列主元消去法解方程组实验报告Word格式.docx

1、运用matlab编写一个.m文件，要求用列主元消去法求解方程组（实现PA=LU）：要求输出以下内容：（1） 计算解x；（2） L,U；（3） 整形数组IP（i）（i=1,2，n-1）（记录主行信息）3 算法原理与流程图（1） 算法原理设有线性方程组Ax=b，其中设A为非奇异矩阵。方程组的增广矩阵为第1步（k=1）：首先在A的第一列中选取绝对值最大的元素，作为第一步的主元素: ，然后交换（A，b）的第1行与第i1行元素，再进行消元计算。设列主元素消去法已经完成第1步到第k-1步的按列选主元，交换两行，消元计算得到与原方程组等价的方程组第k步计算如下：对于k=1，2，n-1（1）按列选主元：即确定

2、ik使 （2）如果，则A为非奇异矩阵，停止计算。（3）如果ikk，则交换A，b第ik行与第k行元素。（4）消元计算消元乘数满足:（5）回代求解计算解在常数项b（n）内得到。（2） 流程图见图1（3） 4 程序代码及注释%列主元消去法解方程组Ax=b，实现PA=LUfunction x,L,U,IP,P =gauss（A,b）%x为方程组的解，IP用来记录行信息%每次选列主元时，将A的第k行与第IP（k）行进行交换n=length（b）;p,q=size（A）;%当输入的系数矩阵不为方阵，或方阵维数与b不符时，报错if p=q|p=n fprintf（Error! Please input ag

3、ain!）;end%为提高运行速度，给IP，P，L，U赋初值IP=zeros（1,n-1）;L=zeros（n,n）;U=zeros（n,n）;P=eye（n）;x=zeros（1,n）;det=1.0;%按列选主元，并进行行交换，记录行信息for k=1:n-1 IP（k）=k; for m=k+1:n if abs（A（m,k）abs（A（k,k） IP（k）=m; end I=eye（n）; if IP（k）=k for i=1: p（i）=I（k,i）; I（k,i）=I（IP（k）,i）; I（IP（k）,i）=p（i）; A=I*A; b=I*b; b=b%进行消元计算 for i

4、=k+1:n A（i,k）=A（i,k）/A（k,k）; b（i）=b（i）-A（i,k）*b（k）; for j=k+1: A（i,j）=A（i,j）-A（i,k）*A（k,j）; det=det*A（k,k）; P=I*P;%回代求解x（n）=b（n）/A（n,n）;for i=n-1:-1:1 sum=0.0; for j=i+1: sum=sum+A（i,j）*x（j）; x（i）=（b（i）-sum）/A（i,i）;det=det*A（n,n）;if det=0 The equations have no unique solution!%输出PA=LU中的L,U的信息for i=1

5、: for j=1: if i A=1 23 45 6; b=3 7 11; x L U IP P=gauss（A,b）1 2 30 0 04 5 6;x = NaN -Inf InfL = 1.0000 0 0 0.2500 1.0000 0 0 0 1.0000U = 4.0000 5.0000 6.0000 0 0.7500 1.5000 0 0 0IP = 3 3P = 1 0 0 0 0 1 0 1 02、计算过程（1）首先输入系数矩阵A和矩阵b1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 13 2 1 1 1 1 14 3 2 1 1 1 15 4 3 2 1 1 16 5 4

6、 3 2 1 17 6 5 4 3 2 1; b=7 8 10 13 17 22 28;（2）输出结果 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0 0 0 0.2857 1.0000 0 0 0 0 0 0.4286 0.8000 1.0000 0 0 0 0 0.5714 0.6000 0.7500 1.0000 0 0 0 0.7143 0.4000 0.5000 0.6667 1.0000 0 0 0.1429 -0.2000 -0.2500 -0.3333 -0.5000 1.0000 0 0.8571

7、 0.2000 0.2500 0.3333 0.5000 -1.0000 1.0000 7.0000 6.0000 5.0000 4.0000 3.0000 2.0000 1.0000 0 -0.7143 -0.4286 -0.1429 0.1429 0.4286 0.7143 0 0 -0.8000 -0.6000 -0.4000 -0.2000 0.0000 0 0 0 -0.7500 -0.5000 -0.2500 0.0000 0 0 0 0 -0.6667 -0.3333 -0.0000 0 0 0 0 0 0.5000 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 7 2 3

8、 4 5 7 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 06讨论与结论1、 时间复杂度： tic;x L U IP P=gauss（A,b）;tocElapsed time is 0.000856 seconds.2、 程序优化初次编程时，没有考虑到给一个变量赋初值的情况。虽然在MATLAB中变量不赋初值是完全允许的，但是由于一个变量中含有多个元素时，每次改变该数组的长度，便会增加计算机时间。另外，给程序加上一定的判断条件及报错信息，一定程度上有程序优化的作用。因此，本程序中的以下程序段都起到了程序优化的作用。参考文献1 易大义，沈云宝，李有法. 计算方法（第2版），浙江大学出版社. p.29-53.2 张琨 高思超 毕靖 编著 MATLAB2010从入门到精通 电子工业出版社