第26讲巧解竞技数学问题Word格式.docx
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如果A队二胜一负、B队二胜一平、C队一胜二负,那么D队的成绩是几胜几负几平?
【例2】A、B、C、D、E五人进行了分胜负的乒乓球单循环比赛,结果是:
(1)A胜3场;
(2)E胜1场;
(3)B、C、D各胜2场,且他们三人中有1人胜了其他两人;
(4)除B外,其他四人相互之间均有胜有负;
(5)C胜E。
他们五人之间的胜负关系是:
A胜,B胜,C
胜,D胜,E胜。
解我们用△→○表示△胜○。
由
(1)知A赛4场胜3场,再由(4)推知A胜B,否则A将胜C、D、E,与(4)的A、C、D、E互有胜负矛盾;
由
(2)知E只胜1场,但E不能胜B,否则E将输给A、C、D,与(4)的A、C、D、E互有胜负矛盾,所以B胜E;
由(3)知B、C、D中有一人胜了其他两人,因为这个人只胜2场,所以他必输给E,而E只胜1场,所以A胜E;
再由(5)知C胜E,于是可画出左下图。
由左上图及
(2),推知E胜D;
因为B、C都胜了E,再由(3)知在B、C、D中,只能是D胜B、C;
因为D只胜2场,所以A胜D;
由
(1)A胜3场,推知C胜A,而C只胜2场,所以B胜C。
全部的胜负情况见右上图,即A胜B、D、E;
B胜C、E;
C胜A、E;
D胜B、C;
E胜D。
小结结合图表解题,既直观又方便。
做一做2有A、B、C、D四支足球队进行单循环比赛,共要比赛几场?
全部比赛结束后,A、B两队的总分并列第一名,C队第二名,D队第三名,则C队最多得多少分?
(胜一场得2分,平得1分,负得0分)
【例3】有A、B、C、D、E共5人进行乒乓球循环赛,即每两人都要赛一局,规定胜者得2分,负者不得分。
现知A与B并列第一名,D比C的名次高,每个人都至少胜一局(注意:
在有两个并列第一时,就不再有第二名,下一个名次规定为第三名)。
求每人胜的局数及得分。
分析与解共赛10局,总分应为20分。
由于每人最多胜4局,但胜4局的人必是第一名,不可能两个都是第一名,所以A与B最多各胜3局。
那么A与B胜的局数能不能少于3局呢?
如果A与B至多胜2局,那么剩下10-3×
2=4(局)。
由于C、D、E三人每人至少胜了一局,且4=1+1+2,故D必胜2局,得4分,是第三名;
而C与E各胜一场,各得2分,并列第四名。
A与B各胜3局,各得6分;
D胜2局,得4分;
C与E各胜1局,各得2分。
做一做3A、B、C、D、E五人参加乒乓球比赛,每两个人都要赛一局,并且只赛一局,规定胜者得2分,负者不得分。
已知比赛结果如下:
①A与E并列第一名;
②B是第三名;
③C与D并列第四名。
求B的得分。
B级培优竞赛·
更上层楼
【例4】甲、乙、丙、丁四人进行八项体育比赛,每项比赛第一、第二、第三、第四名依次得5,3,2,1分。
赛后统计发现,四人总分各不相同,并且丁总分最少,他们每一人都得三种名次,但是甲无第一名,乙无第二名,枣树无第三名,丁无第四名。
总分最高的人是谁?
他得了多少分?
解总分最高是乙,他得了25分。
丁有三种名次,最少得分是1个第一、1个第二、6个第三,得5+3+2×
6=20(分)。
这样,甲至少要得21分,他得6个第二,1个第三,1个第四,共得3×
6+2+1=21(分)。
很明显,他不能再得更多分。
由此可知,甲得21分,丁得20分。
现在还有7个第一,1个第二,1个第三,7个第四。
乙必须得1个第三。
如果他只得3个第一,那么他只有2+5×
3+1×
4=21(分),不符合题目条件,因此他必须得4个第一,共得5×
4+2+1×
3=25(分)。
做一做4八名选手进行象棋循环赛,每两人赛一场,共赛28场。
规定胜一场得2分,平局各得1分,负者得0分。
已知,每一选手所得总分各不相同,并且第二名总分等于最后四名总分之和。
第四名总分至多是多少?
【例5】在一次射击练习中,甲、乙、丙三位战士各打了四发子弹,全部中靶,其命中情况如下:
(1)每人四发子弹所命中的环数各不相同;
(2)每人四发子弹所命中的总环数均为17环;
(3)乙有两发命中的环数分别与甲的两发一样,乙另两发命中的环数与丙的两发一样;
(4)甲与丙只有一发环数相同;
(5)每人每发子弹的最好成绩不超过7环。
甲与丙命中的相同环数是多少环?
分析与解条件这样多,一下子要满足所有的条件很困难,我们把条件归类,逐条逐步去满足。
首先,我们找出符合条件
(1)、
(2)、(5)的所有情况。
其次,再从这些情况中去掉不符合条件(3)与条件(4)的,剩下的就是全部符合题目要求的答案。
满足
(1)、
(2)、(5)的只有如下四种情况:
1+7+3+6=17(环)………………………………①
1+7+4+5=17(环)………………………………②
2+6+4+5=17(环)…………………………………③
2+7+3+5=17(环)…………………………………④
从上述四个式子中看出,①式与②式有数字1和7相同;
②式与③式有数字4和5相同;
②式既与①式有两个数字相同,又另有两个数字与③式相同,②式反映的就是乙的射击情况。
①式和③式就是甲和丙。
①式和③式相同的数字是6,所以甲和丙命中的相同环数是6环。
做一做5甲、乙、丙三名运动员囊括了全部比赛项目的前三名,他们的总分分别是8分、7分和17分,甲得了一个第一名。
已知各个比赛项目分数相同,且第一名的得分不低于第二、第三名得分的和,那么,比赛共有多少个项目?
甲的每项得分分别是多少?
【例6】一场足球赛,有A、B、C、D四队参加,每两队都赛一场。
按规则,胜一场得2分,平1场得1分,负一场得0分。
比赛结果:
B队得5分,C队得3分,A队得1分。
所有场次共进了9个球。
B队进球最多,共进了4个球;
C队共失了3个球;
D队一个球也没有进。
A队与C队的比分2:
3。
A队与B队的比分是多少?
分析与解四个队每队都赛一场,共赛6场。
每一场两队得分之和是2分,因此所有队在各场的得分之和是2×
6=12(分)。
D队的得分是15―5―3―1=3(分)
因为D队一球未进,至多与其他队打平,所以D队赛的三场都是打平。
现在,把已知的比赛成绩列成下表来表示:
球队
赛几场
胜
负
平
进球
失球
得分
A
3
2
1
B
4
5
C
D
每一队都赛三场,得5分一定是胜2场平1场,得1分是负2场平1场。
C队以3:
2胜A队,它得3分,一定是胜、平、负各一场。
C队与A队比赛,C队进了3球,A队进了2球,这一场共进了5个球。
B队进球数是4,因此,所有场次共进9个球已够数,C队和A队在其他场没有进球。
B队与D队是0:
0打平,它进4个球,一定是与C队或A队比赛时进的。
C队共失3球,与A队比赛失2球,因此与B队比赛的失球数为3-2=1(球),比分是0:
1。
B队与A队比赛的进球数为4-1=3(球),比分是3:
0。
A队与B队的比分是0:
做一做6A、B、C、D四个足球队进行循环比赛,赛了若干场后,A、B、C三队的比赛情况如下:
队名
场数
6
D赛了几场?
D队几场比赛的比分是多少?
C级(选学)决胜总决赛·
勇夺冠军
【例7】六个足球队进行单循环比赛,每两队都要赛一场。
如果踢平,每队各得1分,否则胜队得3分,负队得0分。
现在比赛已进行了四轮(每队都已与四个队比赛过),其中有四场球赛踢成平局,并且各队四轮的得分之和互不相同。
已知总得分居第三位的队共得7分,问总得分居第五位的队最多踢了几场平局?
解每队都赛四场,每场是两个队比赛,因此比赛了(6×
4)÷
2=12(场),其中4场平局,六队总得分是
3×
(12-4)+2×
4=32(分)
总得分居第一、第二位的队至少得9分和8分。
总得分居后三位的得分之和至多为
32-(9+8+7)=8(分)
因此,总得分第五位的队,至多得3分,至多踢3场平局。
如果我们能举出一个踢三场平局的实际例子,“至多”就成为“最多”,最多踢三场平局。
我们以足球比赛常用的表格来反映各队之间的胜负关系。
设这六队分别是A、B、C、D、E、F,表格如下:
E
F
9
8
7
注:
空格表示这两队没有进行比赛。
从表格中可以看出,现居第五位的队最多踢平三场球。
做一做7四名棋手每两名选手都要比赛一局,规则规定胜一局得2分,平一局得1分,负一局得0分。
比赛结果,没有人全胜,并且各人的总分都不相同,那么至多有局平局。
巧练习——温故知新(二十六)
1.德国队、意大利队和荷兰队进行一次足球比赛,每一队与另外两队各赛一场。
现在知道:
(1)意大利队总进球数是0,并且有一场打了平局;
(2)荷兰队总进球数是1,总失球数是2,并且它恰好胜了一场。
按规则胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,那么德国队得了多少分?
2.10名选手参加象棋比赛,每两名选手之间都要比赛一盘。
记分办法是胜一盘得1分,平一盘得0.5分,负一盘得0分。
比赛结果是选手们所得分数各不相同,第一名和第二名一盘都没输过,前两名的总分比第三名多10分,第四名与最后四名得分总和相等。
第三名得多少分。
3.某班学生在运动会上进入前三名的有10人次。
已知获第一名可得9分,获第二名可得5分,获第三名可得2分,其他名次不记分,该班共计得61分,问:
其中获第一名的至多有几人次?
4.10个队进行循环赛,胜队得2分,负队得1分,无平局。
其中有两队并列第一,两队并列第三,还有两队并列第五,以后无并列情况。
请计算出各队得分。
5.10名选手参加象棋比赛,每两名选手间都要比赛一次。
比赛结果表明:
选手们所有分数各不相同,前两名选手都没输过,前两名的总分比第三名多20分,第四名得分与后四名所得总分相等。
前六名的分数各为多少?
(胜得2分,和得1分,负得0分)
6.12个队参加一次足球比赛,每两个队都比赛一场。
每场比赛中,胜队得3分,负队得0分,平局则各得1分。
比赛完毕后,获得第3名和第4名的两个队的得分最多可相差分。
7.5个选手参加一次足球比赛,每两个队之间都要赛一盘,规定胜一盘得2分,平一盘各得1分,输一盘不得分。
已知比赛后其中4位选手共得16分,则第5位选手得分。
8.8人参加一个象棋循环赛(即两人都比赛一盘),并且他们的得分都不相同。
比赛记分规则是胜者得1分,负者得0分,平者双方各得0.5分。
已知第2名的得分是最后四名得分的和,则第2名得分是分。
9.甲、乙、丙名运动员囊括了全部比赛项目的前三名,他们的总分分别是8分、7分和17分,甲得了一个第一名,已知各个比赛项目分数相同,且第一名的得分不低于二、三名得分的和,那么比赛共有个项目,甲的每项得分分别是。
10.四支足球队进行单循环比赛,每两队都要赛一场。
如果赛和,每队各得1分;
否则胜队得3分,负队得0分。
比赛结果,四队得分恰好是四个连续的整数,问:
输给第一名的队得了几分?
11.甲、乙、丙、丁4个足球队进行循环赛,每两个队之间都要比一场,胜者得3分,负者得0分,平者各得1分。
比赛结束后,甲队共得6分,乙队共得4分,丙队共得2分,那么丁共得人。
12.有A、B、C、D、E五支球队参加足球循环赛,每两个队之间都要赛一场,当比赛快要结束时,统计到的成绩如下:
获胜场数
平局场数
失败场数
进球个数
失球个数
已知A与E以及B与C都赛成平局,并且比分都是1:
1,那么B与D两队之间的比分是。
13.世界杯足球赛,每个小组有4支球队,每两支球队之间各赛一场,胜一场得3分,负一场得0分,平局各得1分,每个小组总分最多的两支球队出钱。
如果在第一小组比赛中出现了一场平局,问:
在第一小组中一支球队至少得多少分,一定能够出钱?
巧总结
本节我的收获是:
。
不足之处有: