连续型随机变量及其概率分布PPT资料.pptx

1、频率直方图，频率直方图是统计学中表示频率分布的图形，该图形在直角坐标系中，用横轴表示随机变量的取值，横轴上的每个小区间对应一个组的组距，作为小矩形的底边；纵轴表示频率与组距的比值，并用它作小矩形的高，以这种小矩形构成的一组图称为频率直方图.,2.3连续型随机变量及其概率分布,2,f（x）,x,c,x 1 0,其他,因此，从这次的抽查结果，我们认为这批晶体管的寿命的可以用这个函数、或者近似可以用这个函数刻画概率分布.,定义设 X 是一随机变量，F（x）是它的分布函数，若存在一个非负可积函数 f（x）,使得,f（t）dt x,F（x）,x,则称 X 是连续型随机变量，f（x）是它的概率密度函数，简

2、称为密度函数或概率密度.,注：连续型随机变量的分布函数连续,-10,-5,5,0.040.02,0.06,0.08,x,f（x）,x,F（x）,分布函数F（x）与密度函数 f（x）的几何意义,y f（x）,概率密度函数 f（x）的性质,1、,f（x）0,2、f（x）dx F（）1常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其中的未知参数,3、在 f（x）的连续点处，,f（x）F（x）,f（x）描述了X 在 x 附近单位长度的区间内取值的概率f（x0）x P（x0 X x0 x）,注：对于连续型随机变量X,P（X=a）=0（这里 a可以是随机变量 X 的一个可能的取值）,x

3、 X a）,a）P（a,0 P（X0 P（X,a,ax,x 0f（x）dx,a）lim,x0,a,ax,f（x）dx,0,P（X a）0命题连续型随机变量取任一常数的概率为零强调 概率为0（1）的事件未必不发生（发生）,（X a）（a x X a）,事实上,对于连续型随机变量XP（a X b）P（a X b）P（a X b）P（a X b）,b,a,f（x）d x F（b）F（a）,b,x,f（x）,-10,-5,5,0.060.040.02,0.08,a,P（X b）P（X b）F（b）,x,P（X a）P（X a）1 F（a）f（x）,-10,-5,5,0.080.060.040.02,a

4、,例设随机变量X 具有概率密度函数,x 0;0,x 0.,f（x）,Ae3 x,试确定常数A，以及X 的分布函数.,解 由1,A,13,f（x）dx,0,Aedx,3 x,x 0;0,x 0.,3e3 x,知A=3，即f（x）而X 的分布函数为,1 e3 x,x 0;x 0.,f（t）dt,F（x）,x,0,例 有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为连续型随机变量，其概率密度函数为,2,c,x 1000,f（x）,0,其他,x,（1）求常数 c.,（c为常数）,已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，每只晶体管能否正常工作相互独立，求在使用的最初 1500小时三只晶体管中损坏的只数所服从的分布

5、.这样的晶体管,使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.,解（1）,令d x 1,c,x2,f（x）d x,1000,c=1000,（2）,设事件 A 表示一只晶体管的寿命小于1500小时P（A）P（0 X 1500）,1500,x2,1000,1000 d x 1,3,设在使用的最初1500小时三只晶体管中,损坏的只数为,1,Y B 3,3,（3）,49,1 2 2,P（Y 1）C 1,3 3 3,例一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以 X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量 X的分布函数,解:若x 0,则（X x）是不可

6、能事件,于是,F（x）P（X x）0若0 x 2,由题意,P（0 X x）kx2,k是某一常数.,4,x2,即P（0 X x）,于是,F（x）P（X x）,4,P（X 0）P（0 X x）,x 2,4,取x 2,有P（0 X 2）k 22 1,k 1,F（x）P（X x）1综上所述，随机变量 X的分布函数为,1,0 x 2,F（x）4,x 00 x 2x 2,若x 2,由题意,是必然事件,于是,（1）均匀分布,常见的连续性随机变量的分布,X U（a,b）,记作,X 的分布函数为,0,b a,x a,F（x）,1,x b,a x b,x a,1,f（x）b a,0,a x b,其他,若 X的密度

7、函数为,则称 X 服从区间（a,b）上的均匀分布,x,f（x）,a,b,x,F（x）,b,a,1,b a,。,。,1,（c,d）（a,b）,1d x d c,cb a,P（c X d）d,b a,即 X 的取值在（a,b）内任何长为 d c 的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比.这正是几何概型的情形.,（2）指数分布若 X的密度函数为,e x,x 0f（x）0,其他,则称 X服从 参数为的指数分布,X Exp（）,记作,X 的分布函数为,0,x,F（x）,x 01 e,x 0,0 为常数,x,F（x）1,0,x,0,f（x）,相继两次故障时间间隔T的概率分布；设备已经无故障运行8

8、小时的情况下，再无故障运行10小时的概率.,例 假定一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数X（t）服从参数为t的泊松分布.求：,解（1）,FT（t）P（T t）,0,t 01 P（T t）,t 0,P（T,0!,（t）0 e t,t）P（N（t）0）0,t 0,t 0,t,F（t）,1 e,t,f（t）,e t0,t 0e,t 0,即,T E（）,P（T 8）,（2）P（T 18 T 8）P（T 18）1 F（18）e10,1 F（8）,指数分布具有无记忆性：,P（X s t|X s）P（X t）,X Exp（）,则,例（常识）（0,t）内的保险公司索赔次数 N（t）服从poisson分

9、布即 N（t）P（t）；,其两次索赔之间的时间间隔服从指数分布。例（常识）（0,t）内某柜台需要服务的顾客数N（t）服从poisson分布即 N（t）P（t）；先后两个顾客到达柜台的时间间隔服从指数分布。,例 某美容厅顾客到达后需要等候的服务时间服从参数为0.1 的指数分布，若顾客等候时间超过,20分钟就会离开.（1）请给出该美容厅在营业时间内50个顾客中因等候时间超过20分钟，没有等到服务而离开人数的分布律;（2）50个顾客中没有等到服务而离开的人数大于1的概率.,X,10,P（X 20）,0.1e,0.1x,2,d x e,50,kk250k,P（Y k）Cp（1 e）,，k 0,1,2,

10、50,X,解 设Y 表示50个顾客中因等候时间超过20分钟，没有等到服务而离开的人数，根据题意每个顾客等待时间,超过20分钟的概率为,的50重Bernoulli试验中顾客,Y 可以看成是 p e2离开发生次数，因此Y B（50,e2）,（2）没有等到服务而离开的次数大于1的概率为,P（Y 1）1 p（Y 0）p（Y 1）1（1 e2）50 50e2（1 e2）49,（3）正态分布（Gauss分布）若X 的密度函数为,x,f（x）,e,（x）2,2 2,12,则称 X服从参数为 m,s,2,的正态分布,记作 X N（m,s 2）,为常数，0,N（-3,1.2）,0.30.250.20.150.1

11、0.05-6-5-4-3-2-1,3,f（x）的性质：图形关于直线 x=对称：f（+x）=f（-x）在 x=时,f（x）取得最大值12 在 x=时,曲线 y=f（x）在对应的点处有拐点曲线 y=f（x）以 x 轴为渐近线曲线 y=f（x）的图形呈单峰状,12,P（X）F（）1 F（）P（X）,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0.30.250.20.150.10.05,f（x）的两个参数：位置参数即固定,对于不同的,对应的 f（x）的形状不变化，只是位置不同形状参数固定，对于不同的，f（x）的形状不同.,若1 2则,112 12 2,比x=2所对应的拐点更靠近直线 x=,附近值的概率更大.,

12、x=1所对应的拐点,前者取,Showfn1,fn3,大,小,0.20.1,0.3,0.4,0.5,几何意义,数据意义,-6-5-4-3-2-1 大小与曲线陡峭程度成反比 大小与数据分散程度成正比,x 其分布函数为,x2,一种重要的正态分布：N（0,1）标准正态分布标准正态分布的计算：如果随机变量 X N 0，1，则其密度函数为,2,1,2,e,x,1,2,x,x t dt,x,t2,e2 dt,教科书上都附有标准正态分布表,由此可得（x）值.（0）0.5（x）1（x）P（|X|a）2（a）1,-3-2-1,1,2,3,0.40.30.20.1,（0）0.5,2,3,0.40.30.20.1,-

13、3-2-x-1,1 x,（x）1（x）,P（|X|a）2（a）1,对一般的正态分布：X N（,2）,其分布函数F（x）,x,edt,12,2 2,（t）2,t 作变量代换 s,F（x）x,P（a X b）F（b）F（a）,b a,P（X a）1 F（a）,1 a,定理若X N（,2）,则,X N（0,1）.,例假定某人群血液中总胆固醇含量（.,.）（/），如果总胆固醇超过5.6被认为是偏高的，求总胆固醇偏高的概率.,P（X 5.6）1 P（X 5.6）,0.8,1 5.6 4.2,1（1.75）=1 0.95994=0.04006,解,例 假设公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头机会在1%以

14、下来设计的，假设成年男子身高（,）（），问如何设计车门的高度？,解设车门的高度为（），按设计要求解满足（）.,查表得.=.，所以取,=.，,解得,或（）.的最小值.,=.,例 已知 X N（2,2）且 P（2 X 4）=0.3,求 P（X 0）.,解一,P（X 0）0 2 1 2,P（2 X 4）4 2 2 2,2（0）0.3,2 0.8,P（X 0）0.2,-2,2,4,6,0.05,0.150.1,0.2,解二 图解法,0.2,由图P（X 0）0.2,0.3,例 3 原则,设 X N（,2）,求,P（|X|3）,解 P（|X|3）P（3 X 3）,3 3,3 3 2 3 1 2 0.9987 1 0.9974一次试验中,X 落入区间（-3,+3）的概率为 0.9974,而超出此区间可能性很小由3 原则知，当 a 3 时（a）0,b 3 时（b）1,例设测量的误差 X N（7.5,100）（单位：米）,问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.9?,解,1010,P（|X|10）10 7.5 10 7.5,0.25 1.75 0.25 1 1.75 0.5586设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过10米,P（A）1（1 0.5586）n 0.9,n 3,所以至少要进行 4 次独立测量才能满足要求.,