四升五年级奥数Word格式.docx

1、749（七七四十九）。对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了1020的平方，而2199的平方就不大熟悉了。有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？这里向同学们介绍一种方法凑整补零法。所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。下面通过例题来说明这一方法。例3求292和822的值。例4求9932和20042的值。下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。请看下面的算式：6646=7388=1944=这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同，另一因数的十位数与个位数之和为10。这类

2、算式有非常简便的速算方法。例58864例67791由例3的解法得到由上式看出，当两个因数的个位数之积是一位数时，应在十位上补一个0，本例为7107。用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。练习11.求下面10个数的总和：165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。2.农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出12株麦苗的高度分别为（单位：厘米）：26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求这批麦苗的平均高度。3.某车间有9个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为：68，91，84，75，78，81，83，72，79

3、。他们共加工了多少个零件？4.计算：131610+1117121512161312。5.计算下列各题：（1）372；（2）532；（3）912；（4）682（5）1082；（6）3972。6.计算下列各题：（1）7728=（2）6655=（3）3319=（4）82（5）3733=（6）4699=第2讲速算与巧算（二）上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法，这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算法。两个数之和等于10，则称这两个数互补。在整数乘法运算中，常会遇到像7278，2686等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。7278的被乘数与乘数的十位数字相同

4、、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；2686的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。例1（1）7674？（2）3139？由例1看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如1909），积中从百位起前面的数是被乘数（或乘数）的十位数与十位数加1的乘积。“同补”速算法简单地说就是：积的末两位是“尾尾”，前面是“头（头+1）”。我们在三年级时学到的1515，2525，9595的速算，实际上就是“同补”速算法

5、。例2（1）7838？（2）4363？（2）与（1）类似可得到下面的速算式：由例2看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如3309），积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数（或乘数）的个位数。“补同”速算法简单地说就是：积的末两位数是“尾头+尾”。例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。当被乘数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？我们先将互补的概念推广一下。当两个数的和是10，100，1000，时，这两个数互为补数，简称互补。如43与57互补，99与1互补，555与445互补。在一个乘法

6、算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型，即“头相同，尾互补”型。例如，因为被乘数与乘数的前两位数相同，都是70，后两位数互补，7723100，所以是“同补”型。又如，等都是“同补”型。当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型，即“头互补，尾相同”型。例如，等都是“补同”型。在计算多位数的“同补”型乘法时，例1的方法仍然适用。例3（1）702708=？（2）17081792？（1）（2）计算多位数的“同补”型乘法时，将“头（头+1）”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作为乘积的后几位。注意：互补数如果是n位数，则应

7、占乘积的后2n位，不足的位补“0”。在计算多位数的“补同”型乘法时，如果“补”与“同”，即“头”与“尾”的位数相同，那么例2的方法仍然适用（见例4）；如果“补”与“同”的位数不相同，那么例2的方法不再适用，因为没有简捷实用的方法，所以就不再讨论了。例428657265？练习2计算下列各题：6862=9397=2787=7939=4262=603607=693607=40856085=第3讲高斯求和德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：123499100？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小

8、高斯通过细心观察发现：110029939849525051。1100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）10025050。小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：（1）1，2，3，4，5，100；（2）1，3，5，7，9，99；（3）8，15，22，29，36，71。其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1

9、，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）项数2。例11231999注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。例211121331在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）公差+1，末项=首项+公差（项数-1）。例3371199例4求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。例5在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的

10、面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？例6盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？练习31.计算下列各题：（1）246200（2）17192139（3）58111450（4）31017241012.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。时钟一昼夜敲打多少次？5

11、.求100以内除以3余2的所有数的和。6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？第四讲整除我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。数的整除具有如下性质：性质1如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。性质2如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么2115及21-15都能被3整除。性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互

12、质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9763整除。利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（

13、或125）整除。（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）。类似地可以证明（5）。（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。83780030781003107（991）3（91）79983937（89939）（837）。

14、因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，（8x993x9）能被9整除。再根据整除的性质2，由（837）能被9整除，就能判断837能被9整除。利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4，8，9的余数：（4）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。（5）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。（6）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。例1在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？2347897756886537288064。例2在四位数562中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？例3从0，2

15、，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。例4五位数能被72整除，问：A与B各代表什么数字？例5六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？例6要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？练习416539724能被4，8，9，24，36，72中的哪几个数整除？2个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？3一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整除。在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少？4五位数能被12整除，求这个五位数。5有一个能被24整除的四位数23，这个四位数最大是几？最小是

16、几？6从0，2，3，6，7这五个数码中选出四个，可以组成多少个可以被8整除的没有重复数字的四位数？7在123的左右各添一个数码，使得到的五位数能被72整除。8学校买了72只小足球，发票上的总价有两个数字已经辨认不清，只看到是67.9元，你知道每只小足球多少钱吗？第5讲弃九法从第4讲知道，如果一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几，那么这个数被9除的余数也一定是几。利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。例如，3645732这个数，各个数位上的数字之和为364573230，30被9除余3，所以364

17、5732这个数不能被9整除，且被9除后余数为3。但是，当一个数的数位较多时，这种计算麻烦且易错。有没有更简便的方法呢？因为我们只是判断这个式子被9除的余数，所以凡是若干个数的和是9时，就把这些数划掉，如369，459，729，把这些数划掉后，最多只剩下一个3（如下图），所以这个数除以9的余数是3。这种将和为9或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字和求除以9的余数的方法，叫做弃九法。一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。利用弃九法可以计算一个数的九余数，还可以检验四则运算的正确性。例1求多位数除以9的余数。例2将自然数1，2，3，依次无间隔地写下去组成一个数1213如果一直写到自然数100，那么所得

18、的数除以9的余数是多少？练习51求下列各数除以9的余数：（1）7468251（2）（3）2657348（4）2求下列各式除以9的余数：（1）6723582564（2）97256-47823（3）27836451（4）3477+265841第6讲数的整除性（二）这一讲主要讲能被11整除的数的特征。一个数从右边数起，第1，3，5，位称为奇数位，第2，4，6，位称为偶数位。也就是说，个位、百位、万位是奇数位，十位、千位、十万位是偶数位。例如9位数中，奇数位与偶数位如下图所示：能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11

19、整除。例1判断七位数1839673能否被11整除。例2求下列各数除以11的余数：（1）41873；（2）。例3求除以11的余数。例4用3，3，7，7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数？例5用19九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数。例6六位数能被99整除，求A和B。练习61为使五位数6295能被11整除，内应当填几？2用1，2，3，4四个数码能排出哪些能被11整除的没有重复数字的四位数？3求能被11整除的最大的没有重复数字的五位数。4求下列各数除以11的余数：（1）2485；（2）63582；（3）。5求6六位数5A634B能被33整除，求A+B。7七位数3A8629B是88

20、的倍数，求A和B。第六讲流水行船问题【专题导引】当你逆风骑自行车时有什么感觉？是的，逆风时需用很大力气，因为面对的是迎面吹来的风。当顺风时，借着风力，相对而言用力较少。在你的生活中是否也遇到过类似的如流水行船问题。解答这类题的要素有下列几点：水速、顺速、船速（速水速度）、逆速、距离，解答这类题与和差问题相似。船速相当于和差问题中的大数，水速相当于小数，顺流速度相当于和数，逆流速相当于差数。船速=（顺流船速+逆流船速）2；水速=（顺流船速-逆流船速）顺流船速=船速+水速；逆流船速=船速-水速；顺流船速=逆流船速+水速逆流船速=顺流船速-水速【典型例题】【例1】一条轮船往返于A、B两地之间，由A地

21、到B地是顺水航行，由B地到A地是逆水航行。已知船在静水中的速度是每小时20千米，由A到B用了6小时，由B到A所用的时间是由A到B所用时间的1.5倍，求水流速度。【试一试】：1、水流速度是每小时15千米。现在有船顺水而行，8小时行320千米。若逆水行驶320千米需几小时？2、水流速度每小时5千米。现在有一船逆水在120千米的河中航行需6小时，顺水航行需几小时？【例2】有一船行驶于120千米长的河中，逆行需10小时，顺行要6小时，求船速和水速。【试一试】1、有只大木船在长江中航行。逆流而上5小时行5千米，顺流而下1小时行5千米。求这只木船的静水速度和水流速度各是多少？2、有一船完成360千米的水程

22、运输任务。顺流而下30小时到达，但逆流而上则需60小时。求河水流速和静水中船的速度？【例3】轮船以同一速度往返于两码头之间。它顺流而下，行了8小时；逆流而上，行了10小时。如果水流速度是每小时3千米，求两码头之间的距离。1、一艘轮船以同样的速度往返于甲、乙两个港口，它顺流而下行了7小时，逆流而上行了10小时。如果水流速度是每小时3.6千米，求甲、乙两个港口之间的距离？2、一艘渔船顺水每小时行18千米，逆水每小时行15千米。求船速和水速各是多少？【例4】汽船每小时行30千米，在长176千米的河中逆流航行要11小时到达，返回需几小时？1、当一机动船在水流每小时3千米的河中逆流而上时，8小时行48千

23、米。返回时水流速度是逆流而上的2倍。需几小时行195千米？2、已知一船自上游向下游航行，经9小时后，已行673千米，此船每小时的船速是47千米。求此河的水速是多少？【例5】有甲、乙两船，甲船和漂流物同时由河西向东而行，乙船也同时从河东向西而行。甲船行4小时后与漂流物相距100千米，乙船行12小时后与漂流物相遇，两船的船速相同，河长多少千米？【试一试】1、有两只木排，甲木排和漂流物同时由A地向B地前行，乙木排也同时从B地向A地前行，甲木排5小时后与漂流物相距75千米，乙木排航行15小时后与漂流物相遇，两只木排的船速相同，A、B两地长多少千米？2、有一条河在降雨后，每小时水的流速在中流和沿岸不同。

24、中流每小时59千米，沿岸每小时45千米。有一汽船逆流而上，从沿岸航行15小时走完570千米的路程，回来时几小时走完中流的全程？课外作业家长签名：1、一船从A地顺流到B地，航行速度是每小时32千米，水流速度是每小时4千米，天可以到达。此船从B地返回到A地需多少小时？2、一海轮在海中航行。顺风每小时行45千米，逆风每小时行31千米。求这艘海轮每小时的船速和风速各是多少？3、沿河有上、下两个市镇，相距85千米。有一只船往返两市镇之间，船的速度是每小时18.5千米，水流速度每小时1.5千米。求往、返一次所需的时间。4、一只小船在河中逆流航行3小时行3千米，顺流航行1小时行3千米。求这只船每小时的速度和

25、河流的速度各是多少？5、有一架飞机顺风而行4小时飞360千米。今出发至某地顺风去，逆风回，返回的时间比去的时间多3小时。已知逆风速度为75千米/小时，求距目的地多少千米？第7讲“牛吃草”问题牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。“一堆草可供10头牛吃3天，供6头牛吃几天？”这题很简单，用3106=5（天）。如果把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了。因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草

26、是不变的。正确计算草地上原有的草及每天长出的新草，问题就容易解决了。【例1】一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周。那么这片草地可供21头牛吃几周？1、一片草地，每天都匀速长出青草。如果可供24头牛吃6天，20头牛吃10天。那么，可供19头牛吃多少天？2、牧场上一片草地，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问可供25头牛吃几天？【例2】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？1、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度在减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？2、因天气渐冷，牧场上的草以固定的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，或可供24头牛吃6天。照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？【例3】自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？1、自动扶梯以均匀速度行驶着，小明和小红要从扶梯上楼。已知小明每分