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1、对于惯性力而言，其虚功包括杆本身的虚功 Winertia和杆端集中质量的虚功 W爲ia1 LWCtia 0 （ AU） UdxAu uLx2dxAL u uWinertia MU（L,t） U（L,t） Mu U3.化简（且 M）u 圧 u u 03 L因为u为虚位移，即u 0，所以运动方程为AL AE（ M ）u u 03.7 一台机器的质量为70kg，安装在弹簧上，弹簧的总刚度为 15kN/m，总阻尼为。试求如下初始条件的运动 u（t）。（） i/（0）二 10/n/f/, ii（0） = 0（） 2/（0） = 0. 巩0）二 100 炖阳心m -4LVWV12V777777777777

2、7777777777A1.运动方程及其相关参数由图可知，其运动方程为i/21VVLAM丄/2mu cu ku 0其中 m 70kg， k 5104N /m，c 1200N s/m。所以50000 26.73 rad/sccr702m1200n ,1.1s/ m25.32 rad /s2.系统的自由振动解u（t） eu0 cosdtU0世 sin dt3.不同初始条件下的自由运动（a） u0 10mm, u0 0u（t）u0 cos dt凹sin dtde100855t （b） u0 0, u0 100mm/st u0u（t） e n sin dt（M m）是机械转动机械中的不平衡是很普遍的鼓励

3、源。下列图正是这样一个例子的质量，m是转动不平衡块的质量，其转动圆频率为a.推导机械垂向运动方程；b.推导系统稳态响应表达式并绘制频响曲线41XV. jF/1解：1.向心力及其垂向分量向心力的大小Fme 2，垂向分量为Fu Fsin tme 2 sin t。2.系统的运动方程化简后可得：3.系统的稳态响应Mu cu ku me sin tu 2 nU2u 匹 2s in t Mtanmek2 2 2 1/2r2）2 （2 r）2sin（ t2 r1 r2LW-m纟7*现在考虑其频率响应幅值me 22 2 2（1 r ） （2 r）（12、2r ）（2 r）21/2me n 2r定义静位移为U。

4、 竺丄，因此,H（）22（1 r ）Ds用一个非常简单的模型来研究着陆的一架轻型飞机的冲击。如下图，以一个线性 弹簧的集中质量表示着陆的装置。当弹簧触到地面时，质量 m具有一垂直下降速度 V接触时t=0，并令u（0） = 0。（a）确定弹簧保持在接触地面时间内，质量的垂向位置 u （t）的表达式；（b）确定弹簧回弹脱离地面接触的时间。vvkrb1.受力分析VET根据初始条件:t 0, u（0） 0, u（0）V，及上图可知，物体的受力图如右所示。 dIFku mumgu（tj 0, u（tj V, u（tj g。因此，可sinnt11 cos n t12.运动微分方程所以，根据受力图，其运动微

5、分方程为：mu ku mg3.垂向位置u（t）的解u（t） mg A cos nt A2 sin nt kVA1JA2 ,n所以，mg .（1 cosnt）V . sin根据初始条件，可得nt o4.弹簧回弹脱离地面的时间当弹簧再次脱离地面时，其运动状态为:以任意选取一个运动量来求解脱离时间 1。这里，我们取速度量，那么有U（tl）nS nt1 VC0S nt1 Vt12tan上，设侧向位移很小9.2 一均匀薄刚杆BC的质量m，长度L附在一均匀弹性梁AB应用恰当的自由体图，确定 A与B点的边界条件El - cons, pA = con?* /A21CZ1. A点的边界条件为固支，即v（O,t）

6、 0x2. B点的边界条件刚体的受力图如上所示。 对于端部剪力边界条件,SbEl2Lvm2tmL2L 2 x tt22L为刚杆BC的质心加速度对于端部弯距边界条件,MbElx 2L其中1L210 4未被约束的飞船釉火需的飞厅器，因此它们醴承受刚体运功将匀虞自由体進视为 像自由休结构的性质现在研究如图P10M所示匀质梁的播向振动.V （xti）w h - r* 1%T L图 P10, 43表示梁的两个零频即刚体模态一个是平移、一个是转动，仆确定非逛频的特征方程 注意:这是与习题中夹固端梁有相同的方卑J2解基频、5】沿梁毎人川处以计算的与图形是示的值画出根本弯曲模态&1.特征方程现拟采用如下通解形

7、式V（x） C1 sinh x C2cosh xC3 sinC4 cos x两端边界条件为自由端，所以业dx x 0, x Ld3Vdx3+i- v iL9 plo. 1将边界条件代入通解表达式，可得Ci2sinh L3cosh L2cosh L3sinh Lsin Lcos L0 C2cosC33 sin LC4如果上面方程有非零解，那么其系数行列式为零。化简后得特征方程:10（1 cosh L cos L） 0由此可见，本系统有零固有频率，而其 非零频的特征方程为1 cosh L cos L 02.现确定零频率的个数。当 0时，根据自由运动微分方程）,可得:d4Vdx40。因此，我们可以假

8、定解的形式为2 3V（x） a! a?x a3x aqX o考虑边界条件，可知a? 0 。因此，零频率的振型为2个相互正交的组合。相对应的，存在两V （x） a! a2x。考察得到的振型函数可知，只可能存在个零频率。3.求零频率的刚体模态（利用正交性） 设 V。 a!x, Vi bi b?x，那么有:a1b1 （a1b2AV0V1 dxa?b2 由于L具有任意性，所以a2b20因此可以设a2 0, b2因此，上式变为:所以，两个刚体模态为： V0求解a1、b1。通过计算得到： 所以，正规化的刚体模态为,L2b1b1b2 一0 b2a1 , V1b1（12x） O可进-步，采用a1,biAL.A

9、LAV dx1正规化方法,4.非零频率对于非零频的特征方程，只能采用数值的方法求解。结果是：1 （4.731）2EI5.振型通过线性方程组，4个方程中的三个，我们可以得到弯曲模态的振型表达式（Vn （x） An sinh n L sin n cosh nx cos nx cosh nL cos nL sinh nx sin nx运用假定振型法求解悬臂梁的 2-DOF模型。其中，自由端的变形vt和转角t 被定义为模型的广义坐标。相应的振型函数如下列图所示。（x） a bfa推导基于如下一般多项式的形函数ix和 2x。b推导此2- DOF模型的运动微分方程。i （0） 0;1（0） 0； 1（L）

10、 1；1（L） 0.a 0b 0c d 12c 3d 门 0L L所以,a 0; b 0; c 3; di（x） 3 L 2*对于2（X）而言，有:2（0） 0;2（L） 0;2（L） 1.c d 02c 3d d cL; d L.2（x）（b） 1.首先求形函数的二阶导数。（x）6 12xL2 F2（X）2 6xL L22 推导刚度和质量矩阵系数 kj和mj 。k11L 2 LEl 1 dx El0 1 06L212xL312EI6x ,6EIk12k21 0 El 1 2dx7dxk222 dx6x4EI同样的,对于mij 有:13；A 335x x11m12m211 2dx2 -L dx

11、2103 22 .,xm?2dxL -AL31053 装配运动微分方程個为没有外力，所以广义力为零11 ,AL 35 Lv（t）2EI3L11 L1 L2（t）2L2P12.8 均匀悬臂梁采用如下假定振型简化为一 2-D0F模型：1X - , 2x -a 推导该2-D0F模型的运动微分方程；b 计算固有频率。并和精确解例 以及基频近似值比拟a参考第11章例的步骤建立运动微分方程1X2（x） 2xI、 21 （x）2 ,1 （x） 22X3x22 （X）kiipAx）/x） dxI3-ki2 k2imii5mi2T，m22装配系统的运动方程注意，这里没有外力，所以广义力为零。AL 42 35 u1 2EI 2 3 u1210 35 30 u2 L 3 6 u2b参考第12章例的步骤解方程，得到固有频率假设简谐运动为COS a）代入运动方程，得42U16 i30U2其中，i420 EI从系数的行列式得特征方程利用AL4得到 旦 2 T2 AEl 2和精确解比照例 3.516 ZE/IP纳工右石丿22.03 Z Elfi假定振型法的频率大于精确解的频率，并且所计算出基频的精度远大于第二频率。与例瑞利法基频比拟例利用瑞利法计算均匀悬臂梁的近似基频。假定形函数为 X彳472/Zl/1假定振型法的基频小于瑞利法的基频，精度高于瑞利法。2 2 2 2