结构动力学作业答案Word下载.docx
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对于惯性力而言，其虚功包括杆本身的虚功Winertia和杆端集中质量的虚功W爲ia
1L
WCtia0（AU）Udx
Auu
Lx2
dx
ALuu
WinertiaMU（L,t）U（L,t）MuU
3.化简
（且M）u圧uu0
3L
因为u为虚位移，即u0，所以运动方程为
ALAE
（M）uu0
3.7一台机器的质量为70kg，安装在弹簧上，弹簧的总刚度为15kN/m，总阻尼为
。
试求如下初始条件的运动u（t）。
（а）i/（0）二10/n/f/,ii（0）=0
（б）2/（0）=0.巩0）二100炖阳心
m-4—
LVWV1
2
V7777777777777777777777A
1.运动方程及其相关参数
由图可知，其运动方程为
i/2
1'
VVL
△AM丄
/2
mucuku0
其中m70kg，k5
104N/m，c1200Ns/m。
所以
5000026.73rad/s
ccr
70
2m
1200
n,1
..1
s/m
25.32rad/s
2.
系统的自由振动解
u（t）e
u0cos
dt
U0
世sindt
3.
不同初始条件下的自由运动
（a）u010mm,u00
u（t）
u0cosdt
凹sindt
d
e
100
8'
55t
（b）u00,u0100mm/s
tu0
u（t）en—sindt
（M—m）是机械
转动机械中的不平衡是很普遍的鼓励源。
下列图正是这样一个例子
的质量，m是转动不平衡块的质量，其转动圆频率为
a.推导机械垂向运动方程；
b.推导系统稳态响应表达式并绘制频响曲线
<
4^1XV.j<
F/1
解：
1.向心力及其垂向分量
向心力的大小F
me2，垂向分量为FuFsint
me2sint。
2.系统的运动方程
化简后可得：
3.系统的稳态响应
Mucukumesint
u2nU
2u匹2sintM
tan
me
k
2221/2
r2）2（2r）2
sin（t
2r
1r2
LW-
m
纟
7
*
现在考虑其频率响应幅值
me2
222
（1r）（2r）
（1
2、2
r）
（2r）2
1/2
men2
r
定义静位移为U。
竺丄，因此,
H（）
2\2
（1r）
Ds
用一个非常简单的模型来研究着陆的一架轻型飞机的冲击。
如下图，以一个线性弹簧的集中质量表示着陆的装置。
当弹簧触到地面时，质量m具有一垂直下降速度V
接触时t=0，并令u（0）=0。
（a）确定弹簧保持在接触地面时间内，质量的垂向位置u（t）的表达式；
（b）确定弹簧回弹脱离地面接触的时间。
■vvkrb
1.受力分析
■VET
根据初始条件:
t0,u（0）0,u（0）
V，及上图可知，物体的受力图如右所示。
\d
I
F
kumu
mg
u（tj0,u（tjV,u（tjg。
因此，可
sin
nt1
1cosnt1
2.运动微分方程
所以，根据受力图，其运动微分方程为：
mukumg
3.垂向位置u（t）的解
u（t）mgAcosntA2sinntk
V
A1
J
A2,
n
—
所以，
mg..
（1cos
nt）
V.sin
根据初始条件，可得
nto
4.弹簧回弹脱离地面的时间
当弹簧再次脱离地面时，其运动状态为:
以任意选取一个运动量来求解脱离时间1。
这里，我们取速度量，那么有
U（tl）nS"
nt1VC0Snt1V
t1
2tan
上，设侧向位移很小
9.2一均匀薄刚杆BC的质量m，长度L附在一均匀弹性梁AB
应用恰当的自由体图，确定A与B点的边界条件
El-cons,pA=con?
*/
A
21
C
Z
1.A点的边界条件为固支，即
v（O,t）0
x
2.B点的边界条件
刚体的受力图如上所示。
对于端部剪力边界条件,
Sb
El£
2L
v
m—2
t
mL
2L2xt
t2
2L为刚杆BC的质心加速度〕
对于端部弯距边界条件,
Mb
El
x2L
其中1『L2
104未被约束的飞船釉火需的飞厅器，因此它们醴承受刚体运功•将匀虞自由体進视为像自由休结构的性质"
现在研究如图P10M所示匀质梁的播向振动.
V（xti）
wh■-r
*1
%
•
TL
图P10,4
3〕表示梁的两个零频即刚体模态•一个是平移、一个是转动，
仆〕确定非逛频的特征方程°
〔注意:
这是与习题中夹固端梁有相同的方卑J
〔2解基频、
5】沿梁毎人川处以计算的与图形是示的值画出根本〔弯曲〕模态&
1.特征方程
现拟采用如下通解形式
V（x）C1sinhxC2coshx
C3sin
C4cosx
两端边界条件为自由端，所以
业
dxx0,xL
d3V
dx3
+
i-vi
L
[9plo.1
将边界条件代入通解表达式，可得
Ci
2sinhL
3coshL
2coshL
3sinhL
sinL
cosL
0C2
cos
C3
3sinL
C4
如果上面方程有非零解，那么其系数行列式为零。
化简后得特征方程:
10
（1coshLcosL）0
由此可见，本系统有零固有频率，而其非零频的特征方程为
1coshLcosL0
2.现确定零频率的个数。
当0时，根据自由运动微分方程
）,可得:
d4V
dx4
0。
因此，我们可以假定解的形式为
23
V（x）a!
a?
xa3xaqXo考虑边界条件，可知a?
0。
因此，零频率的振型为
2个相互正交的组合。
相对应的，存在两
V（x）a!
a2x。
考察得到的振型函数可知，只可能存在
个零频率。
3.求零频率的刚体模态（利用正交性）°
设V。
a!
x,Vibib?
x，那么有:
a1b1（a1b2
AV0V1dx
a?
b2—
由于L具有任意性，所以a2b2
0°
因此可以设a20,b2
因此，上式变为:
所以，两个刚体模态为：
V0
求解a1、b1。
通过计算得到：
所以，正规化的刚体模态为
L
2b1
b1
b2一
0b2
a1,V1
b1（1
2x）O可进-
-步，采用
a1
bi
AL
.AL
AVdx
1正规化方法,
4.非零频率
对于非零频的特征方程，
只能采用数值的方法求解。
结果是：
1（4.731）2
EI
5.振型
通过线性方程组，4个方程中的三个，我们可以得到弯曲模态的振型表达式（
Vn（x）AnsinhnLsinn—coshnxcosnxcoshnLcosnLsinhnxsinnx
运用假定振型法求解悬臂梁的2-DOF模型。
其中，自由端的变形v〔t〕和转角〔t〕被定义为模型的广义坐标。
相应的振型函数如下列图所示。
（x）abf
〔a〕推导基于如下一般多项式的形函数
i〔x〕和2〔x〕。
〔b〕推导此2-DOF模型的运动微分方程。
i（0）0;
1（0）0；
1（L）1；
1（L）0.
a0
b0
cd1
2c3d门0
LL
所以,
a0;
b0;
c3;
d
i（x）3L2*
对于2（X）而言，有:
2（0）0;
2（L）0;
2（L）1.
cd0
2c3dd
c
L;
dL.
2（x）
（b）1.首先求形函数的二阶导数。
（x）
612x
L2F
2（X）
26x
LL2
2•推导刚度和质量矩阵系数kj和mj。
k11
L"
2L
El1dxEl
010
6
L2
12x
L3
12EI
"
6x,
6EI
k12
k210El12dx
7dx
k22
2dx
6x
4EI
同样的,
对于
mij有:
13
；
A3
35
xx
11
m12
m21
12dx
2-
Ldx
210
32
2.
x
m?
2dx
L-
AL3
105
3•装配运动微分方程
個为没有外力，
所以广义力为零〕
11,
AL35
L
v（t）
2EI
3L
11L
1L2
（t）
2L2
P12.8—均匀悬臂梁采用如下假定振型简化为一2-D0F模型：
1〔X〕-,2〔x〕-
〔a〕推导该2-D0F模型的运动微分方程；
〔b〕计算固有频率。
并和精确解〔例〕以及基频近似值〔〕比拟
〔a〕参考第11章例的步骤建立运动微分方程
1〔X〕
2（x）£
2x
'
I、2
1（x）
2,
1（x）2
2〔X〕
3x2
2（X）
kii
pA^x）/^x）dx
I3-
ki2k2i
mii
5
mi2
T，m22
装配系统的运动方程〔注意，这里没有外力，所以广义力为零。
AL4235u12EI23u1
2103530u2L36u2
〔b〕参考第12章例的步骤解方程，得到固有频率
假设简谐运动为
COS®
—a）
代入运动方程，得
42
U1
6i
30
U2
其中，
i
420EI
从系数的行列式得特征方程
利用
AL4
得到
旦2T2A
El2
和精确解比照〔例〕
3.516ZE/\IP
纳工右〔石丿
22.03ZEl\fi
假定振型法的频率大于精确解的频率，并且所计算出基频的精度远大于第二频率。
与例瑞利法基频比拟
〔例利用瑞利法计算均匀悬臂梁的近似基频。
假定形函数为〔X〕彳〕
472/£
Z\l/1
假定振型法的基频小于瑞利法的基频，精度高于瑞利法。
2222
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