新教材人教B版高中数学必修第二册全册各章节知识点考点及解题方法规律提炼汇总文档格式.docx

1、n为奇数n为偶数aRa0a0a0x_x_不存在根式（1）当有意义时，称为根式，n称为_根指数_，a称为被开方数（2）性质：（）n_a_；分数指数幂的意义正分数指数幂n为正整数，有意义，且a0时，规定a_正分数，a_（）m_负分数s是正分数，as有意义且a0时，规定as_无理数指数幂当a0且t是无理数时，at是一个确定的_实数_实数指数幂的运算法则（a0，b0，r，sR）（1）aras_ars_（2）（ar）s_ars_（3）（ab）r_arbr_题型n次方根的概念及相关问题典例剖析典例1（1）求使等式 （3a）成立的实数a的取值范围；（2）设3x3，求的值分析（1）利用|a|进行讨论化简（2）

2、利用限制条件去绝对值号解析（1）|a3|，要使|a3|（3a）成立，需解得3a3，即实数a的取值范围为3,3（2）原式|x1|x3|，3x3，当3x1时，原式（x1）（x3）2x2；当1x3时，原式（x1）（x3）4原式规律方法：1.对于，当n为偶数时，要注意两点：（1）只有a0时才有意义；（2）只要有意义，必不为负2当n为偶数时，先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号根式与分数指数幂的互化典例2（1）用根式表示下列各式：a；a；（2）用分数指数幂表示下列各式：；分析利用分数指数幂的定义求解解析（1）a；a；a（2）a；aa2；a根式与分数指数幂互化的规律（1）根指数化为,分数指数的分母，被

3、开方数（式）的指数分数指数的分子（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题有理（实数）指数幂的运算法则的应用典例3化简：（1）（5xy）（其中x0，y0）；（2）0.0640（2）3 160.75；（3）3227；（4）（1）（1）2（）（）1（）1分析利用幂的运算法则计算解析（1）原式x（1）yxy（2）原式0.411（2）42312732（33）32332329（）1（1）（1）2（）（）11（1）（1）2（）（）2（1）（1）1（）2（）222指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算负指数幂化为正指数幂的倒数底数是负数

4、，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质易错警示典例4化简（1a）（a1）2（a） 错解原式（1a）（a1）1（a） （a） 辨析误解中忽略了题中有（a） ，即a0，a0，则（a1）2 （a1）1正解（a） 存在，a0，故a10，原式（1a）（1a）1（a） （a） 4.1.2指数函数的性质与图像第1课时指数函数的性质与图像指数函数函数_yax_称为指数函数，其中a是常数，a0且a1思考：（1）为什么指数函数的底数a0，且a1?（2）指数函数的解析式有什么特征？提示：（1）如果a0，当x0时，ax恒等于0，没有研究

5、的必要；当x0时，ax无意义如果a0，例如f（x）（4）x，这时对于x，该函数无意义如果a1，则y1x是一个常量，没有研究的价值为了避免上述各种情况，所以规定a0，且a1（2）a0，且a1，ax的系数为1；自变量x的系数为1指数函数的图像和性质0a1a1图像定义域实数集R值域_（0，）_性质过定点_（0,1）_是_减_函数是_增_函数（1）对于指数函数y2x，y3x，yx，yx，为什么一定过点（0,1）?（2）对于指数函数yax（a0且a1），在下表中，？处y的范围是什么？底数x的范围y的范围x0？x0（1）当x0时，a01恒成立，即指数函数的图像一定过点（0,1）（2）y10y1指数函数的概

6、念典例1（1）函数y（a23a3）ax是指数函数，则a的值为_2_（2）指数函数yf（x）的图像经过点（，e），则f（）_分析（1）根据指数函数解析式的特征列方程求解（2）设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f（）解析（1）由题意得a23a31，即（a2）（a1）0，解得a2或a1（舍）（2）设指数函数为yax（a0且a1），则ea，所以f（）a（a）1e11.判断一个函数是指数函数的方法（1）把握指数函数解析式的特征：底数a0，且a1；ax的系数为1；（2）有些函数需要对解析式变形后判断，如yx是指数函数2求指数函数解析式的步骤（1）设指数函数的解析式f（x）ax（a0且a1）（2）利用已知

7、条件求底数A（3）写出指数函数的解析式指数函数的图像问题典例2（1）函数yax，yxa在同一坐标系中的图像可能是（D）（2）要得到函数y23x的图像，只需将函数yx的图像（A）A向右平移3个单位B向左平移3个单位C向右平移8个单位D向左平移8个单位分析（1）要注意对a进行讨论，分0a1和a1两种情况讨论判断（2）先对解析式变形，再进行判断解析（1）函数yxa单调递增由题意知a0且a1当0a1时，yax单调递减，直线yxa在y轴上的截距大于0且小于1；当a1时，yax单调递增，直线yxa在y轴上的截距大于1.故选D（2）因为y23x x3，所以yx的图像向右平移3个单位得到y x3 ，即y23x

8、的图像1.函数图像问题的处理技巧（1）抓住图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点（2）利用图像变换，如函数图像的平移变换（左右平移、上下平移）（3）利用函数的奇偶性与单调性，奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图像的走势2指数型函数图像过定点问题的处理策略求指数型函数图像所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的x与y的值，即为函数图像所过的定点指数函数的定义域、值域问题典例3（1）当x0时，函数f（x）（a21）x的值域为（1，），则实数a的取值范围是（D）A（，1）（1，）B（1,1）C（，1）（1，）D（，）（，）（2）函数y5的定义域为_分析（1）根据指数函数的图像，函数值恒大于1，

9、底数应该大于1可得（2）根据根式的性质，被开方数大于或等于0求解解析（1）当x0时，函数f（x）（a21）x的值总大于1，则底数a211，a22，所以|a|，所以实数a的取值范围是（，）（，）（2）要使函数y5有意义，则2x10，所以x.所以函数y 5的定义域为函数yaf（x）定义域、值域的求法（1）定义域：形如yaf（x）形式的函数的定义域是使得f（x）有意义的x的取值集合（2）值域：换元，令tf（x）；求tf（x）的定义域xD；求tf（x）的值域tM；利用yat的单调性求yat，tM的值域提醒：（1）通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集（2）当指数型函数的底数含字母

10、时，在求定义域、值域时要注意分类讨论典例4若函数f（x）ax1（a0，a1）的定义域和值域都是0,2，求实数a的值错解函数f（x）ax1（a0，a1）的定义域和值域都是0,2，a故实数a的值为辨析误解中没有对a进行分类讨论正解当a1时，函数f（x）ax1在0,2上是增函数，由题意可知，解得a.当0a1时，函数f（x）ax1在0,2上是减函数，由题意可知，此时a无解综上所述，a第2课时指数函数的性质与图像的应用底数与指数函数图像的关系（1）由指数函数yax（a0且a1）的图像与直线x1相交于点（1，a）可知，在y轴右侧，图像从_下_到_上_相应的底数由小变大（2）由指数函数yax（a0且a1）的

11、图像与直线x1相交于点可知，在y轴左侧，图像从下到上相应的底数_由大变小_如图所示，指数函数底数的大小关系为0a4a31a2a1解指数型不等式（1）形如af（x）ag（x）的不等式，可借助yax（a0且a1）的_单调性_求解；（2）形如af（x）b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助yax（a0且a1）的_单调性_求解；（3）形如axbx的不等式，可借助两函数yax（a0且a1），ybx（b0且b1）的图像求解与指数函数复合的函数单调性一般地，形如yaf（x）（a0且a1）函数的性质有：（1）函数yaf（x）与函数yf（x）有_相同_的定义域（2）当a1时，函数yaf（x）与y

12、f（x）具有_相同_的单调性；当0a1时，函数yaf（x）与yf（x）具有_相反_的单调性（1）指数函数yax（a0且a1）的单调性取决于哪个量？（2）如何判断形如yf（ax）（a0且a1）的函数的单调性？（1）指数函数yax（a0且a1）的单调性与其底数a有关，当a1时，yax（a0且a1）在定义域上是增函数，当0a1时，yax（a0且a1）在定义域上是减函数（2）定义法，即“取值作差变形定号”其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；利用复合函数的单调性“同增异减”的规律指数函数性质的简单应用典例1比较下列各组数的大小：（1）1.72.5,1.73；（2）0.80.1,0.80.2；（3

13、）1.70.3,0.93.1；（4），分析底数相同的幂值ab与ac比较大小，一般用yax的单调性；指数相同的幂值ac与bc比较大小，可在同一坐标系中，画出yax与ybx的图像考察xc时，函数值的大小；底数与指数均不同的一般考虑先化同底不方便化时，常借助中间量0、1等过渡解析（1）考查指数函数y1.7x，由于底数1.71，所以指数函数y1.7x在（，）上是增函数2.53，1.72.51.73（2）考查函数y0.8x，由于00.81，所以指数函数y0.8x在（，）上为减函数0.10.2，0.80.10.80.2（3）由指数函数的性质得170.31.701，0.93.10.901，1.70.30.9

14、3.1（4）底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的再作比较2（23） 8，3（32） 9而89.89，即，又2（25） 32，5（52） ，而2532，总之，利用指数函数的性质比较大小的方法：1把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较2若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较形如yaf（x）类型函数的单调性与值域典例2求函数yx2x2的单调递增区间、值域分析利用复合函数单调性的原则“同增异减”求解解析令tx2x2，则yt，因为t2，可得t的减区间为，因为函数yt在R上是减函数，所以函数

15、yx2x2的单调递增区间；又t，所以t，所以函数yx2x2值域为复合函数的单调性、值域（1）分层：一般分为外层yat，内层tf（x）（2）单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数（3）值域复合：先求内层t的值域，再利用单调性求yat的值域指数函数性质的综合应用典例3（1）已知函数f（x）对任意x1x2 ，都有0成立，则实数a的取值范围是（B）A（4,8）B4,8）C（1，）D（1, 8）（2）已知函数f（x）是R上的奇函数判断并证明f（x）的单调性；若对任意实数，不等式ff（x）f（3m）0恒成立，求m的取值范围解析（1）因为分段函数为增函数，所以

16、满足解得4a8（2）因为f（x）为R 上的奇函数，所以f（0）0，即0，由此得a1，所以f（x）1，所以f（x）为R上的增函数证明：设x1x2，则f（x1）f（x2）1，因为x1x2，所以0，所以f（x1）f（x2），所以f（x）为R上的增函数因为f（x）为R上的奇函数所以原不等式可化为ff（x）f（3m），即ff（x）f（m3），又因为f（x）为R上的增函数，所以f（x）m3，由此可得不等式mf（x）34对任意实数x恒成立，由2x02x110220244，所以m21.关于分段函数y的单调性（1）增函数：f（x），g（x）均为增函数，且f（x0）g（x0）（2）减函数：f（x），g（x）均为减

17、函数，且f（x0）g（x0）2含参数恒成立问题的一种处理方法将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围特别提醒：已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小典例4求函数yxx1的值域错解令tx，则yt2t12，所以t时，ymin，所以函数的值域为辨析在换元时，令tx，所以x0，在误解中忽略了这一点正解令tx，则yt2t12因为t0，y2在（0，）上是增函数，所以y1，即函数的值域为（1，）4.2对数与对数函数4.2.1对数运算对数的概念在代数式abN（a0且a1），N（0，）中，幂指数b称为以a为底N的对数（2）记法：b_l

18、ogaN_，a称为对数的_底数_，N称为对数的_真数_（3）范围：N0，即_负数和零没有对数_（1）为什么负数和零没有对数？（2）对数式logaN是不是loga与N的乘积？（1）因为blogaN的充要条件是abN，当a0且a1时，由指数函数的值域可知N0，故负数和零没有对数（2）不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数知识点对数恒等式 （1）alogaNN（2）logaabB知识点常用对数与自然对数 （1）常用对数：log10N，简写为lg N（2）自然对数：logeN，简写为ln N，e2.718 28典例1若a2 020b（a0，且a1），则（A）Alogab

19、2 020Blogba2 020Clog2 020abDlog2 020ba（2）对数式log（a2）（5a）中实数a的取值范围是（C）A（，5）B（2,5）C（2,3）（3,5）D（2，）（3）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（B）Ae01与ln 10Blog392与93C8与log8Dlog771与717分析（1）根据对数的定义转化（2）对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0（3）根据对数式的定义判断解析（1）若a2020b（a0，且a1）则logab2 020（2）由题意得解得2a3或3a5（3）由指、对数式的互化可知，A、C、D正确；对于B选项log392可化为329，所以B选项

20、错误指数式与对数式互化的思路（1）指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式（2）对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式利用指数式与对数式关系求值角度1利用指数式与对数式的互化求值典例2求下列各式的值：（1）log381；（2）log4；（3）log8；（4）lg 0.1解析（1）因为3481，所以log3814（2）因为42，所以log42（3）因为38，所以log83（4）因为1010.1，所以lg 0.11角度2两个特殊对数值的应用典例3已知log2log3（log4x）log3log4（log2y）0，求xy的值解析因

21、为log2log3（log4x）0，所以log3（log4x）1，所以log4x3，所以x4364，同理求得y16，所以xy80对数性质在求值中的应用1对数运算时的常用性质：logaa1，loga102使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于有多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质对数恒等式的应用典例4计算：（1）71log75；（2）4 （log29log25）；（3）alogablogbc （a、b均为不等于1的正数，c0）解析（1）原式（2）原式2（log29log25）（3）原式（alogab）logbcblogbcC对于指数中含有对数值的式子进

22、行化简，应充分考虑对数恒等式的应用这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式alogaNN要注意格式：（1）它们是同底的；（2）指数中含有对数形式：（3）其值为对数的真数典例5求满足等式log（x3）（x23x）1中x的值错解log（x3）（x23x）1，x23xx3，即x22x30，解得x3或x1.故满足等式log（x3）（x23x）1中x的值为3和1辨析误解中忽略了对数的真数与底数都必须为正数，且底数不能等于1正解由对数性质，得，解得x1故满足等式log（x3）（x23x）1的x的值为14.2.2对数运算法则积、商、幂的对数若a0，且a1，M0，N0，则有（1）积的对数：_loga（MN）logaMlogaN_（2）商的对数：_logalogaMlogaN_（3）幂的对数：_logaMnnlogaM_在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga（MNQ）是否适用？你可以得到一个什么样的结论？适用，loga（MNQ）logaMlogaNlogaQ，积的对数运算性质可以推广到n项的乘积换底公式若a0，且a1，c0，且c1，b0，则有_logab_（1）对数