列主元消去法解方程组实验报告Word格式.docx
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运用matlab编写一个.m文件，要求用列主元消去法求解方程组（实现PA=LU）：
要求输出以下内容：
（1）计算解x；
（2）L,U；
（3）整形数组IP（i）（i=1,2，…，n-1）（记录主行信息）
3算法原理与流程图
（1）算法原理
设有线性方程组Ax=b，其中设A为非奇异矩阵。
方程组的增广矩阵为
第1步（k=1）：
首先在A的第一列中选取绝对值最大的元素
，作为第一步的主元素:
，然后交换（A，b）的第1行与第i1行元素，再进行消元计算。
设列主元素消去法已经完成第1步到第k-1步的按列选主元，交换两行，消元计算得到与原方程组等价的方程组
第k步计算如下：
对于k=1，2，…，n-1
（1）按列选主元：
即确定ik使
（2）如果
，则A为非奇异矩阵，停止计算。
（3）如果ik≠k，则交换[A，b]第ik行与第k行元素。
（4）消元计算
消元乘数
满足:
（5）回代求解
计算解
在常数项b（n）内得到。
（2）流程图见图1
（3）
4程序代码及注释
%列主元消去法解方程组Ax=b，实现PA=LU
function[x,L,U,IP,P]=gauss（A,b）
%x为方程组的解，IP用来记录行信息
%每次选列主元时，将A的第k行与第IP（k）行进行交换
n=length（b）;
[p,q]=size（A）;
%当输入的系数矩阵不为方阵，或方阵维数与b不符时，报错
ifp~=q||p~=n
fprintf（'
Error!
Pleaseinputagain!
'
）;
end
%为提高运行速度，给IP，P，L，U赋初值
IP=zeros（1,n-1）;
L=zeros（n,n）;
U=zeros（n,n）;
P=eye（n）;
x=zeros（1,n）;
det=1.0;
%按列选主元，并进行行交换，记录行信息
fork=1:
n-1
IP（k）=k;
form=k+1:
n
ifabs（A（m,k））>
abs（A（k,k））
IP（k）=m;
end
I=eye（n）;
ifIP（k）~=k
fori=1:
p（i）=I（k,i）;
I（k,i）=I（IP（k）,i）;
I（IP（k）,i）=p（i）;
A=I*A;
b=I*b'
;
b=b'
%进行消元计算
fori=k+1:
n
A（i,k）=A（i,k）/A（k,k）;
b（i）=b（i）-A（i,k）*b（k）;
forj=k+1:
A（i,j）=A（i,j）-A（i,k）*A（k,j）;
det=det*A（k,k）;
P=I*P;
%回代求解
x（n）=b（n）/A（n,n）;
fori=n-1:
-1:
1
sum=0.0;
forj=i+1:
sum=sum+A（i,j）*x（j）;
x（i）=（b（i）-sum）/A（i,i）;
det=det*A（n,n）;
ifdet==0
Theequationshavenouniquesolution!
%输出PA=LU中的L,U的信息
fori=1:
forj=1:
ifi<
j
U（i,j）=A（i,j）;
elseifi==j
L（i,j）=1;
else
L（i,j）=A（i,j）;
附图1
5算例分析
1、测试示例
>
A=[
12
34
56];
b=[3711];
[xLUIPP]=gauss（A,b）
123
000
456];
x=
NaN-InfInf
L=
1.000000
0.25001.00000
001.0000
U=
4.00005.00006.0000
00.75001.5000
000
IP=
33
P=
100
001
010
2、计算过程
（1）首先输入系数矩阵A和矩阵b
1111111
2111111
3211111
4321111
5432111
6543211
7654321];
b=[781013172228];
（2）输出结果
1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000
1.0000000000
0.28571.000000000
0.42860.80001.00000000
0.57140.60000.75001.0000000
0.71430.40000.50000.66671.000000
0.1429-0.2000-0.2500-0.3333-0.50001.00000
0.85710.20000.25000.33330.5000-1.00001.0000
7.00006.00005.00004.00003.00002.00001.0000
0-0.7143-0.4286-0.14290.14290.42860.7143
00-0.8000-0.6000-0.4000-0.20000.0000
000-0.7500-0.5000-0.25000.0000
0000-0.6667-0.3333-0.0000
000000.50001.0000
0000001.0000
723457
1000000
0100000
0010000
0001000
0000100
0000001
0000010
6讨论与结论
1、时间复杂度：
tic;
[xLUIPP]=gauss（A,b）;
toc
Elapsedtimeis0.000856seconds.
2、程序优化
初次编程时，没有考虑到给一个变量赋初值的情况。
虽然在MATLAB中变量不赋初值是完全允许的，但是由于一个变量中含有多个元素时，每次改变该数组的长度，便会增加计算机时间。
另外，给程序加上一定的判断条件及报错信息，一定程度上有程序优化的作用。
因此，本程序中的以下程序段都起到了程序优化的作用。
参考文献
[1]易大义，沈云宝，李有法.计算方法（第2版），浙江大学出版社.p.29-53.
[2]张琨高思超毕靖编著MATLAB2010从入门到精通电子工业出版社
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