最速降线方程的推导.pdf

最速降线方程的推导.pdf

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寻找一种平面曲线，若按这种曲线的形状做成光滑的轨道，那么从轨道上不同位置处同时静止释放的小球，会同时下滑到轨道底部，如图所示。

A、B、C同时静止释放，同时下滑到最低点O。

分析：

由于简谐运动的周期与振幅无关，因此，只要物体沿着轨道的方向上做简谐运动，即可使不同位置同时静止释放的小球同时到达平衡位置O。

这里所述的简谐运动，并不是严格意义上的简谐运动，因为运动不在同一直线上，而是沿着轨道表面。

设曲线方程为，且最低点位于y轴上。

那么当质量为m的物体运动到曲线上的点（x，f（x）时，所受下滑力F=-mgsin其中是（x，f（x）处的切线的倾角。

由于所以物体从点（x，f（x）下滑到最低点（0，f（0）所要走过的路程这里的路程相当于简谐运动的位移。

.简谐运动的回复力F与位移S之间满足F=-kS（k0）将、代入上式得设0,1）z（），则，上式化为等号两边对x求导得y=f（x）即等号两边积分得为了去掉上式等号右边的反正弦和根号，设z=sin，（0，/2），得到由于当x=0时，回复力所以当x=0时，z=0。

将x=0，z=0代入得，C=0所以.令=2，代入上式得由若能求出y与的关系y=y（）,便能得到曲线的参数方程上式为x与的关系，yx=x（）=y（）可知。

根据复合函数求导法则：

.由得.代入得上式等号两边积分得若曲线经过原点，则积分常数，此时。

所以所求曲线的参数方程为，0,/2。

利用曲线的参数方程不难看出所求曲线是摆线的一段。