新教材人教B版高中数学必修第二册全册各章节知识点考点及解题方法规律提炼汇总文档格式.docx

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n为奇数

n为偶数

a∈R

a＞0

a＝0

a＜0

x＝____

x＝__±

__

不存在

根式

（1）当有意义时，称为根式，n称为__根指数__，a称为被开方数．

（2）性质：

①（）n＝__a__；

②＝

分数指数幂的意义

正分数

指数幂

n为正整数，有意义，且a≠0时，规定a＝____

正分数，a＝__（）m__＝

负分数

s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a－s＝____

无理数指数幂

当a＞0且t是无理数时，at是一个确定的__实数__．

实数指数幂的运算法则（a＞0，b＞0，r，s∈R）

（1）aras＝__ar＋s__．

（2）（ar）s＝__ars__．

（3）（ab）r＝__arbr__．

题型

n次方根的概念及相关问题

典例剖析

　典例1　

（1）求使等式＝（3－a）成立的实数a的取值范围；

（2）设－3＜x＜3，求－的值．

[分析]　

（1）利用＝|a|进行讨论化简．

（2）利用限制条件去绝对值号．

[解析]　

（1）＝

＝|a－3|，

要使|a－3|＝（3－a）成立，

需解得－3≤a≤3，即实数a的取值范围为[－3,3]．

（2）原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，

∵－3＜x＜3，∴当－3＜x＜1时，原式＝－（x－1）－（x＋3）＝－2x－2；

当1≤x＜3时，原式＝（x－1）－（x＋3）＝－4．

∴原式＝

规律方法：

1.对于，当n为偶数时，要注意两点：

（1）只有a≥0时才有意义；

（2）只要有意义，必不为负．

2．当n为偶数时，先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号．

根式与分数指数幂的互化

　典例2　

（1）用根式表示下列各式：

a；

a－；

（2）用分数指数幂表示下列各式：

；

．

[分析]　利用分数指数幂的定义求解．

[解析]　

（1）a＝；

a＝；

a－＝＝．

（2）＝a；

＝a＝a2；

＝＝a－．

根式与分数指数幂互化的规律

（1）根指数化为,分数指数的分母，被开方数（式）的指数分数指数的分子．

（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．

有理（实数）指数幂的运算法则的应用

　典例3　化简：

（1）（5x－y）·

·

（其中x＞0，y＞0）；

（2）0.064－－0＋[（－2）3]－＋16－0.75；

（3）32＋×

27－；

（4）（1＋）[（－－1）－2（）]＋（）1－×

（）1＋．

[分析]　利用幂的运算法则计算．

[解析]　

（1）原式＝·

x－＋（－1）＋·

y＋－＝x－y．

（2）原式＝0.4－1－1＋（－2）－4＋2－3

＝－1＋＋＝．

27－＝32＋×

（33）－＝32＋×

3－＝32＋－＝32＝9．

（）1＋

＝（1＋）[（＋1）－2·

（）]＋（）1－＋1＋

＝（1＋）[（＋1）－2×

（）×

]＋（）2

＝（1＋）·

[（＋1）－1·

（）]＋2

＝（）＋2＝2＋2．

指数幂的一般运算步骤是：

有括号先算括号里的；

无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．

易错警示

　典例4　化简（1－a）[（a－1）－2·

（－a）]．

[错解]　原式＝（1－a）（a－1）－1·

（－a）＝－（－a）．

[辨析]　误解中忽略了题中有（－a），即－a≥0，a≤0，则[（a－1）－2]≠（a－1）－1．

[正解]　∵（－a）存在，∴－a≥0，故a－1＜0，原式＝（1－a）·

（1－a）－1（－a）＝（－a）．

4.1.2　指数函数的性质与图像

第1课时　指数函数的性质与图像

指数函数

函数__y＝ax__称为指数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1．

思考：

（1）为什么指数函数的底数a＞0，且a≠1?

（2）指数函数的解析式有什么特征？

提示：

（1）①如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0，没有研究的必要；

当x≤0时，ax无意义．

②如果a＜0，例如f（x）＝（－4）x，这时对于x＝，，…，该函数无意义．

③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．

为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1．

（2）①a＞0，且a≠1，②ax的系数为1；

③自变量x的系数为1．

指数函数的图像和性质

0＜a＜1

a＞1

图像

定义域

实数集R

值域

__（0，＋∞）__

性质

过定点__（0,1）__

是__减__函数

是__增__函数

（1）对于指数函数y＝2x，y＝3x，y＝x，y＝x，…，为什么一定过点（0,1）?

（2）对于指数函数y＝ax（a＞0且a≠1），在下表中，？

处y的范围是什么？

底数

x的范围

y的范围

x＞0

？

x＜0

（1）当x＝0时，a0＝1恒成立，即指数函数的图像一定过点（0,1）．

（2）

y＞1

0＜y＜1

指数函数的概念

　典例1　

（1）函数y＝（a2－3a＋3）·

ax是指数函数，则a的值为__2__．

（2）指数函数y＝f（x）的图像经过点（π，e），则f（－π）＝____．

[分析]　

（1）根据指数函数解析式的特征列方程求解．

（2）设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f（－π）．

[解析]　

（1）由题意得a2－3a＋3＝1，

即（a－2）（a－1）＝0，

解得a＝2或a＝1（舍）．

（2）设指数函数为y＝ax（a＞0且a≠1），

则e＝aπ，所以f（－π）＝a－π＝（aπ）－1＝e－1＝．

1.判断一个函数是指数函数的方法

（1）把握指数函数解析式的特征：

①底数a＞0，且a≠1；

②ax的系数为1；

（2）有些函数需要对解析式变形后判断，如y＝＝x是指数函数．

2．求指数函数解析式的步骤

（1）设指数函数的解析式f（x）＝ax（a＞0且a≠1）．

（2）利用已知条件求底数A．

（3）写出指数函数的解析式．

指数函数的图像问题

　典例2　

（1）函数y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图像可能是（　D　）

（2）要得到函数y＝23－x的图像，只需将函数y＝x的图像（　A　）

A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位

C．向右平移8个单位 D．向左平移8个单位

[分析]　

（1）要注意对a进行讨论，分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论判断．

（2）先对解析式变形，再进行判断．

[解析]　

（1）函数y＝x＋a单调递增．

由题意知a＞0且a≠1．

当0＜a＜1时，y＝ax单调递减，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于0且小于1；

当a＞1时，y＝ax单调递增，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于1.故选D．

（2）因为y＝23－x＝x－3，

所以y＝x的图像向右平移3个单位得到y＝x－3，

即y＝23－x的图像．

1.函数图像问题的处理技巧

（1）抓住图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点．

（2）利用图像变换，如函数图像的平移变换（左右平移、上下平移）．

（3）利用函数的奇偶性与单调性，奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图像的走势．

2．指数型函数图像过定点问题的处理策略

求指数型函数图像所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的x与y的值，即为函数图像所过的定点．

指数函数的定义域、值域问题

　典例3　

（1）当x＞0时，函数f（x）＝（a2－1）x的值域为（1，＋∞），则实数a的取值范围是（　D　）

A．（－，－1）∪（1，） B．（－1,1）

C．（－∞，－1）∪（1，＋∞） D．（－∞，－）∪（，＋∞）

（2）函数y＝5的定义域为____．

[分析]　

（1）根据指数函数的图像，函数值恒大于1，底数应该大于1可得．

（2）根据根式的性质，被开方数大于或等于0求解．

[解析]　

（1）当x＞0时，函数f（x）＝（a2－1）x的值总大于1，则底数a2－1＞1，a2＞2，所以|a|＞，所以实数a的取值范围是（－∞，－）∪（，＋∞）．

（2）要使函数y＝5有意义，则2x－1≥0，所以x≥.所以函数y＝5的定义域为．

函数y＝af（x）定义域、值域的求法

（1）定义域：

形如y＝af（x）形式的函数的定义域是使得f（x）有意义的x的取值集合．

（2）值域：

①换元，令t＝f（x）；

②求t＝f（x）的定义域x∈D；

③求t＝f（x）的值域t∈M；

④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．

提醒：

（1）通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．

（2）当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．

　典例4　若函数f（x）＝ax－1（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．

[错解]　∵函数f（x）＝ax－1（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0,2]，∴，∴a＝．

故实数a的值为．

[辨析]　误解中没有对a进行分类讨论．

[正解]　当a＞1时，函数f（x）＝ax－1在[0,2]上是增函数，

由题意可知，，解得a＝.当0＜a＜1时，函数f（x）＝ax－1在[0,2]上是减函数，

由题意可知，，此时a无解．综上所述，a＝．

第2课时　指数函数的性质与图像的应用

底数与指数函数图像的关系

（1）由指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图像与直线x＝1相交于点（1，a）可知，在y轴右侧，图像从__下__到__上__相应的底数由小变大．

（2）由指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图像与直线x＝－1相交于点可知，在y轴左侧，图像从下到上相应的底数__由大变小__．

如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1．

解指数型不等式

（1）形如af（x）＞ag（x）的不等式，可借助y＝ax（a＞0且a≠1）的__单调性__求解；

（2）形如af（x）＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax（a＞0且a≠1）的__单调性__求解；

（3）形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax（a＞0且a≠1），y＝bx（b＞0且b≠1）的图像求解．

与指数函数复合的函数单调性

一般地，形如y＝af（x）（a＞0且a≠1）函数的性质有：

（1）函数y＝af（x）与函数y＝f（x）有__相同__的定义域．

（2）当a＞1时，函数y＝af（x）与y＝f（x）具有__相同__的单调性；

当0＜a＜1时，函数y＝af（x）与y＝f（x）具有__相反__的单调性．

（1）指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）的单调性取决于哪个量？

（2）如何判断形如y＝f（ax）（a＞0且a≠1）的函数的单调性？

（1）指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）的单调性与其底数a有关，当a＞1时，y＝ax（a＞0且a≠1）在定义域上是增函数，当0＜a＜1时，y＝ax（a＞0且a≠1）在定义域上是减函数．

（2）①定义法，即“取值—作差—变形—定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；

②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律．

指数函数性质的简单应用

　典例1　比较下列各组数的大小：

（1）1.72.5,1.73；

（2）0.8－0.1,0.8－0.2；

（3）1.70.3,0.93.1；

（4），，．

[分析]　底数相同的幂值ab与ac比较大小，一般用y＝ax的单调性；

指数相同的幂值ac与bc比较大小，可在同一坐标系中，画出y＝ax与y＝bx的图像考察x＝c时，函数值的大小；

底数与指数均不同的一般考虑先化同底．不方便化时，常借助中间量0、1等过渡．

[解析]　

（1）考查指数函数y＝1.7x，

由于底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x在（－∞，＋∞）上是增函数．

∵2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．

（2）考查函数y＝0.8x，由于0＜0.8＜1，

所以指数函数y＝0.8x在（－∞，＋∞）上为减函数．

∵－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2．

（3）由指数函数的性质得

1．70.3＞1.70＝1，　　　

0.93.1＜0.90＝1，

∴1.70.3＞0.93.1．

（4）底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的再作比较．

∵＝2＝（23）＝8，＝3＝（32）＝9而8＜9.∴8＜9，即＜，

又＝2＝（25）＝32，

＝5＝（52），而25＜32，∴＜．

总之，＜＜．

利用指数函数的性质比较大小的方法：

1．把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较．

2．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较．

形如y＝af（x）类型函数的单调性与值域

　典例2　求函数y＝－x2＋x＋2的单调递增区间、值域．

[分析]　利用复合函数单调性的原则“同增异减”求解

[解析]　令t＝－x2＋x＋2，

则y＝t，

因为t＝－2＋，可得t的减区间为，因为函数y＝t在R上是减函数，

所以函数y＝－x2＋x＋2的单调递增区间；

又t≤，所以t≥，

所以函数y＝－x2＋x＋2值域为．

复合函数的单调性、值域

（1）分层：

一般分为外层y＝at，内层t＝f（x）．

（2）单调性复合：

复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数．

（3）值域复合：

先求内层t的值域，再利用单调性求y＝at的值域．

指数函数性质的综合应用

　典例3　

（1）已知函数f（x）＝对任意x1≠x2，都有＞0成立，则实数a的取值范围是（　B　）

A．（4,8） B．[4,8）

C．（1，＋∞） D．（1,8）

（2）已知函数f（x）＝是R上的奇函数．

①判断并证明f（x）的单调性；

②若对任意实数，不等式f[f（x）]＋f（3－m）＞0恒成立，求m的取值范围．

[解析]　

（1）因为分段函数为增函数，所以满足

解得4≤a＜8．

（2）①因为f（x）为R上的奇函数，

所以f（0）＝0，即＝0，由此得a＝1，

所以f（x）＝＝1－，所以f（x）为R上的增函数．

证明：

设x1＜x2，则

f（x1）－f（x2）＝1－－＝－，

因为x1＜x2，所以－＜0，

所以f（x1）＜f（x2），

所以f（x）为R上的增函数．

②因为f（x）为R上的奇函数．

所以原不等式可化为f[f（x）]＞－f（3－m），

即f[f（x）]＞f（m－3），

又因为f（x）为R上的增函数，所以f（x）＞m－3，

由此可得不等式m＜f（x）＋3＝4－

对任意实数x恒成立，由2x＞0⇒2x＋1＞1⇒0＜＜2⇒－2＜－＜0⇒2＜4－＜4，所以m≤2．

1.关于分段函数y＝的单调性

（1）增函数：

f（x），g（x）均为增函数，且f（x0）≤g（x0）．

（2）减函数：

f（x），g（x）均为减函数，且f（x0）≥g（x0）．

2．含参数恒成立问题的一种处理方法

将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围．

特别提醒：

已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小．

　典例4　求函数y＝x＋x＋1的值域．

[错解]　令t＝x，则y＝t2＋t＋1＝2＋，所以t＝－时，ymin＝，

所以函数的值域为．

[辨析]　在换元时，令t＝x，所以x＞0，在误解中忽略了这一点．

[正解]　令t＝x，则y＝t2＋t＋1＝2＋．

因为t＞0，y＝2＋在（0，＋∞）上是增函数，

所以y＞1，即函数的值域为（1，＋∞）．

4.2　对数与对数函数

4.2.1　对数运算

对数的概念

在代数式ab＝N（a＞0且a≠1），N∈（0，＋∞）中，幂指数b称为以a为底N的对数．

（2）记法：

b＝__logaN__，a称为对数的__底数__，N称为对数的__真数__．

（3）范围：

N＞0，即__负数和零没有对数__．

（1）为什么负数和零没有对数？

（2）对数式logaN是不是loga与N的乘积？

（1）因为b＝logaN的充要条件是ab＝N，当a＞0且a≠1时，由指数函数的值域可知N＞0，故负数和零没有对数．

（2）不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．

知识点

对数恒等式

（1）alogaN＝N．

（2）logaab＝B．

知识点

常用对数与自然对数

（1）常用对数：

log10N，简写为lgN．

（2）自然对数：

logeN，简写为lnN，e＝2.71828…．

　典例1　若a2020＝b（a＞0，且a≠1），则（　A　）

A．logab＝2020 B．logba＝2020

C．log2020a＝b D．log2020b＝a

（2）对数式log（a－2）（5－a）中实数a的取值范围是（　C　）

A．（－∞，5） B．（2,5）

C．（2,3）∪（3,5） D．（2，＋∞）

（3）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（　B　）

A．e0＝1与ln1＝0

B．log39＝2与9＝3

C．8－＝与log8＝－

D．log77＝1与71＝7

[分析]　

（1）根据对数的定义转化．

（2）对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0．

（3）根据对数式的定义判断．

[解析]　

（1）若a2020＝b（a＞0，且a≠1）则logab＝2020．

（2）由题意得解得2＜a＜3或3＜a＜5．

（3）由指、对数式的互化可知，A、C、D正确；

对于B选项log39＝2可化为32＝9，所以B选项错误．

指数式与对数式互化的思路

（1）指数式化为对数式：

将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．

（2）对数式化为指数式：

将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．

利用指数式与对数式关系求值

角度1　利用指数式与对数式的互化求值

　典例2　求下列各式的值：

（1）log381；

（2）log4；

（3）log8；

（4）lg0.1．

[解析]　

（1）因为34＝81，所以log381＝4．

（2）因为4－2＝，所以log4＝－2．

（3）因为－3＝8，所以log8＝－3．

（4）因为10－1＝0.1，所以lg0.1＝－1．

角度2　两个特殊对数值的应用

　典例3　已知log2[log3（log4x）]＝

log3[log4（log2y）]＝0，求x＋y的值．

[解析]　因为log2[log3（log4x）]＝0，

所以log3（log4x）＝1，所以log4x＝3，

所以x＝43＝64，同理求得y＝16，所以x＋y＝80．

对数性质在求值中的应用

1．对数运算时的常用性质：

logaa＝1，loga1＝0．

2．使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；

对于有多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．

对数恒等式的应用

　典例4　计算：

（1）71－log75；

（2）4（log29－log25）；

（3）alogab·

logbc（a、b均为不等于1的正数，c＞0）．

[解析]　

（1）原式＝＝．

（2）原式＝2（log29－log25）＝＝．

（3）原式＝（alogab）logbc＝blogbc＝C．

对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：

（1）它们是同底的；

（2）指数中含有对数形式：

（3）其值为对数的真数．

　典例5　求满足等式log（x＋3）（x2＋3x）＝1中x的值．

[错解]　∵log（x＋3）（x2＋3x）＝1，∴x2＋3x＝x＋3，

即x2＋2x－3＝0，

解得x＝－3或x＝1.故满足等式log（x＋3）（x2＋3x）＝1中x的值为－3和1．

[辨析]　误解中忽略了对数的真数与底数都必须为正数，且底数不能等于1．

[正解]　由对数性质，得，解得x＝1．

故满足等式log（x＋3）（x2＋3x）＝1的x的值为1．

4.2.2　　对数运算法则

积、商、幂的对数

若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，则有

（1）积的对数：

__loga（MN）＝logaM＋logaN__．

（2）商的对数：

__loga＝logaM－logaN__．

（3）幂的对数：

__logaMn＝nlogaM__．

在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga（MNQ）是否适用？

你可以得到一个什么样的结论？

适用，loga（MNQ）＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到n项的乘积．

换底公式

若a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0，则有__logab＝__．

（1）对数