x2（1
x）dx6（15分）
|x|f（x）dx
e.
xdx
xdx1（15
设发现沉船所需要的搜索时间为
X。
由题设知
P{Xt}
tF（t）（t>
0）
（5分）
故X的概率密度为f（t）
E（X）=1/
19.
解:
20.
0，可见X服从参数为入的指数分布，因此
入，即发现沉船所需要的平均搜索时间为
E（X2）
E（X）
、计算题2
1/
入。
（15分）
xdx
xde
xdx-
（7分）
x2e
0xe
2（15
、D（X）
E（X）0
；
D（X）
D（X
E（X））
D（X）
21.解：
因为E（X）=np,D（X）=np（1-p），由样本的一阶原点矩和二阶中心矩及矩估计法知
可解得：
?
22.解：
（XiX）2
n?
（i?
）（10分）
1nXi
i1
S2（n）-
（Xi
所以可建立方程:
X）2（10分）
b?
S2（n）
a?
但b）2
12
解得：
？
X,3S（n）,b?
23.解：
x的密度函数为
L（）I?
-
对数似然函数为：
、n
）e
l（）
ln（2
似然方程为
（-
—1
（20分）
X..3S（n）,
fx（X）
（Xi）2
2~
ln
Xi）2
（ba）2
这就是参数a,b
（6分）
0；
（14分）
（x
X）2
Xi,
的矩法估计值。
2_
，故似然函数为（2分）
（Xi）（10分）
（18分）
24.解:
由题设条件
E（Xi）
p1（1p）0p
（2分）
D（Xi）
E（Xi2）E（Xi）2
p21
（1p）
02
pp（1p）（4分）
1n
E（?
）
E（X）E（-Xi）
pp（6分）
ni
由定义知
p是p的无偏估计量,
又
-1n
n1
D（®
D（X）D（Xi）
~2
p（1p）=np（1
解得:
i
P）
（10分）
由契比雪夫不等式，任给£
X,2S2，可以验证使似然函数达到最大。
（20分）
P（1P）
>
P{l?
p|}P{|X
p|
Ad（X）
p）
所以:
lim
pl}
（17分）
Xi是废品率p的一致估计量。
从而,
Xi是废品率p的一致无偏估计量。
25.解:
E（X2）
D（X）[E（X）]2
解得
2（14分）
分别以
A,A2代替
2，得
的矩估计量分别为
AX,
A2A2
1Xi2
1n2
-（XiX）2.（20分）
因为i2a/2（n1）120.02/2（25）11.524,（8分）
a/2（n1）0.02/2（25）44.314（12分）
性较以往的并无显著的变化。
27.解：
（1）设随机变量Yn表示10000户中在同一时刻用电的户数，则Yn~B（10000,0.8），
（2分）于是
np=10000X0.8=8000,.np（1p）.100000.80.240（6分）
8100npYnnp10000np
所以概率为P{8100Yn1000C}P{——n}
Jnp（1p）Jnp（1p）Jnp（1p）
28.解：
按题意需检验H）:
^<
^0=225,Hl：
卩>
225，取a=0.05，由于此检验的拒绝域
ta（n-1）=t0.05（15）=1.7531
（8分）
7°
ta（n1），可查表得:
S/.n
所以TX0241.52250.66851.7531，由于落在拒绝域外（接受域内）
S/Jn98.7259/J16
故接受即认为元件的平均寿命不大于225小时。
29.解2=0.1082，已知未变，因此用U检验法。
检验假设H）:
卩=卩0=4.55
计算统计量的值
x丄（4.28
4.404.424.354.37）4.364（8分）
uJ
4.3644.55
3.85（14分）
0.1082
.n
■5
U检验法，查附表，a=0.05，有（1.96）10.975
所以Za/2=1.96
比较统计量u与Za/2，因|u|=3.85>
Za/2=1.96故u落入否定域。
在a=0.05下，拒绝H。
认为含碳量比原来有显著变化。
30.解2=0.1082，已知未变，因此用U检验法。
卩=卩0=4.55（4分）
x—（4.28
43644.553.85（12分）
0.1082'
5
U检验法，查附表，a=0.05，有（1.96）1-0.975（16分）
所以Za/2=1.96（18分）
比较统计量u与Za/2，因|u|=3.85>
在a=0.05下，拒绝耳。
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