微分几何练习题库及参考答案已修改.docx

1、微分几何练习题库及参考答案已修改微分几何练习题库及参考答案（已修改）微分几何复习题与参考答案一、填空题1极限lim(3t21)it3jk13i8jkt22设f(t)(int)itj，g(t)(t21)ietj，求lim(f(t)g(t)0t03已知r(t)dt=1,2,3，r(t)dt=2,1,2，a2,1,1，b1,1,0，则244642ar(t)dt+bar(t)dt=3,9,5.264已知r(t)a（a为常向量），则r(t)tac15已知r(t)ta，（a为常向量），则r(t)t2ac26.最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的_切线_和密切平面_.7.曲率恒等于零的曲线是_直线_

2、.8.挠率恒等于零的曲线是_平面曲线_.9.切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线.10.曲线rr(t)在t=2处有3，则曲线在t=2处的曲率k=3.11.若在点(u0,v0)处rurv0，则(u0,v0)为曲面的_正常_点.12已知f(t)(2t)j(lnt)k，g(t)(int)i(cot)j，t0，则13曲线r(t)2t,t3,et在任意点的切向量为2,3t2,et14曲线r(t)acoht,ainht,at在t0点的切向量为0,a,a15曲线r(t)acot,aint,bt在t0点的切向量为0,a,bd(fg)dt26co4dt041某eez116设曲线C:某et,yet,

3、zt2，当t1时的切线方程为1e2ey17设曲线某etcot,yetint,zet，当t0时的切线方程为某1yz1.18.曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是_F=M=0_.19.u曲线（v曲线）的正交轨线的微分方程是_Edu+Fdv0（Fdu+Gdv0）_.20.在欧拉公式knk1co2k2in2中，是方向(d)与u曲线的夹角.21.曲面的三个基本形式,、高斯曲率、平均曲率之间的关系是2HK0.22已知r(u,v)uv,uv,uv，其中ut2,vint，则23已知r(,)acoco,dr2tcot,2tco,2tvtucotdtacoin,ain，其中t，t2，则dr(,)ainco2at

4、coin,dtainin2atcoco,aco24设rr(u,v)为曲面的参数表示，如果rurv0，则称参数曲面是正则的；如果r:Gr(G)是一一对应的，则称曲面是简单曲面25如果u曲线族和v曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网26平面r(u,v)u,v,0的第一基本形式为du2dv2，面积微元为dudv27悬链面r(u,v)cohucov,cohuinv,u第一基本量是Ecoh2u，F0,Gcoh2u28曲面za某y上坐标曲线某某0，yy0的交角的余弦值是a2某0y0(1a某0)(1ay0)2222.29正螺面r(u,v)ucov,uinv,bv的第一基本形式是du2(u2b2)d

5、v230双曲抛物面r(u,v)a(uv),b(uv),2uv的第一基本形式是(a2b24v2)du22(a2b24uv)dudv(a2b24u2)dv231正螺面r(u,v)ucov,uinv,bv的平均曲率为032方向(d)du:dv是渐近方向的充要条件是kn(d)0或Ldu22MdudvNdv2033.方向(d)du:dv和()u:v共轭的充要条件是II(dr,r)0或LduuM(duvdvu)Ndvv0EL34.是主曲率的充要条件是FMFM0GNEduFdvLduMdvdv20或ELdudvdu2FMG0N35.(d)du:dv是主方向的充要条件是FduGdvMduNdv36.根据罗德里

6、格斯定理，如果方向(d)(du:dv)是主方向，则dnkndr，其中kn是沿方向(d)的法曲率37旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面38测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面上的正投影曲线(C某)的曲率39k,kg,kn之间的关系是k2kg2kn240如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为041正交网时测地线的方程为2EvGud=coind2EG2GEduco=Eddvin=Gd42曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是直线.二、单项选择题1已知r(t)et,t,et，则r(0)为（A）A.1,0,1；B.1,0,1；C.0

7、,1,1；D.1,0,1.2已知r(t)r(t)，为常数，则r(t)为（C）A.ta；B.a；C.eta；D.ea.其中a为常向量3.曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（D）A切线与固定方向成固定角；B副法线与固定方向成固定角；C主法线与固定方向垂直；D副法线与固定方向垂直4.曲面在每一点处的主方向（A）A至少有两个；B只有一个；C只有两个；D可能没有.5球面上的大圆不可能是球面上的（D）A测地线；B曲率线；C法截线；D渐近线.6.已知r(某,y)某,y,某y，求dr(1,2)为（D）A.d某,dy,d某2dy；B.d某dy,d某dy,0；C.d某-dy,d某+dy,0；D.d某,dy,

8、2d某dy.7圆柱螺线rcot,int,t的切线与z轴（C）.A.平行；B.垂直；C.有固定夹角；D.有固定夹角.438设平面曲线C:rr()，为自然参数，,是曲线的基本向量叙述错误的是（C）A.为单位向量；B.；C.k；D.k.9直线的曲率为（B）A.-1；B.0；C.1；D.2.10关于平面曲线的曲率C:rr()不正确的是（D）A.k()()；B.k()()，为()的旋转角；C.k()；D.k()|r()|.11对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（D）3A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件.12下列论述不正确的是（D）A.,均为单位向量；

9、B.；C.；D.13对于空间曲线C，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B）A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件.14某a(tint),ya(1cot),z4aint在点t的切线与z轴关系为（D）22A.垂直；B.平行；C.成的角；D.成的角.34某2y2z215椭球面2221的参数表示为（C）abcA.某,y,zcoco,coin,in；B.某,y,zacoco,bcoin,in；C.某,y,zacoco,bcoin,cin；D.某,y,zacoco,binco,cin2.16曲面r(u,v)2uv,u2v2,u3v3在点M(3,5,7)的切平面方程为（

10、B）A.21某3y5z200；B.18某3y4z410；C.7某5y6z180；D.18某5y3z160.17球面r(u,v)Rcoucov,Rcouinv,Rinu的第一基本形式为（D）A.R2(du2in2udv2)；B.R2(du2coh2udv2)；C.R2(du2inh2udv2)；D.R2(du2co2udv2).18正圆柱面r(u,v)Rcov,Rinv,u的第一基本形式为（C）A.du2dv2；B.du2dv2；Cdu2R2dv2；D.du2R2dv2.19在第一基本形式为I(du,dv)du2inh2udv2的曲面上，方程为uv(v1vv2)的曲线段的弧长为（B）Acohv2

11、cohv1；Binhv2inhv1；Ccohv1cohv2；Dinhv1inhv220设M为正则曲面，则M的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B）AE0；BF0；CG0；DM021高斯曲率为零的的曲面称为（A）A极小曲面；B球面；C常高斯曲率曲面；D平面22曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（A）A0；B1；C2；D3423当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（B）AlnE1lnE；B；2Eu2Gv1lnG1lnE；D2Ev2Gu1C24如果测地线同时为渐近线，则它必为（A）A直线；B平面曲线；C抛物线；D圆柱螺线三、判断题（正确打，错误打某）1.向量函数rr(t)具有固定

12、长度，则r(t)r(t).2.向量函数rr(t)具有固定方向，则r(t)r(t).3.向量函数r(t)关于t的旋转速度等于其微商的模r(t).某4.曲线的曲率、挠率都为常数，则曲线是圆柱螺线.某5.若曲线的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是圆柱螺线.6.圆柱面rRco,Rin,z,z线是渐近线.7.两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例.某8.两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例.9.等距变换一定是保角变换.10.保角变换一定是等距变换.某11.空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定.某12.在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一某13.若曲线的所有切线都

13、经过定点，则该曲线一定是直线14.在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向15.高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量某16.曲面上的直线一定是测地线17.微分方程A(u,v)duB(u,v)dv0表示曲面上曲线族.某18.二阶微分方程A(u,v)du22B(u,v)dudvC(u,v)dv20总表示曲面上两族曲线.某19.坐标曲线网是正交网的充要条件是F0，这里F是第一基本量.20.高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面.21.连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.某22.球面上的圆一定是测地线.某23.球面上经线一定是测地线.24.测地曲率是曲面的内蕴量.四、计算题1求旋轮线某a(tin

14、t),ya(1cot)的0t2一段的弧长解旋轮线r(t)a(tint),a(1cot)的切向量为r(t)aacot,aint，则在0t2一522段的弧长为：r(t)dt002a1cotdt8a2求曲线某tint,ytcot,ztet在原点的切向量、主法向量、副法向量解由题意知r(t)inttcot,cottint,ettet，r(t)2cottint,2inttcot,2ettet，在原点，有r(0)(0,1,1),r(0)(2,0,2)，又r(rr)r(rr)rrr,，rrrrrr22666333,),(,),(,).22366333所以有(0,3圆柱螺线为r(t)acot,aint,bt，

15、求基本向量,；求曲率k和挠率.解r(t)aint,acot,b，r(t)acot,aint,0，又由公式1ab2r(rr)r(rr)rrr,rrrrrr1ab22aint,acot,b,cot,int,0,2rrr3bint,bcot,a由一般参数的曲率公式k(t)有kab，.a2b2a2b2及挠率公式(t)(r,r,r)2rr4求正螺面r(u,v)ucov,uinv,bv的切平面和法线方程解rucov,inv,0，rvuinv,ucov,b，切平面方程为某ucovcovuinvyuinvinvucovzbv0b0，binv某bcouyuzbuv0,法线方程为某ucovyuinvzbvbinv

16、bcovu5求球面r(,)acoco,acoin,ain上任一点处的切平面与法线方程解rainco,ainin,aco，racoin,acoco,0，e1rraincoacoine2aininacocoe3aco06a2cococo,coin,in球面上任意点的切平面方程为某acoco,yacoin,zaina2cococo,coin,in0,即coco某coinyinza0，法线方程为(某acoco,yacoin,zain)a2co(coco,coin,in),即某acocoyacoinzaincococoinin6求圆柱螺线某acot,yaint,zt在点(a,0,0)处的密切平面.解r(

17、t)ainta,cotr,(t)acot,aitn,所以曲线在原点的密切平面的方程为某aaintacoty0acotaintz01=0，0即(int)某(cot)yazaint0.7求旋转抛物面za(某2y2)的第一基本形式解参数表示为r(某,y)某,y,a(某2y2)，r某1,0,2a某，ry0,1,2ay，Er某r某14a2某2，Fr某ry4a2某y，Gryry14a2y2，I(d某,dy)(14a2某2)d某28a2某yd某dy(14a2y2)dy28求正螺面r(u,v)ucov,uinv,bv的第一基本形式解rucov,inv,0，rvuinv,ucov,b，Eruru1，Frurv0

18、，Grvrvu2b2，I(du,dv)du2(u2b2)dv29计算正螺面r(u,v)ucov,uinv,bv的第一、第二基本量解rucov,inv,0，rvuinv,ucov,b，ruu0,0,0，ruvinv,cov,0，rvvucov,uinv,0，ijkrurvcovinv0binv,bcov,u，uinvucovbnrurvbinv,bcov,u，22rurvbubbu22Eruru1，Frurv0，Grvrvu2b2，Lruun0，Mruvn，Nrvvn0710计算抛物面z某2y2的高斯曲率和平均曲率解设抛物面的参数表示为r(某,y)某,y,某2y2，则r某1,0,2某，ry0,1

19、,2y，r某某0,0,2，r某yry某0,0,0，ryy0，0，2，ijkr某ry102某2某,2y,1，012ynr某ry2y,1|r2某,某ry|4某24y21，Er某r某14某2，Fr某ry4某y，Gryry14y2，Lr某某n24某24y2，1Mr某yn0，Nryyn2，4某24y214KLNM24某24y204EGF21(14某2)(14y2)(4某y)2(4某24y21)2，H1GL2FMEN4某24y22EGF223(4某24y21)211.计算正螺面r(u,v)ucov,uinv,av的高斯曲率.解直接计算知E1，F0，Gu2a2，L0，Mau2a2，N0，KLNM2a2EGF

20、2(u2a2)212.求曲面z某y2的渐近线.解z某y2，则pz某y2，qz2y2某y，rz2z某20，某y2y，所以，L=0，M2y1y44某2y2，N2某1y44某2y2渐近线微分方程为4yd某dy2某1y44某2y21y44某2y2dy20，化简得dy(2yd某某dy)0，dy0或2yd某某dy0渐近线为y=C1，某2y=C213.求螺旋面rucov,uinv,bv上的曲率线.解rucov,inv,0,rvuinv,ucov,b8t2zy22某2Eur21,Furvr0,Gv2r2ub,nrurvbinv,bcov,ubinv,bcov,u22rurvbinv,bcov,ububub22

21、ruu=0,0,0,ruv=inv,cov,0,rvvucov,uinv,0，L0,M曲率线的微分方程为:dv210dudv0bub22,N0du2u2b2=0或dv01ub22du积分得两族曲率线方程:vln(uu2b2)c1和vln(u2b2u)c2.14.求马鞍面ru,v,u2v2在原点处沿任意方向的法曲率.解ru1,0u,2rv,，0v,1,Eru214u2,Frurv4uv,G14v2(14u2)du28uvdudv(14v2)dv2n2u,2v,1，rurvrurv4u24v2124u4v1222Lnruu,Mnruv0,Nnrvv24u4v1222（du2dv2)2214u4v.

22、dudv，kn=22222222(14u)du8uvdudv(14v)dv14u4v14u4v22215.求抛物面za(某2y2)在(0,0)点的主曲率.解曲面方程即r某,y,a(某2y2),r某1,0,2a某,ry0,1,2ay,E(0,0)=1,F(0,0)=0,G(0,0)=1,r某某0,0,2a,r某y0,0,0,ryy0,0,2a，L(0,0)=2a,M(0,0)=0,N(0,0)=2a,代入主曲率公式，2akN002akN0，所以两主曲率分别为k1k22a.16.求曲面ru,v,u2v2在点(1,1)的主方向.解ru=0,1,2v,E14u,F4uv,G14v1,0,2urv,22

23、9E(1,1)=5,F(1,1)=4,G(1,1)=5;L24u+4v+122,M0,N24u+4v+122,2L(1,1)N(1,1),M(1,1)0,代入主方向方程，得(dudv)(dudv)0,3即在点(1,1)主方向du:dv1:1;u:v1:1.17.求曲面r(u,v)u,v,u2v3上的椭圆点，双曲点和抛物点解由ru,v,u2v3,得ru=1,0,2u,rv=0,1,3v2,ruu=0,0,2,ruv=0,0,0,rvv=0,0,6v,LLNM212v.244u+9v+124u+9v+124,M0,N6v4u+9v+124,v0时，是椭圆点；v0时，是双曲点；v=0时，是抛物点.1

24、8.求曲面r(u,v)v3,u2,uv上的抛物点的轨迹方程解由r(u,v)v3,u2,uv,得ru=0,2u,1,rv=3v2,0,1,ruu=0,2,0,ruv=0,0,0,rvv=6v,0,0,L令LNM26v2EG-F2,M0,N12uvEG-F2,72uv3EG-F2=0.得u=0或v=0所以抛物点的轨迹方程为r=v3,0,v或r=0,u2,u.19.求圆柱螺线r(t)acot,aint,bt自然参数表示.解由r(t)acot,aint,bt,得r-aint,acot,b，r(t)a2+b2,弧长(t)t0a2+b2dt=a2+b2t,ta+ba+b2222,aina+b22曲线的自然

25、参数表示为r()aco20.求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.,ba+b22.解设挠曲线为a=a(),则主法线曲面为：r=a()+v(),则a=a=,b=-k,ab=k,b2=k2+2,所以腰曲线是r=a()-abk()=a()+()222k+b21求位于正螺面某ucov,yuinv,zav上的圆柱螺线某u0cov,yu0inv,zav（u0=常数）的测地曲率解因为正螺面的第一基本形式为du2(u2a2)dv2，螺旋线是正螺面的v-曲线uu0，10由2得dGuu0由正交网的坐标曲线的测地曲率得kg202d2GEu0a五、证明题1.设曲线：rr(),证明：k-;(r,r,r)=k2.证明由伏雷内公式

26、，得=k，=-,两式作点积，得=-k=-k,k=-.r=，r=k,r=k+k=k+k(-k+)=-k2+k+k(r,r,r)=(,k,-k2+k+k)=(,k,k)=k2.2.设曲线：rr(),证明：(r,r,r)=k3(k-k).证明由伏雷内公式，得r=k+k=k+k(-k+)=-k2+k+kr=k，r=-3kk+(-k3+k-k2)+(2k+k)(r,r,r)=(k(-k2+k+k)(-3kk+(-k3+k-k2)+(2k+k)=(k3+k2)(-3kk+(-k3+k-k2)+(2k+k)=-3k3k+2k3k+k4=k3(k-k)3.曲线rr()是一般螺线，证明:r1Rd也是一般螺线（R

27、是曲线的曲率半径）d，证明r1R两边关于微商，得d11RRRRR，dR1由于是一般螺线，所以也是一般螺线.1，4.证明曲线r(t)ain(t)dt,aco(t)dt,bt(a,b是常数）是一般螺线int()a,cot(b)证明r(t)ar(t)a(t)co(t),a(t)in(t),0,r(t)a(t)co(t),in(t),0a(t)2in(t)，co(t),0rra(t)a2b2,(r,r,r)a2b(t)，3kkrrr3r,r,rba2(t),(t),222ab2abrr5曲面S上一条曲线(C),P是曲线(C)上的正常点，k,kn,kg分别是曲线(C)在点P的曲率、法曲率与测地曲率，证明

28、k2=kn2+kg211a.b证明测地曲率kgkk(n)k(,n)knkin.(是主法向量与法向量n的夹角)法曲率knknkco，k2=kn2+kg2.6.证明曲线retcot,etint,0的切向量与曲线的位置向量成定角证明对曲线上任意一点，曲线的位置向量为retcot,etint,0，该点切线的切向量为：ret(cotint),et(intcot),0，则有：rre2t2，故夹角为.cott4rr22ee由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角7证明：若r和r对一切t线性相关，则曲线是直线证明若r和r对一切t线性相关，则存在不同时为0的f(t),g(t)使f(t)r(t)g(t)r

29、(t)0，则t,r(t)r(t)0,又k(t)rrr3，故t有k(t)0.于是该曲线是直线8证明圆柱螺线某acot,yaint,zbt的主法线和z轴垂直相交证明由题意有r(t)aint,acot,b,r(t)acot,aint,0，由(rr)r(rr)r知cot,int,0.rrr另一方面z轴的方向向量为a0,0,1，而a0，故a，即主法线与z轴垂直9证明曲线某ain2t,yaintcot,zacot的所有法平面皆通过坐标原点证明由题意可得r(t)ain2t,aco2t,aint，则任意点的法平面为ain2t0(某ain2t0)aco2t0(yaint0cot0)aint0(zacot0)0将

30、点（0,0,0）代入上述方程有左边ain2t0(0ain2t0)aco2t0(0aint0cot0)aint0(0acot0)0右边，故结论成立10证明曲线某13t+2t2,y22t5t2,z1t2为平面曲线，并求出它所在的平面方程.证明r13t+2t2,22t5t2,1t2，r3+4t,210t,2t，r4,10,2，r0,0,0(r,r,r)0,0，所以曲线是平面曲线.它所在的平面就是密切平面12r(0)3,2,0，r(0)4,10,2某1y2z1密切平面方程为3421000，2化简得其所在的平面方程是2某+3y+19z270.11.证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.证明设曲线方程rr()，定点的向径为R0，则r()R0()两边求微商，得()()()()k10(1()()k0由于,线性无关，k0k0曲线是直线.12.证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线.证明取定点为坐标原点，曲线的方程为rr(t)，则曲面在任一点的密切平面方程为(r(t),r(t),r(t)0因任一点的密切平面过定点，所以(or(t),r(t),r(t)0,即(r(t),r(t)r,t()所以rr(