1、,高斯(1777-1855),德国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德,被誉为有史以来的三大数学家。有“数学王子”之称。,高斯“神速求和”的故事:,首项与末项的和:1100101,,第2项与倒数第2项的和:299=101,,第3项与倒数第3项的和:398 101,,第50项与倒数第50项的和:5051101,,于是所求的和是:,求 S=1+2+3+100=?,你知道高斯是怎么计算的吗?,高斯算法:,高斯算法用到了等差数列的什么性质?,如图,是一堆钢管,自上而下每层钢管数为4、5、6、7、8、9、10,求钢管总数。,即求:S=4+5+6+7+8+9+10.,高斯算法:S=(4+10)+
2、(5+9)+(6+8)+7=143+7=49.,还有其它算法吗?,情景2,S=10+9+8+7+6+5+4.,S=4+5+6+7+8+9+10.,相加得:,倒序相加法,怎样求一般等差数列的前n项和呢?,新课,等差数列的前n项和公式,公式1,公式2,结论:知 三 求 二,思考:,(2)在等差数列 中,如果已知五个元素 中 的任意三个,请问:能否求出其余两个量?,(1)两个求和公式有何异同点?,公式记忆,类比梯形面积公式记忆,等差数列前n项和公式的函数特征:,特征:,思考:,结论:,例1、计算:,举例,例2、,注:本题体现了方程的思想.,解:,例3、,解:,又解:,整体运算的思想!,例4、,解:,
3、1、一个等差数列前4项的和是24,前5项的和与前2项的和的差是27,求这个等差数列的通项公式。,解:,巩固练习,解:,1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;,小结,3、应用公式求和.“知三求二”,方程的思想.,已知首项、末项用公式;已知首项、公差用公式.,应用求和公式时一定弄清项数n.当已知条件不足以求出a1和d时,要认真观察,灵活应用等差数列的性质,看能否用整体思想求a1+an的值.,作业,P45 T1,T2(书上),P46 A:T1-T4;,B1-B2(通用练习本),完成作业本等差数列前n项和(一),2.3 等差数列的前n项和,性质及其应用(上),1.若一个等差数列前3项和为34,最后
4、三项和为146,且所有项的和为390,则这个数列共有_项。,2.已知两个等差数列an,bn,它们的前n项和分别是Sn,Tn,若,热身练习,比值问题,整体思想,方法一:方程思想,方法二:,成等差数列,等差数列前n项和性质:,(等差数列等分若干段后,各段和依序成等差数列),等差数列前项和的最值问题:,练习1、已知一个等差数列中满足,解:,方法一,练习,解:,方法二,对称轴 且更接近9,所以n=9.,练习1、已知一个等差数列中满足,作业,P45 练习T3(书本)P46 T5-T6,P68 T9(通用练习本)完成作业本等差数列前n项和(二),周末别忘了温习哦,等差数列前n项和,性质以及应用(下),等差
5、数列奇,偶项和问题,1、已知一个等差数列前12项的和是354,前 12项中偶数项与奇数项之比为32:27,求公差,分析:方法一:直接套用公式;方法二:利用奇数项与偶数项的关系,解:,练习,1、已知一个等差数列前12项的和是354,前 12项中偶数项与奇数项之比为32:27,求公差,解:,2、已知一个等差数列中d=05,,分析:还是利用奇数项和偶数项之间 的关系,相差一个公差d.,解:设,求数列前n项和方法之一:裂项相消法,设an是公差为d的等差数列,则有,特别地,以下等式都是式的具体应用:,(裂项相消法),;,;,求和公式:所给数列的通项是关于n的多项式,此时求和可采用公式法求和,常用的公式有:,求数列前n项和方法之二:公式,单利:银行利息按单利计算(利息没有利息)本利和=本金(1+利率存期),例如:存入10000元,利率为0.72%,特点:每一项与前一项的差是同一个常数,复利:银行利息按复利计算(利滚利)本金和=本金(1+利率)存期,例如:存入10000元,利率为1.98%,特点:后一顶与前一项的比是同一个常数,
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