第26讲巧解竞技数学问题Word格式.docx

1、如果A队二胜一负、B队二胜一平、C队一胜二负，那么D队的成绩是几胜几负几平？【例2】A、B、C、D、E五人进行了分胜负的乒乓球单循环比赛，结果是：（1）A胜3场；（2）E胜1场；（3）B、C、D各胜2场，且他们三人中有1人胜了其他两人；（4）除B外，其他四人相互之间均有胜有负；（5）C胜E。他们五人之间的胜负关系是：A胜 ，B胜 ，C胜 ，D胜 ，E胜 。解 我们用表示胜。由（1）知A赛4场胜3场，再由（4）推知A胜B，否则A将胜C、D、E，与（4）的A、C、D、E互有胜负矛盾；由（2）知E只胜1场，但E不能胜B，否则E将输给A、C、D，与（4）的A、C、D、E互有胜负矛盾，所以B胜E；由（3

2、）知B、C、D中有一人胜了其他两人，因为这个人只胜2场，所以他必输给E，而E只胜1场，所以A胜E；再由（5）知C胜E，于是可画出左下图。由左上图及（2），推知E胜D；因为B、C都胜了E，再由（3）知在B、C、D中，只能是D胜B、C；因为D只胜2场，所以A胜D；由（1）A胜3场，推知C胜A，而C只胜2场，所以B胜C。全部的胜负情况见右上图，即A胜B、D、E；B胜C、E；C胜A、E；D胜B、C；E胜D。小结 结合图表解题，既直观又方便。做一做2 有A、B、C、D四支足球队进行单循环比赛，共要比赛几场？全部比赛结束后，A、B两队的总分并列第一名，C队第二名，D队第三名，则C队最多得多少分？（胜一场得

3、2分，平得1分，负得0分）【例3】有A、B、C、D、E共5人进行乒乓球循环赛，即每两人都要赛一局，规定胜者得2分，负者不得分。现知A与B并列第一名，D比C的名次高，每个人都至少胜一局（注意：在有两个并列第一时，就不再有第二名，下一个名次规定为第三名）。求每人胜的局数及得分。分析与解 共赛10局，总分应为20分。由于每人最多胜4局，但胜4局的人必是第一名，不可能两个都是第一名，所以A与B最多各胜3局。那么A与B胜的局数能不能少于3局呢？如果A与B至多胜2局，那么剩下1032=4（局）。由于C、D、E三人每人至少胜了一局，且4=112，故D必胜2局，得4分，是第三名；而C与E各胜一场，各得2分，并

4、列第四名。A与B各胜3局，各得6分；D胜2局，得4分；C与E各胜1局，各得2分。做一做3 A、B、C、D、E五人参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一局，并且只赛一局，规定胜者得2分，负者不得分。已知比赛结果如下：A与E并列第一名；B是第三名；C与D并列第四名。求B的得分。B级 培优竞赛更上层楼【例4】甲、乙、丙、丁四人进行八项体育比赛，每项比赛第一、第二、第三、第四名依次得5，3，2，1分。赛后统计发现，四人总分各不相同，并且丁总分最少，他们每一人都得三种名次，但是甲无第一名，乙无第二名，枣树无第三名，丁无第四名。总分最高的人是谁？他得了多少分？解 总分最高是乙，他得了25分。丁有三种名次，最少得

5、分是1个第一、1个第二、6个第三，得5326=20（分）。这样，甲至少要得21分，他得6个第二，1个第三，1个第四，共得3621=21（分）。很明显，他不能再得更多分。由此可知，甲得21分，丁得20分。现在还有7个第一，1个第二，1个第三，7个第四。乙必须得1个第三。如果他只得3个第一，那么他只有25314=21（分），不符合题目条件，因此他必须得4个第一，共得54213=25（分）。做一做4 八名选手进行象棋循环赛，每两人赛一场，共赛28场。规定胜一场得2分，平局各得1分，负者得0分。已知，每一选手所得总分各不相同，并且第二名总分等于最后四名总分之和。第四名总分至多是多少？【例5】在一次射击

6、练习中，甲、乙、丙三位战士各打了四发子弹，全部中靶，其命中情况如下：（1）每人四发子弹所命中的环数各不相同；（2）每人四发子弹所命中的总环数均为17环；（3）乙有两发命中的环数分别与甲的两发一样，乙另两发命中的环数与丙的两发一样；（4）甲与丙只有一发环数相同；（5）每人每发子弹的最好成绩不超过7环。甲与丙命中的相同环数是多少环？分析与解 条件这样多，一下子要满足所有的条件很困难，我们把条件归类，逐条逐步去满足。首先，我们找出符合条件（1）、（2）、（5）的所有情况。其次，再从这些情况中去掉不符合条件（3）与条件（4）的，剩下的就是全部符合题目要求的答案。满足（1）、（2）、（5）的只有如下四种

7、情况：1736=17（环）1745=17（环）2645=17（环）2735=17（环）从上述四个式子中看出，式与式有数字1和7相同；式与式有数字4和5相同；式既与式有两个数字相同，又另有两个数字与式相同，式反映的就是乙的射击情况。式和式就是甲和丙。式和式相同的数字是6，所以甲和丙命中的相同环数是6环。做一做5 甲、乙、丙三名运动员囊括了全部比赛项目的前三名，他们的总分分别是8分、7分和17分，甲得了一个第一名。已知各个比赛项目分数相同，且第一名的得分不低于第二、第三名得分的和，那么，比赛共有多少个项目？甲的每项得分分别是多少？【例6】一场足球赛，有A、B、C、D四队参加，每两队都赛一场。按规则

8、，胜一场得2分，平1场得1分，负一场得0分。比赛结果：B队得5分，C队得3分，A队得1分。所有场次共进了9个球。B队进球最多，共进了4个球；C队共失了3个球；D队一个球也没有进。A队与C队的比分2：3。A队与B队的比分是多少？分析与解 四个队每队都赛一场，共赛6场。每一场两队得分之和是2分，因此所有队在各场的得分之和是26=12（分）。D队的得分是15531=3（分）因为D队一球未进，至多与其他队打平，所以D队赛的三场都是打平。现在，把已知的比赛成绩列成下表来表示：球队赛几场胜负平进球失球得分A321B45CD每一队都赛三场，得5分一定是胜2场平1场，得1分是负2场平1场。C队以3：2胜A队，

9、它得3分，一定是胜、平、负各一场。C队与A队比赛，C队进了3球，A队进了2球，这一场共进了5个球。B队进球数是4，因此，所有场次共进9个球已够数，C队和A队在其他场没有进球。B队与D队是0：0打平，它进4个球，一定是与C队或A队比赛时进的。C队共失3球，与A队比赛失2球，因此与B队比赛的失球数为32=1（球），比分是0：1。B队与A队比赛的进球数为41=3（球），比分是3：0。A队与B队的比分是0：做一做6 A、B、C、D四个足球队进行循环比赛，赛了若干场后，A、B、C三队的比赛情况如下：队名场数6D赛了几场？D队几场比赛的比分是多少？C级（选学）决胜总决赛勇夺冠军【例7】六个足球队进行单循环

10、比赛，每两队都要赛一场。如果踢平，每队各得1分，否则胜队得3分，负队得0分。现在比赛已进行了四轮（每队都已与四个队比赛过），其中有四场球赛踢成平局，并且各队四轮的得分之和互不相同。已知总得分居第三位的队共得7分，问总得分居第五位的队最多踢了几场平局？解 每队都赛四场，每场是两个队比赛，因此比赛了（64）2=12（场），其中4场平局，六队总得分是3（124）24=32（分）总得分居第一、第二位的队至少得9分和8分。总得分居后三位的得分之和至多为32（987）=8（分）因此，总得分第五位的队，至多得3分，至多踢3场平局。如果我们能举出一个踢三场平局的实际例子，“至多”就成为“最多”，最多踢三场平局

11、。我们以足球比赛常用的表格来反映各队之间的胜负关系。设这六队分别是A、B、C、D、E、F，表格如下：EF987注：空格表示这两队没有进行比赛。从表格中可以看出，现居第五位的队最多踢平三场球。做一做7 四名棋手每两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得2分，平一局得1分，负一局得0分。比赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么至多有 局平局。巧练习温故知新（二十六）1.德国队、意大利队和荷兰队进行一次足球比赛，每一队与另外两队各赛一场。现在知道：（1）意大利队总进球数是0，并且有一场打了平局；（2）荷兰队总进球数是1，总失球数是2，并且它恰好胜了一场。按规则胜一场得3分，平一场得1分，负一

12、场得0分，那么德国队得了多少分？2.10名选手参加象棋比赛，每两名选手之间都要比赛一盘。记分办法是胜一盘得1分，平一盘得0.5分，负一盘得0分。比赛结果是选手们所得分数各不相同，第一名和第二名一盘都没输过，前两名的总分比第三名多10分，第四名与最后四名得分总和相等。第三名得多少分。3.某班学生在运动会上进入前三名的有10人次。已知获第一名可得9分，获第二名可得5分，获第三名可得2分，其他名次不记分，该班共计得61分，问：其中获第一名的至多有几人次？4.10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，无平局。其中有两队并列第一，两队并列第三，还有两队并列第五，以后无并列情况。请计算出各队得分。5.1

13、0名选手参加象棋比赛，每两名选手间都要比赛一次。比赛结果表明：选手们所有分数各不相同，前两名选手都没输过，前两名的总分比第三名多20分，第四名得分与后四名所得总分相等。前六名的分数各为多少？（胜得2分，和得1分，负得0分）6.12个队参加一次足球比赛，每两个队都比赛一场。每场比赛中，胜队得3分，负队得0分，平局则各得1分。比赛完毕后，获得第3名和第4名的两个队的得分最多可相差 分。7.5个选手参加一次足球比赛，每两个队之间都要赛一盘，规定胜一盘得2分，平一盘各得1分，输一盘不得分。已知比赛后其中4位选手共得16分，则第5位选手得 分。8.8人参加一个象棋循环赛（即两人都比赛一盘），并且他们的得

14、分都不相同。比赛记分规则是胜者得1分，负者得0分，平者双方各得0.5分。已知第2名的得分是最后四名得分的和，则第2名得分是 分。9.甲、乙、丙名运动员囊括了全部比赛项目的前三名，他们的总分分别是8分、7分和17分，甲得了一个第一名，已知各个比赛项目分数相同，且第一名的得分不低于二、三名得分的和，那么比赛共有 个项目，甲的每项得分分别是 。10.四支足球队进行单循环比赛，每两队都要赛一场。如果赛和，每队各得1分；否则胜队得3分，负队得0分。比赛结果，四队得分恰好是四个连续的整数，问：输给第一名的队得了几分？11.甲、乙、丙、丁4个足球队进行循环赛，每两个队之间都要比一场，胜者得3分，负者得0分，平者各得1分。比赛结束后，甲队共得6分，乙队共得4分，丙队共得2分，那么丁共得 人。12.有A、B、C、D、E五支球队参加足球循环赛，每两个队之间都要赛一场，当比赛快要结束时，统计到的成绩如下：获胜场数平局场数失败场数进球个数失球个数已知A与E以及B与C都赛成平局，并且比分都是1：1，那么B与D两队之间的比分是 。13.世界杯足球赛，每个小组有4支球队，每两支球队之间各赛一场，胜一场得3分，负一场得0分，平局各得1分，每个小组总分最多的两支球队出钱。如果在第一小组比赛中出现了一场平局，问：在第一小组中一支球队至少得多少分，一定能够出钱？巧总结本节我的收获是： 。不足之处有：