数学竞赛学案第13章学案72docxWord格式.docx
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特征多项式
称为/的特征多项式.
(3)矩阵的特征值与特征向最的求法
如果久是二阶矩阵力的特征值,则久一定是二阶矩阵力的特征多项式的一个根,即血)
=。
,此吋,将2代入二元-次方程组(*),就可得到-组非零解即于是非零向量即即为A的属于2的一个.
【自我检测】
0—1
1.矩阵]0的逆矩阵是.
「12]丨
2.点P(2,3)经矩阵A=4对应的变换作用下得到点B,点卩再经过矩阵/对
应的变换作用下得到点尸〃,则点P"
的坐标是.
r1円
3.矩阵5)的特征值是
址「1°
】n日.
4.若A=,B=2,则(AB)=.
5.(2010-厦门模拟)利用逆矩阵知识解方程组伫辽
[x+2y—3=0.
课室活动区I兰破考点硏析热点
探究点一求矩阵的逆矩阵
探究点二求矩阵的特征值与特征向量
【例2】已知二阶矩阵M冇特征值久=8及对应的一个特征向量©
=[;
]并且矩阵M对应的变换将点(T,2)变换成(—2,4).
(1)求矩阵必;
(2)求矩阵M的另一个特征值,及对应的一个特征向量5的坐标Z间的关系;
(3)求直线/:
x-y+\=0在矩阵M的作用下的直线厂的方程.
8
变式迁移2矩阵M=,
6
探究点三矩阵的综合应用
【例3】在研究扩散理论时,假定某一物质以液态和气态存在,并且在一淀时间段内,总有2.5%的液体蒸发,1%的气体凝结,假设‘0=0.6,c°
=0.4分别表示该物质现在气态和液态所占的比例,经过一个时间段后,气态和液态所占的比例分别是h和6,几
11=O.99f()+O.O25co,
、
.C]=O.Ol/o+O.975c().
ro.990.0251
(1)求矩阵oi0975」的特征值和特征向量;
(2)说明特征向量的意义.
变式迁移3在军事密码学中,密码发送的数学原理是:
发送方将要传送的倍息数字化后用一个矩阵X表示(不足的元素可以补上0,字与字之间的空格也以0记,且以密码先后顺序按列组成矩阵),在矩阵的左边乘上一个双方约定的可逆矩阵得到B=4X,则〃即为传送岀去的密码,接收方收到密码示,只需左乘/的逆矩阵A'
1,即可得到发送出去的明码不妨以二阶矩阵为例,先将英文字母数字化,讣Q-1,b-2,…,z-26.现已「231
知发送方传出的密码为7,13,39,67,双方约定的可逆矩阵为二5}试破解发送的密码.
1.求两个矩阵乘积的逆矩阵有两种方法,即先求乘积AB,再求逆矩阵也可以利用性质(AB)-1=B1求解,但要注意顺序,不能误为AXBX.
2・已知矩阵力有特征值2及久对应的一个特征向量a,贝=・若矩阵力
有两个不共线的特征向量血,血,其对应的特征值分别为石,久2,由平面向量基本定理,向量a可由么1,a2唯一线性表示,即存在实数t\,(2,使么二^i«
i+t2a2,从而有Ana=“仏仙)+b(殛2)(〃WN)・
(满分:
90分)
一.填空题(每小题6分,共42分)
31,[b
1.设可逆矩阵/=’c的逆矩阵A~]=
L45」a
绕原点作(填“顺”或“逆”)时针旋转
4.
现用矩阵对信息进行加密后传递,规定英文字母数字化为:
a-1,b-2,・・・,z->
26,
所发信息为
二、解答题(共48分)
8.(12分)(2011•福建,21
(1))设矩阵M=(;
为(其中Q0,b>
0).
⑴若d=2,b=3,求矩阵M的逆矩阵2
(2)若曲线C:
?
+/=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C'
:
亍+犷=1,求a,b的值.
9.
_1a
_01-
(12分)设矩阵/=
⑴求才,
(2)猜想
(3)证明:
的特征值是与〃无关的常数,并求出此常数.
10,(12分)设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍,纵坐标伸长到3倍的伸压变换.
⑴求矩阵M的特征值及相丿乎的抖:
征向量;
(2)求逆矩阵以及椭圆牙+£
=1在的作用下的新曲线的方程.
(二)矩阵的逆矩阵.特征值与特征向量
答案
自主梳理
1.(2河逆可逆矩阵逆矩阵(3)唯一的A~x
(4)B~lA~l(5)存在逆矩阵2擞值3.
(1)特征值特征向量
自我检测
r
1.
_-1
0_
・1
解析•••
=0X0・(-
1
X
11
ad—be(3)特征向最
•••逆矩阵为
1)X1=
2・(2,3)
3.-4,2
解析矩阵M的特征值久满足方程
A-1-2
52
5二@・1)(/1+3)・(・㊁)X(・2)=/?
+2z・8二0,
解得矩阵M的两个特征值九二・4,22=2.
4.
「2・3_
卩]
_・12.
5J
・7
课堂活动区
【例1】解题导引已知矩阵力,要求/»
可设A}=
八由“E可得•
5.解
对于几何意义明确的矩阵变换,应注意几何意义在解题中的应用•还要注意矩阵的知识
并不是孤立存在的,解题时应该注意矩阵与其他知识的有机结合•对于几何意义明显的线性
变换,要掌握它的逆变换,利用逆变换求逆矩阵有时比利用行列式求逆矩阵要快捷简便•
I「°
树I「1
设则吐丄则由肠(個彳0」
・c・d
2a2h.
0"
L
所以s
-c=1,
・d=0,
2a=0,
.2b=I,
c二•1,
<
t/=0.
故(ab)'
1=
变式迁移1解
_10_
ri八t
30
02
_0L
_02.
矩阵的特征值和特征向量在求解形如MZ的矩阵与向量的乘法运算中有重要应用,熟练掌握此知识,用它来解决将可以大大减少运算量•应掌握求解二阶方阵的特征向量和特征值的基本方法,关于特征值问题的探究一般解法如下:
【例2】解题导引
b
d.
若有特征值久,则
r向量«
,即
=[1
=0,
即x2-(tf+d)A+(ad-be)=0.
T
"
8'
则
・cdi.
=8
二
⑴设M二61
解
Lb'
■CcL
-2
・a+2b=-2,
•c+2d二4.
联立以上两方程组解得a=6M=2,c=4,d=4,「621
故M二,八
L44J
⑵由
(1)知,矩阵M的特征多项式为
佩)=(A-6)(a-4)-8=A2-10A+16,故其另一个特征值为z=2.设矩阵M的另一个特征向量是s=[:
],
6x+2y
Ax+4y_
解得2x+y=0.
(3)设点(x』)是直线/上的任一点,其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为(x‘"
62
_44
则Me2=
=2
丿」
所以X1=2,z2=3,对应的一个特征向量分别为X1二*-[:
]
■丁
'
5'
_8_
因为X二
二&
+2X2.
所以M^X=4/(%)+2X2)
=A/X1+2(3/X2)
=4X1+2宓)命+2>
4;
【例31解题导引由实际意义知,特征向量的每个分量都应为正数,否则无意义・Z-0.99-0.0251
解⑴由・"
)=
-0.01A-0.975
=0.965的特征向量分别是[J,J.
(2)因为属于入二1的特征向量是1],所以M
=0,得特征值久1=1/Z2=0・965•则属于久1=1和久2
5"
2_
_2_
.M2
给岀的r:
c=5:
2是物质气态和液态处于平衡状态的比例,比较稳定;
属于人2=0.965的一个特征向量是J的第二个分量为负数,没有实际意义•
A
这说明,特征向
变式迁移3
解因为昇二
det⑷=
所以A'
l=
3
5
2
L2
「739_
J367_
所以X=AlB=
L2故明码为213对应信息为back.
_739'
_1367.
23'
11L
课后练习区
12亠
1-222解析由AA]=E得
\b+3a
qc・3
(T
Ah+5g
4c-5.
_0
1_
rab+3a=1.
ac=3,
即S
4b+5a=0,
Ac-5=1.
解方程组得a=2fb=
-12
2.
y
co.
3y+2co
2y+a),
■1
0一
3x+2z即”
3x+2z=
2x+z=0
L2-3j解析设矩阵力的逆矩阵为]
3y+2co=0,
2y+co=\,
解得x=-l,z=2,y=2,Cfj=-3,i「•12"
J
从而力的逆矩阵为A'
]=
-2・3_
3.顺I
值为Aj=4rz2=・2.
设属于特征值Ai=4的特征向量为[;
],则它满足方程(入+小+(・2)尸0,即5x・2厂
^2=-2的一个特征向量•
有两个特征值A1=4fA2=・2•属于A1=4的一个特征向量
・12综上所述,矩阵M二5
23
为©
二L];
属于-2的一个特征向最为«
2=
6.
ror
解析:
A=
7.
解析
6兀
cosy
.6兀
Sl】2
•
n
cos4
・71
・sm才
兀
cos才
.兀
sm4
.6n~-smy
-3
j
2~
_1
•2.
=
「3
8.解
(1)设矩阵M的逆矩阵
2OVxi刃
03/1x2yi所以2x\=1,2yi—0,3^2二0,3^2=1/即Xi=jfyl=0lx2=0fy2=jf(4分)
20
03,
人2
(\
lo
Pl
山
0、
r则MMX=
10、
0J(2分)
.A-
丄
-io_
°
(2)设曲线C上任意一点P(x,y),它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点PX,”),
■即、
X
又点Pxa)在曲线c'
上,所IU—2=i.
22
则严+二1为曲线c的方程・(10分)
又已知曲线C的方程为?
+/=1,故、
a2-4,b2=\.
又a>
0tb>
0,所以
9.解
(1)才二
_1nd
_01_
(1=2,
6=1.Q分)
_12d
.01一
13a
_01一
⑵才=
SEN);
(3)设才的特征值为厂则由用)二
=0f得(八1)2二0・
所以A=1,它是与〃无关的常数.
_2
.0
10.解
(1)由条件得矩阵M二
3.
(2分)
rn
它的特征值为2和3,对应的一个特征向量为[°
」和
[;
];
(4分)
-丄
I,设P(x0,po)为椭圆上任—点,
3-
在Mj作用下变为(十S则有s
=2xo
=jyo
即'
x0=2xz
分)
•・•点P在椭圆牙+卷二1上,
・•・"
?
+”2=1.(11分)
即椭圆f+f=1在『的作用下的新曲线的方程为X?
+产1.(12分)
k・
_3k.
伙WR且RH0),取討;
](6
(1)当久1=1时,
11.解A的特征多项式夬久)=(八1)(久・2),令您)二0得/的特征值为入二1二2,(3分)
•y=0
“(得力的特征向量7=
■2尹=0
(2)当a2=2时,
;
八得/的特征向量/二
・3y=0
伙WR且上H0)•
取虽=[J二令"
歯+滋2,
_3
f/1=•1
,解得L=33X2100—r
3X2⑹一3•
(11分)
(12分)
I||3
即"
討•討,厂•討+討,代入直线/的方程后并化简得“・/+2=0,
即兀-y+2=0.
A-85变式迁移2解矩阵M的特征多项式为危)二=(八8)(z+3)-5X(-6)=
・6z+3