数学竞赛学案第13章学案72docxWord格式.docx

1、特征多项式 称为/的特征多项式.（3） 矩阵的特征值与特征向最的求法如果久是二阶矩阵力的特征值，则久一定是二阶矩阵力的特征多项式的一个根，即血）=。，此吋，将2代入二元-次方程组（*）,就可得到-组非零解即于是非零向量即即为 A的属于2的一个 .【自我检测】0 11. 矩阵0的逆矩阵是 .12 丨2. 点P（2,3）经矩阵A= 4对应的变换作用下得到点B，点卩 再经过矩阵/对应的变换作用下得到点尸，则点P的坐标是 .r1円3. 矩阵5 ）的特征值是址1 】n日 .4. 若 A= ，B= 2 ,则（AB） = .5. （2010-厦门模拟）利用逆矩阵知识解方程组伫辽x+2y3 = 0.课室活动区

2、I 兰破考点硏析热点 探究点一求矩阵的逆矩阵探究点二求矩阵的特征值与特征向量【例2】已知二阶矩阵M冇特征值久=8及对应的一个特征向量=；并且矩阵M对 应的变换将点（T,2）变换成（2,4）.（1） 求矩阵必；（2） 求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量5的坐标Z间的关系；（3） 求直线/： x-y+= 0在矩阵M的作用下的直线厂的方程.8变式迁移2矩阵M=,6探究点三矩阵的综合应用【例3】在研究扩散理论时，假定某一物质以液态和气态存在，并且在一淀时间段内，总 有2.5%的液体蒸发，1%的气体凝结，假设0=0.6, c=0.4分别表示该物质现在气态和液 态所占的比例，经过一个时间段后，气

3、态和液态所占的比例分别是h和6，几11 =O.99f（）+O.O25co，、.C =O.Ol/o+O.975c（）.ro.99 0.0251（1） 求矩阵oi 0 975的特征值和特征向量；（2） 说明特征向量的意义.变式迁移3在军事密码学中，密码发送的数学原理是：发送方将要传送的倍息数字化 后用一个矩阵X表示（不足的元素可以补上0,字与字之间的空格也以0记，且以密码先后 顺序按列组成矩阵），在矩阵的左边乘上一个双方约定的可逆矩阵得到B=4X,则即 为传送岀去的密码，接收方收到密码示，只需左乘/的逆矩阵A1,即可得到发送出去的明 码不妨以二阶矩阵为例，先将英文字母数字化，讣Q-1, b-2,，

4、z-26.现已 2 31知发送方传出的密码为7,13,39,67,双方约定的可逆矩阵为二5试破解发送的密码.1.求两个矩阵乘积的逆矩阵有两种方法，即先求乘积AB ,再求逆矩阵也可以 利用性质（AB）-1 =B 1求解，但要注意顺序，不能误为A XB X.2已知矩阵力有特征值2及久对应的一个特征向量a ,贝= 若矩阵力有两个不共线的特征向量血，血，其对应的特征值分别为石，久2 ,由平面向量基本定理，向 量a可由么1 , a2唯一线性表示,即存在实数t ,（2 ,使么二ii + t2a2 ,从而有Ana = “仏仙） + b（殛2）（WN）（满分：90分）一.填空题（每小题6分，共42分）31 ,

5、 b1.设可逆矩阵/= c的逆矩阵A =L4 5 a绕原点作 （填“顺”或“逆”）时针旋转4. 现用矩阵对信息进行加密后传递，规定英文字母数字化为：a-1, b-2, ，z-26,所发信息为二、解答题（共48分）8. （12 分）（2011福建，21（1）设矩阵 M=（；为（其中 Q0, b0）.若d=2, b=3,求矩阵M的逆矩阵2（2）若曲线C： ?+/= 1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C:亍+犷=1, 求a, b的值.9. _1 a_0 1-（12分）设矩阵/ =求才，（2） 猜想（3） 证明：的特征值是与无关的常数，并求出此常数.10, （12分）设M是把坐标平面上的点的横坐

6、标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压 变换.求矩阵M的特征值及相丿乎的抖:征向量；（2）求逆矩阵以及椭圆牙+=1在的作用下的新曲线的方程. （二）矩阵的逆矩阵.特征值与特征向量答案自主梳理1. （2河逆 可逆矩阵 逆矩阵（3）唯一的Ax（4） BlAl （5）存在逆矩阵2擞值3.（1）特征值特征向量自我检测r1._-10_1解析= 0X0 （-1X11ad be （3）特征向最逆矩阵为1）X1 =2（2,3）3. -4,2解析 矩阵M的特征值久满足方程A - 1 - 25 25 二 1）（/1+ 3）（）X （ 2） = /? + 2z 8 二 0 ,解得矩阵M的两个特征值九二4,22 = 2

7、.4.2 3_卩_ 1 2.5J7课堂活动区【例1】解题导引已知矩阵力，要求/ 可设A=八由“E可得5.解对于几何意义明确的矩阵变换，应注意几何意义在解题中的应用还要注意矩阵的知识并不是孤立存在的，解题时应该注意矩阵与其他知识的有机结合对于几何意义明显的线性变换,要掌握它的逆变换，利用逆变换求逆矩阵有时比利用行列式求逆矩阵要快捷简便I 树 I 1设则吐丄则由肠（個彳0c d2a 2h.0L所以s-c = 1 , d= 0 ,2a = 0 ,.2b= I ,c二 1 ,4；【例31解题导引 由实际意义知，特征向量的每个分量都应为正数，否则无意义 Z - 0.99 - 0.0251解由） =-0.

8、01 A - 0.975=0.965的特征向量分别是J , J.（2）因为属于入二1的特征向量是1,所以M=0 ,得特征值久1 = 1 / Z2 = 0965则属于久1 = 1和久252_2_.M2给岀的r：c = 5 : 2是物质气态和液态处于平衡状态的比例，比较稳定; 属于人2 = 0.965的一个特征向量是J的第二个分量为负数，没有实际意义A这说明，特征向变式迁移3解因为昇二det =所以Al =352L27 39 _J3 67_所以X = A lB =L2 故明码为2 1 3 对应信息为back._7 39 _13 67.2 3 1 1L课后练习区1 2亠1- 2 2 2 解析由AA

9、=E得b + 3aqc3（TAh + 5g4c - 5._01_r ab + 3a= 1.ac = 3 ,即S4b + 5a = 0 ,Ac -5=1.解方程组得a = 2fb =-1 22.yco.3y + 2co2y + a）,10一3x + 2z 即”3x + 2z =2x + z = 0L 2 -3j 解析设矩阵力的逆矩阵为3y + 2co = 0 ,2y + co = ,解得 x= -l,z = 2,y = 2,Cfj= - 3 , i 1 2 J从而力的逆矩阵为A =-2 3_3.顺I值为 Aj=4 rz2=2.设属于特征值Ai=4的特征向量为；,则它满足方程（入+小+ （2）尸0

10、 ,即5x2厂2= - 2的一个特征向量有两个特征值A1 = 4 f A2 =2属于A1 =4的一个特征向量1 2 综上所述，矩阵M二52 3为二L；属于-2的一个特征向最为2 =6.ro r解析:A =7.解析6兀cosy.6兀Sl】2ncos 471sm才兀cos才. 兀sm 4.6n -smy-3j2_12.=38.解（1）设矩阵M的逆矩阵2 OVxi 刃0 3/1x2 yi 所以 2x = 1,2yi 0,32 二 0,32 = 1 / 即 Xi=jfyl=0lx2 = 0fy2=jf（4 分）2 00 3,人2（loPl山0、r 则 MM X =1 0、0 J（2 分）.A -丄-i

11、 o_（2）设曲线C上任意一点P（x ,y），它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P X , ”），即、 X又点P x a）在曲线c上，所IU2=i.2 2则严+二1为曲线c的方程（10分）又已知曲线C的方程为? +/=1 ,故、a2 - 4 , b2=.又a0 t b0 ,所以9.解（1）才二_1 nd_0 1 _（1 = 2,6=1. Q 分）_1 2d.0 1 一1 3a_0 1 一才=SEN）；（3）设才的特征值为厂则由用）二=0 f得（八1）2二0所以A=1，它是与无关的常数._2.010.解（1）由条件得矩阵M二3.,（2 分）rn它的特征值为2和3 ,对应的一个特征向量为和；（

12、4 分）-丄I ,设P（x0 , po）为椭圆上任点，3-在M j作用下变为（十S则有s= 2xo= jyo即x0 = 2xz分）点P在椭圆牙+卷二1上,？+” 2 = 1.（11 分）即椭圆f+ f = 1在的作用下的新曲线的方程为X? +产1.（12分）k_3k.伙WR且RH0）,取討;（6（1）当久1 = 1时，11 .解 A的特征多项式夬久）=（八1）（久2）, 令您）二0得/的特征值为入二1 二2 , （3分） y = 0“（得力的特征向量7 = 2尹=0（2）当 a2 = 2 时，；八得/的特征向量/二 3y = 0伙WR且上H0） 取虽=J二令歯+滋2 ,_3f/1 = 1，解得L = 3 3X2100r3X2一3 （11 分）（12 分）I | | 3即討討，厂討 +討，代入直线/的方程后并化简得“/ +2 = 0,即兀-y + 2 = 0.A - 8 5 变式迁移2解 矩阵M的特征多项式为危）二 =（八8）（z + 3）-5X（-6） = 6 z + 3