1、寻找一种平面曲线，若按这种曲线的形状做成光滑的轨道，那么从轨道上不同位置处同时静止释放的小球，会同时下滑到轨道底部，如图所示。A、B、C同时静止释放，同时下滑到最低点O。分析：由于简谐运动的周期与振幅无关，因此，只要物体沿着轨道的方向上做简谐运动，即可使不同位置同时静止释放的小球同时到达平衡位置O。这里所述的简谐运动，并不是严格意义上的简谐运动，因为运动不在同一直线上，而是沿着轨道表面。设曲线方程为，且最低点位于y轴上。那么当质量为m的物体运动到曲线上的点（x ，f(x)时，所受下滑力F=-mgsin其中 是（x，f(x)处的切线的倾角。由于所以物体从点（x，f(x)下滑到最低点（0，f(0)
2、所要走过的路程这里的路程相当于简谐运动的位移。.简谐运动的回复力F 与位移S 之间满足F =-k S(k 0)将、代入上式得设0,1)z（），则，上式化为等号两边对x求导得y=f(x)即等号两边积分得为了去掉上式等号右边的反正弦和根号，设 z=sin，（0，/2），得到由于当x=0时，回复力所以当x=0时，z=0。将x=0，z=0代入得，C=0所以.令=2 ，代入上式得由若能求出y与 的关系y=y(),便能得到曲线的参数方程上式为x 与的关系，yx=x()=y()可知。根据复合函数求导法则：.由得.代入得上式等号两边积分得若曲线经过原点，则积分常数，此时。所以所求曲线的参数方程为，0,/2。利用曲线的参数方程不难看出所求曲线是摆线的一段。
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