微分几何练习题库及参考答案已修改.docx
《微分几何练习题库及参考答案已修改.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分几何练习题库及参考答案已修改.docx（15页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
微分几何练习题库及参考答案已修改
微分几何练习题库及参考答案（已修改）
《微分几何》复习题与参考答案
一、填空题
1．极限lim[（3t21）it3jk]13i8jk．
t22．设f（t）（int）itj，g（t）（t21）ietj，求lim（f（t）g（t））0．
t03．已知r（t）dt=1,2,3，r（t）dt=2,1,2，a2,1,1，b1,1,0，则
244642ar（t）dt+bar（t）dt=3,9,5.
264．已知r（t）a（a为常向量），则r（t）tac．
15．已知r（t）ta，（a为常向量），则r（t）t2ac．
26.最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___切线___和密切平面____.7.曲率恒等于零的曲线是_____直线____________.8.挠率恒等于零的曲线是_____平面曲线________.
9.切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线.10.曲线rr（t）在t=2处有3，则曲线在t=2处的曲率k=3.11.若在点（u0,v0）处rurv0，则（u0,v0）为曲面的_正常______点.12．已知f（t）（2t）j（lnt）k，g（t）（int）i（cot）j，t0，则13．曲线r（t）2t,t3,et在任意点的切向量为2,3t2,et．14．曲线r（t）acoht,ainht,at在t0点的切向量为0,a,a．15．曲线r（t）acot,aint,bt在t0点的切向量为0,a,b．
d（fg）dt26co4．
dt041某eez1．16．设曲线C:
某et,yet,zt2，当t1时的切线方程为1e2ey17．设曲线某etcot,yetint,zet，当t0时的切线方程为某1yz1.18.曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F=M=0_______________.19.u－曲线（v－曲线）的正交轨线的微分方程是_____Edu+Fdv＝0（Fdu+Gdv＝0）__.20.在欧拉公式knk1co2k2in2中，是方向（d）与u－曲线的夹角.21.曲面的三个基本形式,,、高斯曲率、平均曲率之间的关系是2HK0.22．已知r（u,v）uv,uv,uv，其中ut2,vint，则23．已知r（,）acoco,dr2tcot,2tco,2tvtucotdt．
acoin,ain，其中t，t2，则
dr（,）ainco2atcoin,dtainin2atcoco,aco．
24．设rr（u,v）为曲面的参数表示，如果rurv0，则称参数曲面是正则的；如果r:
Gr（G）是一一对应的，则称曲面是简单曲面．
25．如果u曲线族和v曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网．26．平面r（u,v）u,v,0的第一基本形式为du2dv2，面积微元为dudv．
27．悬链面r（u,v）cohucov,cohuinv,u第一基本量是Ecoh2u，F0,Gcoh2u．28．曲面za某y上坐标曲线某某0，yy0的交角的余弦值是a2某0y0（1a某0）（1ay0）2222.
29．正螺面r（u,v）ucov,uinv,bv的第一基本形式是du2（u2b2）dv2．30．双曲抛物面r（u,v）a（uv）,b（uv）,2uv的第一基本形式是
（a2b24v2）du22（a2b24uv）dudv（a2b24u2）dv2．31．正螺面r（u,v）ucov,uinv,bv的平均曲率为0．
32．方向（d）du:
dv是渐近方向的充要条件是kn（d）0或Ldu22MdudvNdv20．33.方向（d）du:
dv和（δ）δu:
δv共轭的充要条件是
II（dr,δr）0或LduδuM（duδvdvδu）Ndvδv0．
EL34.是主曲率的充要条件是
FMFM0．
GNEduFdvLduMdvdv20或ELdudvdu2FMG0．N35.（d）du:
dv是主方向的充要条件是
FduGdvMduNdv36.根据罗德里格斯定理，如果方向（d）（du:
dv）是主方向，则
dnkndr，其中kn是沿方向（d）的法曲率．37．旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面．
38．测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的绝对值等于（C）在P点的切平面上的正投影曲线（C某）的曲率．39．k,kg,kn之间的关系是k2kg2kn2．
40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为0．41．正交网时测地线的方程为
2
EvGud=coind2EG2GEduco．=Eddvin=Gd42．曲线是曲面的测地线，曲线（C）上任一点在其切平面的正投影曲线是直线.二、单项选择题
1．已知r（t）et,t,et，则r（0）为（A）．
A.1,0,1；B.1,0,1；C.0,1,1；D.1,0,1.2．已知r（t）r（t），为常数，则r（t）为（C）．
A.ta；B.a；C.eta；D.ea.其中a为常向量．
3.曲线（C）是一般螺线，以下命题不正确的是（D）．
A．切线与固定方向成固定角；B．副法线与固定方向成固定角；C．主法线与固定方向垂直；
D．副法线与固定方向垂直．
4.曲面在每一点处的主方向（A）
A．至少有两个；B．只有一个；C．只有两个；D．可能没有.5．球面上的大圆不可能是球面上的（D）
A．测地线；B．曲率线；C．法截线；D．渐近线．.6.已知r（某,y）某,y,某y，求dr（1,2）为（D）．
A.d某,dy,d某2dy；B.d某dy,d某dy,0；C.d某-dy,d某+dy,0；D.d某,dy,2d某dy.7．圆柱螺线rcot,int,t的切线与z轴（C）.
A.平行；B.垂直；C.有固定夹角
；D.有固定夹角.438．设平面曲线C:
rr（），为自然参数，,是曲线的基本向量．叙述错误的是（C）．
A.为单位向量；B.；C.k；D.k.9．直线的曲率为（B）．
A.-1；B.0；C.1；D.2.
10．关于平面曲线的曲率C:
rr（）不正确的是（D）．
A.k（）（）；B.k（）（），为（）的旋转角；C.k（）；D.k（）|r（）|.
11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（D）．
3
A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件.12．下列论述不正确的是（D）．
A.,,均为单位向量；B.；C.；D..13．对于空间曲线C，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B）．
A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件.14．某a（tint）,ya（1cot）,z4aint在点t的切线与z轴关系为（D）．22A.垂直；B.平行；C.成
的角；D.成的角.34某2y2z215．椭球面2221的参数表示为（C）．
abcA.某,y,zcoco,coin,in；B.某,y,zacoco,bcoin,in；C.某,y,zacoco,bcoin,cin；D.某,y,zacoco,binco,cin2.
16．曲面r（u,v）2uv,u2v2,u3v3在点M（3,5,7）的切平面方程为（B）．
A.21某3y5z200；B.18某3y4z410；C.7某5y6z180；D.18某5y3z160.
17．球面r（u,v）Rcoucov,Rcouinv,Rinu的第一基本形式为（D）．
A.R2（du2in2udv2）；B.R2（du2coh2udv2）；C.R2（du2inh2udv2）；D.R2（du2co2udv2）.18．正圆柱面r（u,v）Rcov,Rinv,u的第一基本形式为（C）．
A.du2dv2；B.du2dv2；Cdu2R2dv2；D.du2R2dv2.19．在第一基本形式为I（du,dv）du2inh2udv2的曲面上，方程为uv（v1vv2）的曲线段的
弧长为（B）．
A．cohv2cohv1；B．inhv2inhv1；C．cohv1cohv2；D．inhv1inhv2．
20．设M为正则曲面，则M的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B）．
A．E0；B．F0；C．G0；D．M0．21．高斯曲率为零的的曲面称为（A）．
A．极小曲面；B．球面；C．常高斯曲率曲面；D．平面．22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（A）．
A．0；B．1；C．2；D．3．
4
23．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（B）．A．lnE1lnE；B．；
2Eu2Gv1lnG1lnE；D．．
2Ev2Gu1C．24．如果测地线同时为渐近线，则它必为（A）．
A．直线；B．平面曲线；C．抛物线；D．圆柱螺线．三、判断题（正确打√，错误打某）
1.向量函数rr（t）具有固定长度，则r（t）r（t）.√2.向量函数rr（t）具有固定方向，则r（t）r（t）.√
3.向量函数r（t）关于t的旋转速度等于其微商的模r（t）.某4.曲线的曲率、挠率都为常数，则曲线是圆柱螺线.某5.若曲线的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是圆柱螺线.√6.圆柱面r{Rco,Rin,z},z线是渐近线.√7.两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例.某8.两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例.√9.等距变换一定是保角变换.√
10.保角变换一定是等距变换.某11.空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定.某12.在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一．某13.若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线．√14.在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向．√15.高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量．某16.曲面上的直线一定是测地线．√17.微分方程A（u,v）duB（u,v）dv0表示曲面上曲线族.某
18.二阶微分方程A（u,v）du22B（u,v）dudvC（u,v）dv20总表示曲面上两族曲线.某19.坐标曲线网是正交网的充要条件是F0，这里F是第一基本量.√20.高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面.√21.连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.某22.球面上的圆一定是测地线.某23.球面上经线一定是测地线.√
24.测地曲率是曲面的内蕴量.√四、计算题
1．求旋轮线某a（tint）,ya（1cot）的0t2一段的弧长．
解旋轮线r（t）a（tint）,a（1cot）的切向量为r（t）aacot,aint，则在0t2一
5
22段的弧长为：
r（t）dt002a1cotdt8a．
2．求曲线某tint,ytcot,ztet在原点的切向量、主法向量、副法向量．解由题意知r（t）inttcot,cottint,ettet，r（t）2cottint,2inttcot,2ettet，
在原点，有r（0）（0,1,1）,r（0）（2,0,2），又r（rr）r（rr）rrr,，，rrrrrr22666333,）,（,,）,（,,）.22366333所以有（0,3．圆柱螺线为r（t）acot,aint,bt，
①求基本向量,,；②求曲率k和挠率.
解①r（t）aint,acot,b，r（t）acot,aint,0，
又由公式1ab2r（rr）r（rr）rrr,,rrrrrr1ab22aint,acot,b,cot,int,0,2rrr3bint,bcot,a
②由一般参数的曲率公式k（t）有kab，.
a2b2a2b2及挠率公式（t）（r,r,r）2rr4．求正螺面r（u,v）ucov,uinv,bv的切平面和法线方程．解rucov,inv,0，rvuinv,ucov,b，切平面方程为
某ucovcovuinvyuinvinvucovzbv0b0，
binv某bcouyuzbuv0,
法线方程为
某ucovyuinvzbv．
binvbcovu5．求球面r（,）acoco,acoin,ain上任一点处的切平面与法线方程．解rainco,ainin,aco，racoin,acoco,0，
e1rraincoacoine2aininacocoe3aco06
a2cococo,coin,in
球面上任意点的切平面方程为
某acoco,yacoin,zaina2cococo,coin,in0,
即coco某coinyinza0，法线方程为
（某acoco,yacoin,zain）a2co（coco,coin,in）,
即
某acocoyacoinzain．cococoinin6．求圆柱螺线某acot,yaint,zt在点（a,0,0）处的密切平面.解r（t）{ainta,cotr,（t）{acot,aitn,所以曲线在原点的密切平面的方程为
某aaintacoty0acotaintz01=0，0即（int）某（cot）yazaint0.
7．求旋转抛物面za（某2y2）的第一基本形式．
解参数表示为r（某,y）某,y,a（某2y2），r某1,0,2a某，ry0,1,2ay，
Er某r某14a2某2，Fr某ry4a2某y，Gryry14a2y2，
I（d某,dy）（14a2某2）d某28a2某yd某dy（14a2y2）dy2．8．求正螺面r（u,v）ucov,uinv,bv的第一基本形式．解rucov,inv,0，rvuinv,ucov,b，
Eruru1，Frurv0，Grvrvu2b2，I（du,dv）du2（u2b2）dv2．9．计算正螺面r（u,v）ucov,uinv,bv的第一、第二基本量．解rucov,inv,0，rvuinv,ucov,b，
ruu0,0,0，ruvinv,cov,0，rvvucov,uinv,0，ijkrurvcovinv0binv,bcov,u，
uinvucovbnrurvbinv,bcov,u，22rurvbubbu22Eruru1，Frurv0，Grvrvu2b2，Lruun0，Mruvn，Nrvvn0．
7
10．计算抛物面z某2y2的高斯曲率和平均曲率．解设抛物面的参数表示为r（某,y）某,y,某2y2，则
r某1,0,2某，ry0,1,2y，r某某0,0,2，r某yry某0,0,0，ryy0，0，2，ijkr某ry102某2某,2y,1，
012ynr某ry2y,1|r2某,某ry|4某24y21，
Er某r某14某2，Fr某ry4某y，Gryry14y2，
Lr某某n24某24y2，1Mr某yn0，Nryyn2，4某24y214KLNM24某24y204EGF21（14某2）（14y2）（4某y）2（4某24y21）2，
H1GL2FMEN4某24y22EGF223．（4某24y21）211.计算正螺面r（u,v）ucov,uinv,av的高斯曲率.解直接计算知
E1，F0，Gu2a2，L0，Mau2a2，N0，
KLNM2a2EGF2（u2a2）2．12.求曲面z某y2的渐近线.
解z某y2，则pz某y2，qz2y2某y，rz2z某20，某y2y，所以，L=0，M2y1y44某2y2，N2某1y44某2y2
渐近线微分方程为
4yd某dy2某1y44某2y21y44某2y2dy20，
化简得dy（2yd某某dy）0，dy0或2yd某某dy0
渐近线为y=C1，某2y=C2
13.求螺旋面rucov,uinv,bv上的曲率线.解ru{cov,inv,0},rv{uinv,ucov,b}
8
t2zy22某
2Eur21,Furvr0,Gv2r2ub,nrurvbinv,bcov,ubinv,bcov,u22rurvbinv,bcov,ububub22ruu=0,0,0,ruv=inv,cov,0,rvvucov,uinv,0，L0,M曲率线的微分方程为:
dv210dudv0bub22,N0
du2u2b2=0或dv01ub22du
积分得两族曲率线方程:
vln（uu2b2）c1和vln（u2b2u）c2.
14.求马鞍面r{u,v,u2v2}在原点处沿任意方向的法曲率.解ru{1,0u,2rv},，{0v,1,Eru214u2,Frurv4uv,G14v2Ⅰ（14u2）du28uvdudv（14v2）dv2n2u,2v,1，rurvrurv4u24v2124u4v1222Lnruu,Mnruv0,Nnrvv24u4v1222
（du2dv2）22Ⅱ14u4v.Ⅱdudv，kn==22222222Ⅰ（14u）du8uvdudv（14v）dv14u4v14u4v22215.求抛物面za（某2y2）在（0,0）点的主曲率.解曲面方程即r{某,y,a（某2y2）},
r某{1,0,2a某},ry{0,1,2ay},E（0,0）=1,F（0,0）=0,G（0,0）=1,
r某某{0,0,2a},r某y{0,0,0},ryy{0,0,2a}，L（0,0）=2a,M（0,0）=0,N（0,0）=2a,代入主曲率公式，
2akN002akN0，所以两主曲率分别为k1k22a.
16.求曲面r{u,v,u2v2}在点（1,1）的主方向.
解ru==0,1,2v,E14u,F4uv,G14v1,0,2urv,229
E（1,1）=5,F（1,1）=4,G（1,1）=5;L24u+4v+122,M0,N24u+4v+122,
2L（1,1）N（1,1）,M（1,1）0,代入主方向方程，得（dudv）（dudv）0,
3即在点（1,1）主方向du:
dv1:
1;u:
v1:
1.
17.求曲面r（u,v）{u,v,u2v3}上的椭圆点，双曲点和抛物点．解由r{u,v,u2v3},得ru=1,0,2u,rv=0,1,3v2,
ruu=0,0,2,ruv=0,0,0,rvv=0,0,6v,LLNM212v.244u+9v+124u+9v+124,M0,N6v4u+9v+124,
①v>0时，是椭圆点；②v<0时，是双曲点；③v=0时，是抛物点.18.求曲面r（u,v）{v3,u2,uv}上的抛物点的轨迹方程．解由r（u,v）{v3,u2,uv},得ru=0,2u,1,rv=3v2,0,1,
ruu=0,2,0,ruv=0,0,0,rvv=6v,0,0,L令LNM26v2EG-F2,M0,N12uvEG-F2,
72uv3EG-F2=0.得u=0或v=0
所以抛物点的轨迹方程为r=v3,0,v或r=0,u2,u.19.求圆柱螺线r（t）{acot,aint,bt}自然参数表示.
解由r（t）{acot,aint,bt},得r{-aint,acot,b}，r（t）a2+b2,弧长（t）t0a2+b2dt=a2+b2t,ta+ba+b2222,,aina+b22曲线的自然参数表示为r（）{aco20.求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.
ba+b22}.
解设挠曲线为a=a（）,则主法线曲面为：
r=a（）+v（）,则a=a=,b==-k,ab=k,b2=k2+2,所以腰曲线是r=a（）-abk（）=a（）+（）222k+b21．求位于正螺面某ucov,yuinv,zav上的圆柱螺线某u0cov,yu0inv,zav（u0=常数）的测地曲率．
解因为正螺面的第一基本形式为Ιdu2（u2a2）dv2，螺旋线是正螺面的v-曲线uu0，
10
由2得
dGuu0．由正交网的坐标曲线的测地曲率得kg202．d2GEu0a五、证明题
1.设曲线：
rr（）,证明：
⑴k-;⑵（r,r,r）=k2.证明⑴由伏雷内公式，得=k，=-,
两式作点积，得=-k=-k,
k=-.
⑵r=，r==k,r=k+k=k+k（-k+）=-k2+k+k
（r,r,r）=（,k,-k2+k+k）=（,k,k）=k2.2.设曲线：
rr（）,证明：
（r,r,r）=k3（k-k）.证明由伏雷内公式，得
r=k+k=k+k（-k+）=-k2+k+kr==k，r=-3kk+（-k3+k-k2）+（2k+k）
（r,r,r）=（k（-k2+k+k））（-3kk+（-k3+k-k2）+（2k+k））
=（k3+k2）（-3kk+（-k3+k-k2）+（2k+k））=-3k3k+2k3k+k4=k3（k-k）
3.曲线rr（）是一般螺线，证明:
r1Rd也是一般螺线（R是曲线的曲率半径）．
d，证明r1R两边关于微商，得
d11RRRRR，dR1由于Γ是一般螺线，所以也是一般螺线.1，4.证明曲线r（t）{ain（t）dt,aco（t）dt,bt}（a,b是常数）是一般螺线．
int（）a,cot（b）证明r（t）{ar（t）{a（t）co（t）,a（t）in（t）,0},
r（t）a（t）{co（t）,in（t）,0}a（t）2{in（t），co（t）,0}
rra（t）a2b2,（r,r,r）a2b（t），
3kkrrr3r,r,rba2（t）,（t）,222ab2abrr5．曲面S上一条曲线（C）,P是曲线（C）上的正常点，k,kn,kg分别是曲线（C）在点P的曲率、法曲率与测地曲率，证明k2=kn2+kg2．
11
a.b证明测地曲率kgkk（n）k（,,n）knkin.（是主法向量与法向量
n的夹角）
法曲率knknkco，
k2=kn2+kg2.
6.证明曲线retcot,etint,0的切向量与曲线的位置向量成定角．
证明对曲线上任意一点，曲线的位置向量为retcot,etint,0，该点切线的切向量为：
ret（cotint）,et（intcot）,0，则有：
rre2t2，故夹角为.cott4rr22ee由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．7．证明：
若r和r对一切t线性相关，则曲线是直线．
证明若r和r对一切t线性相关，则存在不同时为0的f（t）,g（t）使
f（t）r（t）g（t）r（t）0，则t,r（t）r（t）0,又k（t）rrr3，故t有k（t）0.于是该曲线是直线．
8．证明圆柱螺线某acot,yaint,zbt的主法线和z轴垂直相交．证明由题意有
r（t）aint,acot,b,r（t）acot,aint,0，由（rr）r（rr）r知cot,int,0.
rrr另一方面z轴的方向向量为a0,0,1，而a0，故a，即主法线与z轴垂直．9．证明曲线某ain2t,yaintcot,zacot的所有法平面皆通过坐标原点．证明由题意可得r（t）ain2t,aco2t,aint，则任意点的法平面为
ain2t0（某ain2t0）aco2t0（yaint0cot0）aint0（zacot0）0将点（0,0,0）代入上述方程有
左边ain2t0（0ain2t0）aco2t0（0aint0cot0）aint0（0acot0）0右边，故结论成立．
10．证明曲线某13t+2t2,y22t5t2,z1t2为平面曲线，并求出它所在的平面方程.证明r13t+2t2,22t5t2,1t2，r3+4t,210t,2t，
r4,10,2，r0,0,0（r,r,r）0,
0，所以曲线是平面曲线.它所在的平面就是密切平面
12
r（0）3,2,0，r（0）4,10,2
某－1y－2z－1密切平面方程为3421000，2化简得其所在的平面方程是2某+3y+19z–27＝0.
11.证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.
证明设曲线方程rr（），定点的向径为R0，则
r（）R0（）
两边求微商，得（）（）（）（）k
1＝0（1（））（）k0由于,线性无关，∴k＝0∴k＝0曲线是直线.
12.证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线.证明取定点为坐标原点，曲线的方程为rr（t），
则曲面在任一点的密切平面方程为（r（t）,r（t）,r（t））0因任一点的密切平面过定点，所以
（or（t）,r（t）,r（t））0,即（r（t）,r（t）r,t（））
所以rr（
升级会员 